八年级上册数学期末复习专题复习题（12项专题）

这是一份八年级上册数学期末复习专题复习题（12项专题），共34页。
eq \a\vs4\al(◆)类型一 已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想
1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于( )
A．50° B．55° C．45° D．40°
2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状无法确定
3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠DEF的度数．
eq \a\vs4\al(◆)类型二 综合内外角的性质
5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．60°

第5题图 第6题图
6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．
7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.
(1)求证：∠EAC＝∠B；
(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
eq \a\vs4\al(◆)类型三 在三角板或直尺中求角度
8．(2015－2016·瑶海区期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )
A．120° B．105° C．90° D．75°

9．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．

如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为________．
eq \a\vs4\al(◆)类型四 与平行线结合
12．(2015·南充中考)如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠ACE的度数为( )
A．35° B．40° C．115° D．145°

13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PFA＝40°，那么∠EGB等于( )
A．80° B．100° C．110° D．120°
如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝________．
15．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.
(1)求∠BFD的度数；
(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．
eq \a\vs4\al(◆)类型五 与截取或折叠相关
16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )
A．∠A＝∠1－∠2
B．2∠A＝∠1－∠2
C．3∠A＝2∠1－∠2
D．3∠A＝2(∠1－∠2)
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．

第17题图 第18题图
18．在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于________．
19．如图．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．
(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2、∠A与∠1之间的关系式(不必证明)；
(3)若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．
参考答案与解析
1．C 2.C
3．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在Rt△BDC中，∠DBC＝90°－∠C＝90°－72°＝18°.
方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．
4．解：∵△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－26°－70°＝84°.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×84°＝42°.在△ACE中，∠CAE＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝42°－20°＝22°.∵∠DEF＋∠AEF＝∠AEF＋∠DAE＝90°，∴∠DEF＝∠DAE＝22°.
5．B 6.80°
7．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B；
(2)解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.
8．B 9.B 10.75° 11.35° 12.C 13.C 14.15°
15．解：(1)∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°，∴∠BEG＝∠BEH－∠HEG＝35°.又∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG＝35°；
(2)∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.由(1)可知∠BFD＝35°，∴∠ABC＝35°.∵∠C＝44°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－35°－44°＝101°.
16．B 17.14° 18.250°
19．解：(1)延长BE、CD，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A；
(2)图②中，∠2＝2∠A；图③中，∠1＝2∠A；
(3)图④中，∠2－∠1＝2∠A.
类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型
模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数
1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．
模型2：求两内角平分线的夹角的度数
如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A＝_____.
3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．
(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋eq \f(1,2)∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．
模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数
4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.
(1)求证：∠A1＝eq \f(1,2)∠A；
(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________.
模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】
5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为____________；
(2)请就(1)中的结论进行证明．
参考答案与解析
1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.∵AE是角平分线，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×80°＝40°.∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝50°－40°＝10°.
(2)∠DAE＝eq \f(1,2)(β－α)，证明如下：∵∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，∴∠BAC＝180°－(α＋β)．∵AE是角平分线，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝90°－eq \f(1,2)(α＋β)．∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－α，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°－α－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(90°－\f(1,2)（α＋β）))＝eq \f(1,2)(β－α)．
2．60°
3．解：(1)∵BP，CP为角平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝eq \f(1,2)×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－50°＝130°.
(2)正确，理由如下：∵BP，CP为角平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq \f(1,2)∠A，∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(1,2)∠A))＝90°＋eq \f(1,2)∠A.
4．(1)证明：∵CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝eq \f(1,2)∠ACD＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)．又∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A1＋∠A1BC＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)．∵BA1平分∠ABC，∴∠A1BC＝eq \f(1,2)∠ABC，∴eq \f(1,2)∠ABC＋∠A1＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)，∴∠A1＝eq \f(1,2)∠A.
(2)eq \f(α,22017)
5．(1)∠BOC＝90°－eq \f(1,2)∠A
(2)证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A，∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°，∴∠1＋∠2＝eq \f(1,2)∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－eq \f(1,2)∠A.
解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧
——明模型，先观察，再猜想，后证明
eq \a\vs4\al(◆)类型一 全等三角形的基本模型
1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°，∠B＝90°，则∠C＝________.

第1题图 第2题图
如图，锐角△ABC的高AD，BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为_________.
3．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为 （ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
4．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一直线上，连接BD交AC于点F.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)猜想BD，CE有何特殊位置关系，并说明理由．
eq \a\vs4\al(◆)类型二 证明线段间的等量关系
一、等线段代换
5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：
(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；
(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？请说明理由．
二、截长补短法
6．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．
三、倍长中线法
7．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8
B．2＜AD＜14
C．1＜AD＜7
D．无法确定
参考答案与解析
1．110° 2.3 3.A
4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝90°.又∵∠AFB＝∠DFC，∴∠ACE＋∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.
5．解：(1)AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.
(2)BD＝DE＋CE.理由如下：由(1)可知△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE.又∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.
解：AE＝AB＋DE.证明如下：如图，在AE上截取AF＝AB，并连接CF.∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAF.又∵AC＝AC，∴△BAC≌△FAC(SAS)，∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF.∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠FCE＝∠DCE.又∵C为BD的中点，∴BC＝DC，∴DC＝FC.又∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE(SAS)，∴DE＝FE，∴AE＝AF＋FE＝AB＋DE.
7．C
难点探究专题：动态变化中的三角形全等
——以“静”制“动”，不离其宗
eq \a\vs4\al(◆)类型一 动点变化
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．

如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．
3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为_______；
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．
(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
eq \a\vs4\al(◆)类型二 图形变换
4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.
(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；
(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
参考答案与解析
1．3或6 解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QPA或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QPA时，则有AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.
2．2或3 解析：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝eq \f(1,2)AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，∴v＝2÷1＝2(cm/s); 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.
3．解：(1)①垂直 ②BC＝CD＋CF
(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.
在△DAB与△FAC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AF，,∠BAD＝∠CAF，,AB＝AC，))∴△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC.
4．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,AF＝CE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在△BFO和△DEO中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BFO＝∠DEO，,∠BOF＝∠DOE，,BF＝DE，))∴△BFO≌△DEO(AAS)，∴OE＝OF.
(2)结论依然成立．理由如下：∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，∴AF＝CE.同(1)可得△BFO≌△DEO，∴FO＝EO，即结论依然成立．
5．(1)证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CB＝CF，,∠BCD＝∠FCE，,CD＝CE，))
∴△BCD≌△FCE(SAS)．
(2)解：由(1)可知∠DCE＝90°，△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E.∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.
易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题
——易错归纳，各个击破
eq \a\vs4\al(◆)类型一 求长度时忽略三边关系
1．(2016·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16
C．20 D．16或20
2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确：_____，理由是_____________________．
3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和10cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
eq \a\vs4\al(◆)类型二 当腰或底不明求角度时没有分类讨论
4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．100° B．40°
C．40°或100° D．60°
等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．80°，80° D．50°，50°或80°，20°
6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_____.
eq \a\vs4\al(◆)类型三 三角形的形状不明时没有分类讨论
等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．40°
C．25°或40° D．不能确定
8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____.
9．如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则_________(用含x的代数式表示)．
10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．
eq \a\vs4\al(◆)类型四 一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时漏解
(2016·武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有_____个．
参考答案与解析
1．C
2．不正确 没考虑三角形三边关系
3．解：设腰长为xcm，①腰长与腰长的一半是6cm时，x＋eq \f(1,2)x＝6，解得x＝4，∴底边长＝10－eq \f(1,2)×4＝8(cm)．∵4＋4＝8，∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是10cm时，x＋eq \f(1,2)x＝10，解得x＝eq \f(20,3)，∴底边长＝6－eq \f(1,2)×eq \f(20,3)＝eq \f(8,3)(cm)，∴三角形的三边长为eq \f(20,3)cm、eq \f(20,3)cm、eq \f(8,3)cm，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为eq \f(20,3)cm，底边长为eq \f(8,3)cm.
4．C 5.D
6．120°或20° 7.C 8.70°或20°
9．x或90－x 解析：∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，∴腰上的高相等．①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y＝x，②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y＝90－x.故答案为x或90－x.
10．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部．如图①所示，得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.
11．A 12.5
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
eq \a\vs4\al(◆)类型一 利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝eq \f(1,2)BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝__________.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)？
3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为 ( )
A．0.4cm2 B．0.5cm2
C．0.6cm2 D．0.7cm2
5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.

eq \a\vs4\al(◆)类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.

eq \a\vs4\al(◆)类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.

8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．
参考答案与解析
1．40°
(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段DF，AE，AF，BE，CF.
证明：如图，作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝eq \f(1,2)AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.
4．B
证明：如图，延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝eq \f(1,2)MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.
6．证明：如图，连接CD.∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠BDF，∴△ECD≌△FBD(ASA)，∴DE＝DF.
7．证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝eq \f(1,2)×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB－∠ACB＝180°－36°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.
(1)证明：如图，过P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(ASA)，∴PD＝DQ.
(2)解：∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝eq \f(1,2)AC.又∵AC＝1，∴DE＝eq \f(1,2).
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
——明模型，悉结论
eq \a\vs4\al(◆)类型一 共直角顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
eq \a\vs4\al(◆)类型二 共顶点的等边三角形
2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.
解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.
2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BC＝AC，,∠BCD＝∠ACE，,CD＝CE，))∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
类比归纳专题：证明线段相等的基本思路
——理条件、定思路，几何证明也容易
eq \a\vs4\al(◆)类型一 已知“边的关系”或“边角关系”用全等
1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：
(1)AC＝AD；
(2)CF＝DF.
2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．
eq \a\vs4\al(◆)类型二 已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”
3．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF.
4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.
(1)求证：AN＝AC；
(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．
eq \a\vs4\al(◆)类型三 已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质
5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
参考答案与解析
1．证明：(1)在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD；
(2)在Rt△ACF和Rt△ADF中，AC＝AD，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF，∴CF＝DF.
证明：连接CM，则BM＝CM，且CM⊥MB，∴∠B＝∠MCE＝45°，∴BM＝AM＝CM.在△MBD和△MCE中，BM＝CM，∠B＝∠MCE，BD＝CE，∴△MBD≌△MCE，∴DM＝EM，∴△MDE是等腰三角形．
3．证明：∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE.∵CF为△ABC外角∠ACG的平分线，∴∠ACF＝∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF.∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF，∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF.
4．(1)证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝∠AHC＝90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH＝∠CAH.又∵在△ANH和△ACH中，∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋∠CAH＋∠ACH＝180°∴∠ANH＝∠ACH，∴AN＝AC；
(2)解：BN＝CD.理由如下：连接ND.在△AND和△ACD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AN＝AC，,∠NAD＝CAD，,AD＝AD，))∴△AND≌△ACD(SAS)，∴DN＝DC，∠AND＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠AND＝2∠B.又∵△BND中，∠AND＝∠B＋∠NDB，∴∠B＝∠NDB，∴NB＝ND，∴BN＝CD.
5．证明：连接BD、CD.∵AD是∠FAE的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵DG是BC的垂直平分线，∴BD＝CD.∴Rt△CDF≌Rt△BDE.∴BE＝CF.
6．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝DF，∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；
(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍

eq \a\vs4\al(◆)类型一 利用乘法公式进行简便运算
计算102×98的结果是（ ）
A．9995 B．9896 C．9996 D．9997
2．计算20152－2014×2016的结果是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．计算：
(1)512＝____________；
(2)298×302＝____________.
4．运用公式简便计算：
(1)40eq \f(1,3)×39eq \f(2,3)； (2)eq \f(10002,2522－2482).
5．阅读下列材料：
某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,24)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,28)))＋eq \f(1,215).
eq \a\vs4\al(◆)类型二 利用乘法公式的变式求值
若a－b＝eq \f(1,2)，且a2－b2＝eq \f(1,4)，则a＋b的值为（ ）
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
7．若a－b＝1，ab＝2，则(a＋b)2的值为（ ）
A．－9 B．9 C．±9 D．3
8．已知x＋eq \f(1,x)＝5，那么x2＋eq \f(1,x2)的值为（ ）
A．10 B．23 C．25 D．27
9．若m＋n＝1，则代数式m2－n2＋2n的值为1.
10．(2016·巴中中考)若a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝__________.
11．阅读：已知a＋b＝－4，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：∵a＋b＝－4，ab＝3，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(－4)2－2×3＝10.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
(1)已知a－b＝－3，ab＝－2，求(a＋b)(a2－b2)的值；
(2)已知a－c－b＝－10，(a－b)c＝－12，求(a－b)2＋c2的值．
参考答案与解析
1．C 2.D
3．(1)2601 (2)89996
4．解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(40＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(40－\f(1,3)))＝402－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝1599eq \f(8,9)；
(2)原式＝eq \f(10002,（250＋2）2－（250－2）2)
＝eq \f(10002,2502＋2×250×2＋22－（2502－2×250×2＋22）)＝eq \f(10002,2000)＝500.
5．解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,24)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,28)))＋eq \f(1,215)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,24)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,28)))＋eq \f(1,215)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,216)))＋eq \f(1,215)＝2－eq \f(1,215)＋eq \f(1,215)＝2.
6．B 7.B 8.B 9.1 10.1
11．解：(1)∵a－b＝－3，ab＝－2，∴(a＋b)(a2－b2)＝(a＋b)2(a－b)＝[(a－b)2＋4ab](a－b)＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.
(2)∵a－c－b＝－10，(a－b)c＝－12，∴(a－b)2＋c2＝[(a－b)－c]2＋2(a－b)c＝(－10)2＋2×(－12)＝76.
解题技巧专题：选择合适的方法因式分解
——学会选择最优方法

eq \a\vs4\al(◆)类型一 一步(提公因式或套公式)分解因式
(2016·宁德中考)下列分解因式正确的是（ ）
A．－ma－m＝－m(a－1)
B．a2－1＝(a－1)2
C．a2－6a＋9＝(a－3)2
D．a2＋3a＋9＝(a＋3)2
2．分解因式：
(1)3x3y3－x2y3＋2x4y；
(2)2(x＋y)2－(y＋x)3.
eq \a\vs4\al(◆)类型二 两步(先提后套或二次分解)分解因式
3．(2016·梅州中考)分解因式a2b－b3，结果正确的是（ ）
A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2
C．b(a2－b2) D．b(a＋b)2
4．分解因式：
(1)－2a3＋12a2－18a;

(2)(x2＋1)2－4x2.
*eq \a\vs4\al(◆)类型三 特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法、配方法)
5．阅读下列材料并解答问题：
将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝______________________＝______________________；
(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.
阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．

请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________
7．阅读：分解因式x2＋2x－3.
解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．
上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：
(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.
参考答案与解析
1．C
2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；
(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．
3．A
4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；
(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.
5．解：(1)x2－(y＋1)2 (x＋y＋1)(x－y－1)
(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a－b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．
6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．
(2)7，－7，2，－2 解析：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.
7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)；
(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．
易错专题：分式中常见的陷阱
——易错全方位归纳，各个击破
eq \a\vs4\al(◆)类型一 分式值为0时求值，忽略分母不为0
1．分式eq \f(x2－4,x－2)的值等于0时，x的值为（ ）
A．±2 B．2 C．－2 D.eq \r(,2)
2．要使eq \f(m2－9,m2－6m＋9)的值为0，则m的值为（ ）
A．3 B．－3
C．±3 D．不存在
3．若分式eq \f(3－|x|,x＋3)的值为零，则x的值为_________.
eq \a\vs4\al(◆)类型二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
4．(2016·安顺中考)先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x＋1)))÷eq \f(x－2,x＋1)，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
5．(2016·巴中中考)先化简：eq \f(x2＋x,x2－2x＋1)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x－1)－\f(1,x)))，然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
eq \a\vs4\al(◆)类型三 无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况
6．★若关于x的分式方程eq \f(2m＋x,x－3)－1＝eq \f(2,x)无解，则m的值为（ ）
A．－eq \f(3,2) B．1
C．－eq \f(3,2)或2 D．－eq \f(1,2)或－eq \f(3,2)
7．已知关于x的分式方程eq \f(a,x＋1)－eq \f(2a－x－1,x2＋x)＝0无解，求a的值．
eq \a\vs4\al(◆)类型四 已知方程根的情况求参数的取值范围，应舍去公分母为0时参数的值
8．(2016·齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程eq \f(x,x－2)＝2－eq \f(m,2－x)的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2
C．1，3 D．2，3
9．已知关于x的分式方程eq \f(a－x,x＋1)＝1的解为负数，求a的取值范围．
参考答案与解析
1．C 2.B 3.3
4．解：原式＝eq \f(x,x＋1)·eq \f(x＋1,x－2)＝eq \f(x,x－2)，当x＝3时，原式＝eq \f(3,3－2)＝3(x不能取－1和2)．
5．解：原式＝eq \f(x（x＋1）,（x－1）2)÷eq \f(2x－（x－1）,x（x－1）)＝eq \f(x（x＋1）,（x－1）2)·eq \f(x（x－1）,x＋1)＝eq \f(x2,x－1).其中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋1≠0，,（x－1）x≠0，,x＋1≠0，))即x≠－1，0，1.又∵－2