数学选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率第1课时学案及答案

这是一份数学选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率第1课时学案及答案，共11页。学案主要包含了直线的倾斜角，倾斜角和斜率的应用等内容，欢迎下载使用。

第1课时 直线的倾斜角与斜率
学习目标 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．
导语
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq \f(上升高度,水平距离)＝eq \f(DB,AD).若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．
问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．
知识梳理
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(1)倾斜角θ的取值范围是0°～180°.
(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°.
(3)每一条直线都有唯一的倾斜角．
例1 (1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
答案 AC
解析 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
反思感悟 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为____．
答案 135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
二、直线的斜率
问题3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0)，P(eq \r(3)，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(eq \r(2)，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
提示 (1)tan α＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
(2)tan α＝eq \f(1,－1－\r(2))＝1－eq \r(2).
(3)tan α＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
知识梳理
1．定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．
2．两点的斜率公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在；当y1＝y2时，直线l的斜率为0.
注意点：(1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(2)k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，要求分子、分母下标的顺序一致．
(3)与x轴平行或重合的直线斜率为0.
(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在．
例2 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．
①A(2,3)，B(4,5)；
②C(－2,3)，D(2，－1)；
③P(－3,1)，Q(－3,10)．
解 ①存在．直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1，
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
②存在．直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－－2)＝－1，
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
③不存在．因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．
解 当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝eq \f(4,3－a).
反思感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________．
答案 －eq \r(3)
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
答案 1
解析 由斜率公式k＝eq \f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.
三、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．
知识梳理
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－3,－4－3)＝eq \f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3).故直线AB的斜率为eq \f(1,7)，直线AC的斜率为eq \f(5,3).
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，\f(5,3))).
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角．
(2)直线的斜率以及两点的斜率公式．
(3)倾斜角和斜率的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案 ABC
2．若经过A(m,2)，B(4,5)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 B
解析 由题意知，tan 45°＝eq \f(5－2,4－m)，得m＝1.
3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 由eq \f(m－－2,3－m)＝2，得m＝eq \f(4,3).
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
答案 0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝eq \f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
课时对点练
1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
答案 D
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
2．已知点A(eq \r(3)，1)，B(3eq \r(3)，3)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案 B
解析 kAB＝eq \f(3－1,3\r(3)－\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan θ＝eq \f(\r(3),3)且0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
3．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k1＜k2
C．k1＜k2＜k3 D．k3＜k2＜k1
答案 A
解析 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，
所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，
即k1＜0，k2＞k3＞0.
4．若某直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
答案 C
解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，∴k≤tan eq \f(π,3)，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
5．(多选)已知直线斜率的绝对值为eq \r(3)，则直线的倾斜角可以为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 BC
解析 由题意得直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，故直线的倾斜角为60°或120°.
6．(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(3,0) D．(0，－3)
答案 CD
解析 若设点P的坐标为P(x,0)，
则k＝eq \f(0－－1,x－2)＝tan 45°＝1，∴x＝3，即P(3,0)．
若设点P的坐标为P(0，y)，
则k＝eq \f(y－－1,0－2)＝tan 45°＝1，
∴y＝－3，即P(0，－3)．故选CD.
7．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为________．
答案 [0,2]
解析 如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，
∴≤kl≤，
又＝0，＝2，∴0≤kl≤2.
8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．
答案 (－2,1)
解析 由题意知，kAB＝eq \f(2t－1＋t,3－1－t)＝eq \f(t－1,t＋2).因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝eq \f(t－1,t＋2)<0，解得－29．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线的倾斜角为45°？
(4)直线的倾斜角为锐角？
解 (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)由题意可知，直线l的斜率k＝1，
即eq \f(m－1,－1－m)＝1，解得m＝0.
(4)由题意可知，直线l的斜率k>0，
即eq \f(m－1,－1－m)>0，解得－110.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD＝kBC＝tan 60°＝eq \r(3).
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，kBD＝tan 120°＝－eq \r(3).
11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)，
于是直线l的斜率k＝kAA′＝eq \f(b＋2－b,a－2－a)＝－1.
12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)2或k<\f(3,4)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>\f(3,4))))) D．{k|k<2}
答案 A
解析 ∵kAP＝eq \f(3－1,2－1)＝2，kBP＝eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)，如图，
∵直线l与线段AB始终没有交点，
∴斜率k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2)).
13．已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为________，两直线l1与l2的斜率之和为________．
答案 π－α 0
解析 如图，∵l1与l2关于x轴对称，
∴α＝β＝γ.
又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.
故l2的倾斜角为π－α.
∴＋＝tan α＋tan(π－α)＝tan α－tan α＝0.
14．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________．
答案 eq \f(\r(3),3)或－eq \r(3)
解析 设直线AB与x轴的交点为C(图略)，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
所以kAB＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)或kAB＝tan 120°＝－eq \r(3).
15．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 kAB＝eq \f(k－1,－2－3)＝eq \f(1－k,5)，kAC＝eq \f(1－1,8－3)＝eq \f(0,5)＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴eq \f(1－k,5)≠0，∴k≠1.
16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求eq \f(y－1,x－2)的取值范围．
解 eq \f(y－1,x－2)的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率．
因为点M在函数x＋2y＝6的图像上，且1≤x≤3，
所以可设该线段为AB，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)))，
又kNA＝－eq \f(3,2)，kNB＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(y－1,x－2)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
－eq \r(3)
－1
－eq \f(\r(3),3)
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
随α的增大而增大
随α的增大而增大