山东省临沂市兰山区、罗庄区2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份山东省临沂市兰山区、罗庄区2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题（6个小题，共60分等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省临沂市兰山区、罗庄区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列是轴对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．三角形
2．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．7cm或5cm C．5cm D．3cm
4．若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为720°，该多边形的一个外角是（　　）
A．60° B．70° C．72° D．90°
5．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，点D为△ABC边AC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的中点P处．若AC＝6，AB＝8，则△ADP的周长等于（　　）

A．8 B．9 C．10 D．14
8．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝14cm，BC＝16cm，则DE的长度为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为（　　）

A．58° B．56° C．62° D．60°
10．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④CE＝BF．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
12．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（　　）

A． B． C．或 D．或
二、填空题（本题共1大题，8小题，每小题3分，共24分）
13．若点P（a﹣2，3）与Q（1，b+1）关于x轴对称，则a+b＝　 　．
14．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是 　 　．

15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 　 　．

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝　 　cm．

17．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 　 　．

18．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），求点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为 　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为 　 　．

20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有 　 　．（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题（6个小题，共60分
21．△ABC三顶点A（﹣5，0）、B（﹣2，4）、C（﹣1，﹣2），△A'B'C'与△ABC关于y轴对称．
（1）直接写出A'、B'、C'的坐标；
（2）画出△A'B'C'；
（3）求△ABC的面积．

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．

23．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…，求证：…；3．写出证明过程．）
已知：
求证：
证明：
24．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BC＝CD；
（2）2AE＝AB+AD．

25．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．

26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列是轴对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．三角形
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对几个常见图形进行判断．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．四边形不一定是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．三角形不一定是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
解：正确画出AC边上的高的是D选项，
故选：D．
3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．7cm或5cm C．5cm D．3cm
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行讨论即可求解．
解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是3cm．
故选：D．
4．若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为720°，该多边形的一个外角是（　　）
A．60° B．70° C．72° D．90°
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝720，
解得n＝6；
那么这个多边形的一个外角是360÷6＝60度，
即这个多边形的一个外角等于60度．
故选：A．
5．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
【分析】本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用全等三角形的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．
解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠POA＝∠POB，OP＝OP
∴△OPA≌△OPB（AAS），
∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB
∴A、B、C项正确
设PO与AB相交于E
∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE
∴△AOE≌△BOE
∴∠AEO＝∠BEO＝90°
∴OP垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故选：D．

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】求出∠BCD＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝BC＝2，AB＝2BC＝8，再根据AD＝AB﹣BD代入数据计算即可得解．
解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BD＝BC＝×4＝2，AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6．
故选：B．
7．如图，点D为△ABC边AC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的中点P处．若AC＝6，AB＝8，则△ADP的周长等于（　　）

A．8 B．9 C．10 D．14
【分析】根据已知分别求出AD、DP、AP的长度，即可得到答案．
解：∵点D为△ABC边AC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的中点P处，
∴DC＝DP＝AD＝AC＝3，
又AB＝8，P是AB中点，
∴AP＝AB＝4，
∴△ADP的周长AD+DP+AP＝3+3+4＝10，
故选：C．
8．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝14cm，BC＝16cm，则DE的长度为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】作DF⊥BC于F，如图，利用角平分线的性质得DE＝DF，然后根据三角形面积公式得到×DE×14+×DE×16＝30，从而可计算出DE的长．
解：作DF⊥BC于F，如图，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴×DE×AB+×DF×BC＝30，
即×DE×14+×DE×16＝30，
∴DE＝2（cm）．
故选：B．

9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为（　　）

A．58° B．56° C．62° D．60°
【分析】设∠ADE＝x°，则∠B+18°＝x°+12°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和求得x，即可得∠DAE的度数．
解：设∠ADE＝x°，且∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，
∴∠B+18°＝x°+12°，
∴∠B＝x°﹣6°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°﹣6°，
∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝x°﹣6°+12°＝x°+6°，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE＝x°+6°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6＝180，
解得x＝56，即∠ADE＝56°，
∴∠DAE＝62°
故选：C．
10．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④CE＝BF．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证明△BDF≌△CDE，根据全等三角形的性质、平行线的判定定理证明．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE，①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD面积相等，②正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠CDF，
∴BF∥CE，③正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，④正确，
故选：D．
11．在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，

∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
①当AB+BD＝3x＝15，且x+y＝12时，解得x＝5，y＝7，
此时AB＝BC＝10，AC＝7，能构成三角形，
∴AC＝7；
②当CD+AC＝x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11，
此时AB＝BC＝8，AC＝11，能构成三角形，
∴AC＝11；
综上，AC的长为7或11．
故选：C．
12．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（　　）

A． B． C．或 D．或
【分析】分∠BMN＝90°、∠BNM＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案．
解：由题意得，CM＝3t，BN＝3t，
则BM＝10﹣3t，
当∠BMN＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即10﹣3t＝×3t，
解得，t＝，
当∠BNM＝90°时，BN＝BM，即10﹣3t＝2×3t，
解得，t＝，
综上所述，当t＝或时，△BMN是一个直角三角形，
故选：D．
二、填空题（本题共1大题，8小题，每小题3分，共24分）
13．若点P（a﹣2，3）与Q（1，b+1）关于x轴对称，则a+b＝　﹣1　．
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果．
解：∵点P（a﹣2，3）与点Q（1，b+1）关于x轴对称，
∴a﹣2＝1，b+1＝﹣3，
∴a＝3，b＝﹣4，
即a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是 　AC＝AE　．

【分析】要使△ABC≌△ADE，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用SAS判定其全等．
解：添加AC＝AE
∵AB＝AD，∠1＝∠2
∴∠BAC＝∠DAE
∵AC＝AE
∴△ABC≌△ADE
∴需要添加的条件是AC＝AE．
15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 　14　．

【分析】根据角平分线的性质，可得∠DBO与∠OBC的关系，∠ECO与∠OCB的关系，根据平行线的性质，可得∠DOB与∠OBC的关系，∠EOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得OD与BD的关系，OE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
由DE∥BC，得
∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故答案为14．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝　5　cm．

【分析】利用线段垂直平分线的性质求得AD＝BD＝10，及∠ADC＝30°．
解：连接AD，
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E
∴AD＝BD＝10，∠DBA＝∠BAD＝15°，∠DAC＝60°，
∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝5cm．

17．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 　2：1　．

【分析】根据三角形重心的性质得到AO＝2OD，然后根据三角形面积公式求解．
解：∵△ABC三条中线相交于点O，
∴点O为△ABC的重心，
∴AO＝2OD，
∴△ABO与△DBO的面积之比为2：1．
故答案为：2：1．
18．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），求点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为 　（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）　．
【分析】由条件可知BO为两三角形的公共边，且△ABO为直角三角形，当△ABO和△BCO全等时，则可知△BCO为直角三角形，且有CO＝AO可BC＝AO，可得出C点的坐标．
解：∵点A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，且△ABO为直角三角形，
当△ABO和△BCO全等时，则可知△BCO为直角三角形，且有公共边BO，
∴CO＝AO或BC＝AO，
当CO＝AO时，则C点坐标为（﹣2，0）；
当BC＝AO时，则BC＝2，且BC⊥OB，
∴C点坐标为（2，4）或（﹣2，4）；
综上可知点C的坐为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为 　40°　．

【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB＝80°；根据线段垂直平分线的性质得AE＝CE，则∠C＝∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．
解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠BEA＝80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC．
∵∠BEA＝∠C+∠EAC，
∴∠C＝40°．
故答案为：40°．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有 　①②③⑤　．（把你认为正确的序号都填上）

【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；

②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；

③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，（故③正确）；

④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；

⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．

三、解答题（6个小题，共60分
21．△ABC三顶点A（﹣5，0）、B（﹣2，4）、C（﹣1，﹣2），△A'B'C'与△ABC关于y轴对称．
（1）直接写出A'、B'、C'的坐标；
（2）画出△A'B'C'；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据三个顶点在坐标系中的位置可得答案；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
解：（1）A'（5，0）、B'（2，4）、C'（1，﹣2）；

（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．


（3）△ABC的面积为4×6﹣×1×6﹣×2×4﹣×3×4
＝24﹣3﹣4﹣6
＝11．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．

【分析】（1）结合条件利用直角三角形的性质可得∠BCE＝∠CAD，利用AAS和证得全等；
（2）由全等三角形的性质可求得CD＝BE，利用线段的和差可求得BE的长度．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE﹣DE，
∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
23．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…，求证：…；3．写出证明过程．）
已知：
求证：
证明：
【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝BD＝AB，等量代换得到AD＝BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠1，∠2＝∠B，根据三角形的内角和定理得到∠1+∠2＝90°，于是得到结论．
解：已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD＝AB，
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵CD是AB边上的中线，
∴AD＝BD＝AB，
又CD＝AB
∴AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠1，∠2＝∠B，
∴∠1+∠2＝∠A+∠B，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝180°，
即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．

24．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BC＝CD；
（2）2AE＝AB+AD．

【分析】（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF＝CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；
（2）由（1）中的全等得：DF＝BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE＝AF，根据线段的和与差得出结论．
【解答】证明：（1）过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵∠ADC+∠CBE＝180°，∠ADC+∠FDC＝180°，
∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE．

25．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．

【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝CA，每一个角都是60°可得，∠BAE＝∠ACD＝60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD＝∠ABE，然后求出∠BPQ＝60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP+PE代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE；

（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，
∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；
（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可；
（3）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE＝∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．
解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由：延长BD交AC于F．

∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）

不发生变化，
理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，

∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，

∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，
②能．
理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（60°+60°）
＝60°，
即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．