人教B版 (2019)2.5.2 椭圆的几何性质第1课时学案

这是一份人教B版 (2019)2.5.2 椭圆的几何性质第1课时学案，共14页。学案主要包含了椭圆的几何性质，由几何性质求标准方程，椭圆的离心率等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
一、椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
知识梳理
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示 利用离心率e＝eq \f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，记e＝eq \f(c,a)，则0知识梳理
e＝eq \f(c,a)，e∈(0,1)．
当e越趋近于1时，椭圆越扁．
当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆．
注意点：e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为eq \f(1,2)，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解 椭圆方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1.
①当0＜m＜4时，a＝2，b＝eq \r(m)，c＝eq \r(4－m)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－m),2)＝eq \f(1,2)，
∴m＝3，∴b＝eq \r(3)，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2eq \r(3)，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－eq \r(3))，B2(0，eq \r(3))．
②当m＞4时，a＝eq \r(m)，b＝2，
∴c＝eq \r(m－4)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m－4),\r(m))＝eq \f(1,2)，解得m＝eq \f(16,3)，
∴a＝eq \f(4\r(3),3)，c＝eq \f(2\r(3),3)，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为eq \f(8\r(3),3)，4，焦点坐标为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2\r(3),3)))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，顶点坐标为A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(4\r(3),3)))，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3)))，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1 已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解 (1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其半长轴长为10，半短轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq \f(3,5).
(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝eq \f(3,5).
二、由几何性质求标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为eq \f(1,2)，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)；
(3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,0)．
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1.
(2)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
(3)依题意得a＝3b，
若点(3,0)为长轴端点，则a＝3，b＝1，
椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1，
若点(3,0)为短轴端点，则b＝3，a＝9，
椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1，
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1.
反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6；
(3)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2.
解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a，,\f(4,a2)＋\f(36,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(37)，,b＝\r(37)，))
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1.
同理可求出当焦点在y轴上时，
椭圆的标准方程为eq \f(x2,13)＋eq \f(y2,52)＝1.
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1或eq \f(x2,13)＋eq \f(y2,52)＝1.
(2)依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝c，,c＝6，))∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,72)＋eq \f(y2,36)＝1.
(3)椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，
焦点坐标为(0，±eq \r(5))，即c＝eq \r(5)，
又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6，
故所求的椭圆方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
三、椭圆的离心率
例3 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 方法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m，故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝eq \f(\r(3),3).
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq \f(b2,a)，所以|PF2|＝eq \f(b2,a).
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|，故2c＝eq \r(3)·eq \f(b2,a)，变形可得eq \r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq \r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq \f(\r(3),3)或e＝－eq \r(3)(舍去)．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解 在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有eq \f(m,sin 75°)＝eq \f(n,sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)，
∴eq \f(m＋n,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(sin 60°,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解 由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，
∴e>eq \f(\r(2),2)，又0∴C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3)))
C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)
答案 C
解析 当k>4时，c2＝k－4，
由条件知eq \f(1,4)eq \f(16,3)；
当0由条件知eq \f(1,4)1.知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的简单几何性质求椭圆方程．
(3)椭圆的离心率．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：焦点位置不确定时应讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况．
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．7,2，eq \f(3\r(5),7) B．14,4，eq \f(3\r(5),7)
C．7,2，eq \f(\r(5),7) D．14,4，eq \f(\r(5),7)
答案 B
解析 将椭圆方程化为标准形式eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,4)＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3eq \r(5).
所以长轴长、短轴长、离心率依次为14,4，eq \f(3\r(5),7).
2．已知椭圆的离心率为eq \f(1,2)，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
答案 A
解析 由题意知c＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2).
4．若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________．
答案 2eq \r(3)
解析 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，
由于eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2，
则椭圆方程为eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1，∴a＝eq \r(3)，2a＝2eq \r(3).
课时对点练
1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 a2＝16，b2＝8，c2＝8，从而e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
2．焦点在x轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为4eq \r(5)，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,4)＝1
答案 A
解析 依题意得c＝2eq \r(5)，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
答案 B
解析 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦距为2c＝8，而曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(04．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(1,4) D．4
答案 C
解析 椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1.
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
所以eq \r(\f(1,m))＝2，所以m＝eq \f(1,4).
5．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为eq \f(1,2)
B．焦距为eq \f(\r(3),4)
C．焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))
D．离心率为eq \f(\r(3),2)
答案 CD
解析 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(x2,\f(1,16))＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，
所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4)，
所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝eq \f(\r(3),2)，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
6．(多选)若椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率为eq \f(2,3)，则k的值为( )
A.eq \f(41,5) B．－3 C．3 D.eq \f(41,3)
答案 AB
解析 若焦点在x轴上，则eq \f(9,k＋8)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(5,9)，
∴k＝eq \f(41,5)；
若焦点在y轴上，则eq \f(k＋8,9)＝eq \f(5,9)，∴k＝－3.
7．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
答案 (0，±eq \r(69))
解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))．
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0答案 (2,4]
解析 ∵e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，b＝1,0∴eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≤eq \f(\r(3),2)，
则1即长轴长的取值范围是(2,4]．
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1，m>0.
∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(mm＋2,m＋3)>0，∴m>eq \f(m,m＋3)，
∴a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(mm＋2,m＋3)).
由e＝eq \f(\r(3),2)，得eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，
∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2).
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
10.如图，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且eq \(AF2,\s\up6(—→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，求椭圆的标准方程．
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
设B(x，y)，由eq \(AF2,\s\up6(—→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，
解得x＝eq \f(3,2)，y＝－eq \f(b,2).
代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即eq \f(9,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6eq \r(2)π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
答案 AD
解析 由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(πab＝6\r(2)π，,2c＝\f(1,3)×2a，,a2＝b2＋c2，))
解得a＝3，b＝2eq \r(2)，c＝1，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝1.
12．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
答案 C
解析 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
则|PF1|＝eq \f(5a,3)，|PF2|＝eq \f(a,3)，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴eq \f(4a,3)≤2c，e≥eq \f(2,3).
又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)).
13．把椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|等于( )
A．21 B．28 C．35 D．42
答案 C
解析 设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10，
由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，∴|P1F|＋|P7F|＝10.
同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10.
又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35.
14．在平面直角坐标系中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，0))作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，
eq \f(a2,c)＝eq \r(2)a.
解得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，1))
答案 C
解析 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为eq \r(122＋62)＝6eq \r(5)(厘米)，短轴长与杯底直径相等，即为6厘米，
∴椭圆离心率e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,6\r(5))))2)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))).
16．椭圆C的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1(－c,0)为焦点，离心率为e.
证明：椭圆上任一点P到F1的距离与到直线x＝－eq \f(a2,c)的距离之比为离心率e.
证明 设P(x0，y0)为椭圆上任一点，则eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
F1(－c,0)，直线x＝－eq \f(a2,c)，
所以点P到直线x＝－eq \f(a2,c)的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(a2,c)))，
故eq \f(|PF1|,d)＝eq \f(\r(x0＋c2＋y\\al(2,0)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(a2,c))))＝eq \f(\r(x0＋c2＋b2－\f(b2,a2)x\\al(2,0)),\f(1,c)|cx0＋a2|)
＝eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))x\\al(2,0)＋2cx0＋c2＋b2),\f(1,c)|cx0＋a2|)
＝eq \f(\r(\f(c2,a2)x\\al(2,0)＋2cx0＋a2),\f(1,c)|cx0＋a2|)
＝eq \f(\r(\f(1,a2)c2x\\al(2,0)＋2ca2x＋a4),\f(1,c)|cx0＋a2|)
＝eq \f(\f(1,a)\r(cx0＋a22),\f(1,c)|cx0＋a2|)
＝eq \f(\f(1,a)|cx0＋a2|,\f(1,c)|cx0＋a|)＝eq \f(c,a)＝e，
即证原命题成立．焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0,0)
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b