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    八年级上期末数学试卷04(教培机构期末复习模拟专用)

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    八年级上期末数学试卷04(教培机构期末复习模拟专用)

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    这是一份八年级上期末数学试卷04(教培机构期末复习模拟专用),共23页。试卷主要包含了相信你的选择,试试你的身手,挑战你的技能解答题等内容,欢迎下载使用。


    八年级(上)期末数学试卷
     
    一、相信你的选择(本题共16个小题,每小题3分,共48分)
    1.若分式有意义,则x的取值应满足(  )
    A.x≠3 B.x≠4 C.x≠﹣4 D.x≠﹣3
    2.若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是(  )
    A.1 B.5 C.7 D.9
    3.下列运算中正确的是(  )
    A.(a2)3=a5 B.a2•a3=a5 C.a6÷a2=a3 D.a5+a5=2a10
    4.如图,△ABC沿AB向下翻折得到△ABD,若∠ABC=30°,∠ADB=100°,则∠BAC的度数是(  )

    A.100° B.30° C.50° D.80°
    5.如果分式的值为零,那么x等于(  )
    A.1 B.﹣1 C.0 D.±1
    6.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是(  )

    A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF
    7.若点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴对称,则代数式(a+b)2015的值为(  )
    A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
    8.图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是(  )

    A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
    9.小强是一位密码翻译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a﹣b,x﹣y,x+y,a+b,x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:北、爱、我、河、游、美,现将(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是(  )
    A.我爱美 B.河北游 C.爱我河北 D.美我河北
    10.在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是(  )
    A. =﹣5 B. =+5 C. =8x﹣5 D. =8x+5
    11.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是(  )

    A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
    12.若a+b=﹣3,ab=1,则a2+b2=(  )
    A.﹣11 B.11 C.﹣7 D.7
    13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(  )

    A.3 B.4 C.5 D.6
    14.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是(  )

    A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状
    15.若m=2100,n=375,则m、n的大小关系正确的是(  )
    A.m>n B.m<n
    C.相等 D.大小关系无法确定
    16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正确的有(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
     
    二、试试你的身手(本大题共4小题,每小题3分,共12)
    17.分解因式:3a3﹣12a2+12a=  .
    18.若一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形中的最大的角度是  .
    19.我们知道;;;…根据上述规律,计算=  .
    20.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC于D,若AB=4cm,AD=2cm,E为AB的中点,P为AD上一点,PE+PB的最小值为  .

     
    三、挑战你的技能解答题(本大题共6小题,共60分)
    21.先简化,再求值:(1+)÷,其中x=3.
    22.解方程:.
    23.如图1为L形的一种三格骨牌,它是由三个全等的正方形连接而成.
    请以L形的三格骨牌为基本图形,在图2和图3中各设计1个轴对称图形.要求如下:
    1、每个图形由3个L形三格骨牌组成,骨牌的顶点都在小正方形的顶点上.
    2、设计的图形用斜线涂出,若形状相同,则视为一种.

    24.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在AC、AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.

    25.某一工程,在工程招标时,接到甲,乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲,乙两队的投标书测算,有如下方案:
    (1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
    (2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
    (3)若甲,乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
    试问:在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
    26.情景观察:
    如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
    ①写出图1中所有的全等三角形  ;
    ②线段AF与线段CE的数量关系是  .
    问题探究:
    如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
    求证:AE=2CD.
    拓展延伸:
    如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC=∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.求证:DF=2CE.
    要求:请你写出辅助线的作法,并在图3中画出辅助线,不需要证明.

     

    八年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
     
    一、相信你的选择(本题共16个小题,每小题3分,共48分)
    1.若分式有意义,则x的取值应满足(  )
    A.x≠3 B.x≠4 C.x≠﹣4 D.x≠﹣3
    【考点】分式有意义的条件.
    【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式,解不等式即可.
    【解答】解:由题意得,x+4≠0,
    解得x≠﹣4.
    故选:C.
     
    2.若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是(  )
    A.1 B.5 C.7 D.9
    【考点】三角形三边关系.
    【分析】此题首先根据三角形的三边关系,求得第三边的取值范围,再进一步找到符合条件的数值.
    【解答】解:根据三角形的三边关系,得:第三边>两边之差,即4﹣3=1,而<两边之和,即4+3=7,
    即1<第三边<7,
    ∴只有5符合条件,
    故选:B.
     
    3.下列运算中正确的是(  )
    A.(a2)3=a5 B.a2•a3=a5 C.a6÷a2=a3 D.a5+a5=2a10
    【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
    【分析】利用同底数幂的除法与乘方,幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则求解即可.
    【解答】解:A、(a2)3=a6,故本选项错误;
    B、a2•a3=a5,故本选项正确;
    C、a6÷a2=a4,故本选项错误;
    D、a5+a5=2a5,故本选项错误.
    故选:B.
     
    4.如图,△ABC沿AB向下翻折得到△ABD,若∠ABC=30°,∠ADB=100°,则∠BAC的度数是(  )

    A.100° B.30° C.50° D.80°
    【考点】翻折变换(折叠问题).
    【分析】由翻折的特点可知,∠ACB=∠ADB=100°,进一步利用三角形的内角和求得∠BAC的度数即可.
    【解答】解:∵△ABC沿AB向下翻折得到△ABD,
    ∴∠ACB=∠ADB=100°,
    ∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC
    =180°﹣100°﹣30°
    =50°.
    故选:C.
     
    5.如果分式的值为零,那么x等于(  )
    A.1 B.﹣1 C.0 D.±1
    【考点】分式的值为零的条件.
    【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组,求出x的值即可.
    【解答】解:∵分式的值为零,
    ∴,
    解得x=﹣1.
    故选B.
     
    6.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是(  )

    A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF
    【考点】全等三角形的判定.
    【分析】根据全等三角形的判定,利用ASA、SAS、AAS即可得答案.
    【解答】解:∵∠B=∠DEF,AB=DE,
    ∴添加∠A=∠D,利用ASA可得△ABC≌△DEF;
    ∴添加BC=EF,利用SAS可得△ABC≌△DEF;
    ∴添加∠ACB=∠F,利用AAS可得△ABC≌△DEF;
    故选D.
     
    7.若点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴对称,则代数式(a+b)2015的值为(  )
    A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
    【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
    【分析】根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答.
    【解答】解:∵点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴对称,
    ∴a=﹣2,b=1,
    ∴(a+b)2015=﹣1.
    故选A.
     
    8.图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是(  )

    A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
    【考点】完全平方公式的几何背景.
    【分析】中间部分的四边形是正方形,表示出边长,则面积可以求得.
    【解答】解:中间部分的四边形是正方形,边长是a+b﹣2b=a﹣b,
    则面积是(a﹣b)2.
    故选:C.
     
    9.小强是一位密码翻译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a﹣b,x﹣y,x+y,a+b,x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:北、爱、我、河、游、美,现将(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是(  )
    A.我爱美 B.河北游 C.爱我河北 D.美我河北
    【考点】因式分解的应用.
    【分析】将原式进行因式分解即可求出答案
    【解答】解:原式=(x2﹣y2)(a2﹣b2)=(x﹣y)(x+y)(a﹣b)(a+b)
    由题意可知:(x﹣y)(x+y)(a﹣b)(a+b)可表示为“爱我河北”
    故选(C)
     
    10.在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是(  )
    A. =﹣5 B. =+5 C. =8x﹣5 D. =8x+5
    【考点】由实际问题抽象出分式方程.
    【分析】根据题意知:8x的倒数+5=3x的倒数,据此列出方程即可.
    【解答】解:根据题意,可列方程: =+5,
    故选:B.
     
    11.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是(  )

    A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
    【考点】全等三角形的判定.
    【分析】由作图过程可得MO=NO,NC=MC,再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC.
    【解答】解:∵在△ONC和△OMC中,
    ∴△MOC≌△NOC(SSS),
    ∴∠BOC=∠AOC,
    故选:A.
     
    12.若a+b=﹣3,ab=1,则a2+b2=(  )
    A.﹣11 B.11 C.﹣7 D.7
    【考点】完全平方公式.
    【分析】根据a2+b2=(a+b)2﹣2ab,直接代入求值即可.
    【解答】解:当a+b=﹣3,ab=1时,
    a2+b2=(a+b)2﹣2ab=9﹣2=7.
    故选D.
     
    13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(  )

    A.3 B.4 C.5 D.6
    【考点】角平分线的性质.
    【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后利用△ABD的面积列式计算即可得解.
    【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,
    ∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
    ∴DE=CD,
    ∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15,
    解得DE=3.
    故选A.

     
    14.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是(  )

    A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状
    【考点】等边三角形的判定.
    【分析】先证得△ABE≌△ACD,可得AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,即可证明△ADE是等边三角形.
    【解答】解:∵△ABC为等边三角形
    ∴AB=AC
    ∵∠1=∠2,BE=CD
    ∴△ABE≌△ACD
    ∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°
    ∴△ADE是等边三角形.
    故选B.
     
    15.若m=2100,n=375,则m、n的大小关系正确的是(  )
    A.m>n B.m<n
    C.相等 D.大小关系无法确定
    【考点】幂的乘方与积的乘方.
    【分析】根据幂的乘方法则,将每一个数化为指数相同的数,再比较底数.
    【解答】解:∵m=2100=(24)25=1625,n=375=(33)25=2725,
    ∴2100<375,即m<n.
    故选B.
     
    16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正确的有(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【考点】等腰三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
    【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题.
    【解答】解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
    ∴△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,BD=CD,∠BED=∠DFC=90°
    ∴DE=DF
    ∴AD垂直平分EF
    ∴(4)错误;
    又∵AD所在直线是△ABC的对称轴,
    ∴(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF.
    故选C.
     
    二、试试你的身手(本大题共4小题,每小题3分,共12)
    17.分解因式:3a3﹣12a2+12a= 3a(a﹣2)2 .
    【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
    【分析】首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可.
    【解答】解:原式=3a(a2﹣4a+4)=3a(a﹣2)2,
    故答案为:3a(a﹣2)2.
     
    18.若一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形中的最大的角度是 90° .
    【考点】三角形内角和定理.
    【分析】已知三角形三个内角的度数之比,可以设一份为k,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数,从而确定三角形的最大角的度数.
    【解答】解:设三个内角的度数分别为k,2k,3k.
    则k+2k+3k=180°,
    解得k=30°,
    则2k=60°,3k=90°,
    这个三角形最大的角等于90°.
    故答案为:90°.
     
    19.我们知道;;;…根据上述规律,计算=  .
    【考点】规律型:数字的变化类.
    【分析】分别根据题意把对应的分式拆分成差的形式,则原式=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…(﹣)=1﹣=.
    【解答】解:原式=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…(﹣)=1﹣=.
     
    20.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC于D,若AB=4cm,AD=2cm,E为AB的中点,P为AD上一点,PE+PB的最小值为 2 .

    【考点】轴对称-最短路线问题;等边三角形的性质.
    【分析】连接EC交于AD于点P,由等腰三角形三线和一的性质可知AD是BC的垂直平分线,从而可证明BP=PC,故此PE+PB的最小值=EC,然后证明△ACE≌△CAD,从而得到EC=AD.
    【解答】解:连接EC交于AD于点P.

    ∵AB=AC,BD=DC,
    ∴AD⊥BC.
    ∴AD是BC的垂直平分线.
    ∴PB=PC.
    ∴PE+PB=EP+PC=EC.
    ∵△ABC为等边三角形,
    ∴∠EAC=∠ACD=60°,AB=BC.
    ∵点E和点D分别是AB和BC的中点,
    ∴AE=DC.
    在△ACE和△CAD中,,
    ∴△ACE≌△CAD.
    ∴EC=AD=2.
    故答案为:2.
     
    三、挑战你的技能解答题(本大题共6小题,共60分)
    21.先简化,再求值:(1+)÷,其中x=3.
    【考点】分式的化简求值.
    【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.
    【解答】解:原式=•
    =•
    =,
    当x=3时,原式==.
     
    22.解方程:.
    【考点】解分式方程.
    【分析】观察可得2﹣x=﹣(x﹣2),所以可确定方程最简公分母为:(x﹣2),然后去分母将分式方程化成整式方程求解.注意检验.
    【解答】解:方程两边同乘以(x﹣2),
    得:x﹣3+(x﹣2)=﹣3,
    解得x=1,
    检验:x=1时,x﹣2≠0,
    ∴x=1是原分式方程的解.
     
    23.如图1为L形的一种三格骨牌,它是由三个全等的正方形连接而成.
    请以L形的三格骨牌为基本图形,在图2和图3中各设计1个轴对称图形.要求如下:
    1、每个图形由3个L形三格骨牌组成,骨牌的顶点都在小正方形的顶点上.
    2、设计的图形用斜线涂出,若形状相同,则视为一种.

    【考点】利用轴对称设计图案.
    【分析】可以利用轴对称设计一个图案,再利用平移设计一个图案即可.
    【解答】解:如图所示:

     
    24.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在AC、AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.

    【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理.
    【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C,再在△ABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.
    【解答】解:∵DE=EB
    ∴设∠BDE=∠ABD=x,
    ∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x,
    ∵AD=DE,
    ∴∠AED=∠A=2x,
    ∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x,
    ∵BD=BC,
    ∴∠C=∠BDC=3x,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠C=3x,
    在△ABC中,3x+3x+2x=180°,
    解得x=22.5°,
    ∴∠A=2x=22.5°×2=45°.

     
    25.某一工程,在工程招标时,接到甲,乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲,乙两队的投标书测算,有如下方案:
    (1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
    (2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
    (3)若甲,乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
    试问:在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
    【考点】分式方程的应用.
    【分析】关键描述语为:“甲,乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”;说明甲队实际工作了3天,乙队工作了x天完成任务,工作量=工作时间×工作效率等量关系为:甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程.
    再看费用情况:方案(1)、(3)不耽误工期,符合要求,可以求费用,方案(2)显然不符合要求.
    【解答】解:设规定日期为x天.由题意得
    ++=1,

    3(x+6)+x2=x(x+6),
    3x=18,
    解之得:x=6.
    经检验:x=6是原方程的根.

    方案(1):1.2×6=7.2(万元);
    方案(2)比规定日期多用6天,显然不符合要求;
    方案(3):1.2×3+0.5×6=6.6(万元).
    ∵7.2>6.6,
    ∴在不耽误工期的前提下,选第三种施工方案最节省工程款.
     
    26.情景观察:
    如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
    ①写出图1中所有的全等三角形 △ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB ;
    ②线段AF与线段CE的数量关系是 AF=2CE .
    问题探究:
    如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
    求证:AE=2CD.
    拓展延伸:
    如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC=∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.求证:DF=2CE.
    要求:请你写出辅助线的作法,并在图3中画出辅助线,不需要证明.

    【考点】三角形综合题.
    【分析】情境观察:①由全等三角形的判定方法容易得出结果;
    ②由全等三角形的性质即可得出结论;
    问题探究:延长AB、CD交于点G,由ASA证明△ADC≌△ADG,得出对应边相等CD=GD,即CG=2CD,证出∠BAE=∠BCG,由ASA证明△ADC≌△CBG,得出AE=CG=2CD即可.
    拓展延伸:作DG⊥BC交CE的延长线于G,同上证明三角形全等,得出DF=CG即可.
    【解答】解:情境观察:
    ①∵AE⊥BC,
    ∴∠AEC=∠AEB=90°,
    在Rt△AEB和Rt△AEC中,
    ∵,
    ∴△ABE≌△ACE(HL),
    ∵CD⊥AB,∠BAC=45°,
    ∴AD=CD,
    ∵AB=AC,∠BAC=45°,
    ∴=67.5°,
    ∴∠BCD=90°﹣∠B=22.5°,
    又∵∠FAD=∠BAC=22.5°,
    ∴∠BCD=∠FAD,
    在△BCD和△FAD中,
    ∵,
    ∴△BCD≌△FAD(ASA),
    故答案为:△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;
    ②线段AF与线段CE的数量关系是:AF=2CE;
    ∵△BCD≌△FAD,
    ∴AF=BC,
    又∵AB=AC,且AE⊥BC,
    ∴BC=2CE,
    ∴AF=2CE,
    故答案为:AF=2CE.

    问题探究:
    延长AB、CD交于点G,如图2所示:

    ∵AD平分∠BAC,
    ∴∠CAD=∠GAD,
    ∵AD⊥CD,
    ∴∠ADC=∠ADG=90°,
    在△ADC和△ADG中,
    ∵,
    ∴△ADC≌△ADG(ASA),
    ∴CD=GD,即CG=2CD,
    ∵∠BAC=45°,AB=BC,
    ∴∠ABC=90°,
    ∴∠CBG=90°,
    ∴∠G+∠BCG=90°,
    ∵∠G+∠BAE=90°,
    ∴∠BAE=∠BCG,
    在△ABE和△CBG中,
    ∵,
    ∴△ADC≌△CBG中(ASA),
    ∴AE=CG=2CD.

    拓展延伸:如图3所示.作DG⊥BC于点H,交CE的延长线于G,

    ∵∠BAC=45°,AB=BC,
    ∴AB⊥BC,
    ∴DG∥AB,
    ∴∠GDC=∠BAC=45°,
    ∴∠EDC=∠BAC=22.5°=∠EDG,DH=CH,
    又∵DE⊥CE,
    ∴∠DEC=∠DEG=90°,
    在△DEC和△DEG中,
    ∵,
    ∴△DEC≌△DEG(ASA),
    ∴DC=DG,
    ∵∠DHF=∠CEF=90°,∠DFH=∠CFE,
    ∴∠FDH=∠GCH,
    在△DHF和△CHG中,
    ∵,
    ∴△DHF≌△CHG(ASA),
    ∴DF=CG=2CE.
     

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