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人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用背景图ppt课件
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这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用背景图ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了a2+b2c2，解直角三角形，其余3个，练一练，解直角三角形知识点二，°-∠A，3边角之间的关系，解依题意可知，知识点一，知识点二等内容，欢迎下载使用。
1、在三角形中共有几个元素？ 2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：
直角三角形中五个元素的关系知识点一
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间的关系：_______________（2）两锐角之间的关系：_____________（3）边角之间的关系：_______________________________________
由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余未知元素的过程，叫 .
2、知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？若已知直角三角形的某____个元素（直角除外，至少有一个是____），就可以求出这个直角三角形中________未知元素.
1、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．2、在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则csA的值是（ ）
例1 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= ，a= ，解这个三角形．
解：∵tanA= =_______=∴∠A=60°∴∠B=_______ =30° ∴AB=2AC=________
例2 在Rt△ABC中， ∠B =35度，b=20，解这个三角形．（结果保留小数点后一位）解：∠A=90°-∠B=90°-35°= 55°∵ tanB=______∴∵sinB=______∴C=______=______≈____
1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，c= ，解这个直角三角形.
解：∵sinA= ∴A=30° AC2=AB2-BC2 = =6 ∴AC=
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间的等量关系：（1）三边之间的关系：___________________（2）两锐角之间的关系：_________________（3）边角之间的关系：_________________________________________2、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），可求出其余所有元素的过程，叫_________________.3、学习反思：______________________________ ____________________________________。
1、在Rt△ABC中, ∠C=90°,已知tanB= ，则csA等于（ ）2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=35，c= 则∠A=________，b =________.
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=AB=15，求△ABC的周长和tanA的值
解：∵sinA= ∴ ∴△ABC的周长=15+12+9=36
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.
解：∠A=90°-72°=18°
第六课时 28.2 解直角三角形及其应用（2）
第二十八章 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用（2）
1、直角三角形中除直角外五个元素之间 具有什么关系？ 2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.
(1) 三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
生使学生了解仰角、俯角的概念，使学根据直角三角形的知识解决实际问题；
认真阅读课本第87至88页的内容，完成下面练习，并体验知识点的形成过程.
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km， 取3.142，结果精确到0. 1 km)
分析: 从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应该是视线与地球相切时的_____.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出 （即 ）
解:在上图中，FQ是⊙O的切线，
是直角三角形，
∴ ______∴弧PQ的长为 ______由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约______ km.
温馨提示：（1）在解决例3的问题时，我们综合运用了_____和_____________的知识.（2）当我们进行测量时，在视线与______线所成的角中，视线在______线上方的角叫做仰角，在______线下方的角叫做俯角．
知识点二 从函数的图象获取信息
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
如下左图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米.
解：如图所示，依题意可知∠B=600
答：梯子的长至少3.5米
2、学习反思：____________________________________________________________________________.
1、当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做____角，在水平线下方的角叫做_____角．
1、如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__ _______米.2、如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
解：依题意可知，在Rt∆ADC中
所以树高为：20.49+1.72=22.21
第七课时 28.2 解直角三角形及其应用（3）
第二十八章 锐角三角函数第七课时 28.2 解直角三角形及其应用（3）
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.
利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用.
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）
认真阅读课本第89至91页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
解:如图, 在 中, PC=__• _________ ≈在 中, PB=________=________≈129.7答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里.
练一练 如右下图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 方向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中，∵AP=40 ，∠APC=45°∴AC=PC=40在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40 ) 海里
1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_______）（2）根据条件特点，适当选用______ 等去解直角三角形.（3）得到数学问题的答案（4）得到_______的答案2、学习反思：______________________ _____________________________ ___ __.
1、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中， ∵tan∠BOA= =tan60°= ∴AB=BO• tan60°=4 × =4 （米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米。
2、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.
解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°， ∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
解：如图，过A作AD⊥BC于点C，则AD的长是A到BC的最短距离， ∵∠CAC=30°，∠DAB=60°， ∴∠BAC=60°-30°=30°，∠ABC=90°-60°=30°， ∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=12海里， ∵∠CAC=30°，∠ACC=90°，∴CD= AC=6海里， 由勾股定理得AC= =6 ≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
4、如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C处，此时B在C的南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°∴∠CAB=30°， ∴∠DCB=60°，∴∠DBC=30°， ∴∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴∠CAB=∠CBA，∴AC=CB=200m， ∴在Rt△BCD中，BD=BC•sin60° =200× =100 （m）， ∵学校是以B为中心方圆100m的圆形， ∵100 ＞100，∴工程若继续进行下去不会穿越学校．
1、在三角形中共有几个元素？ 2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：
直角三角形中五个元素的关系知识点一
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间的关系：_______________（2）两锐角之间的关系：_____________（3）边角之间的关系：_______________________________________
由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余未知元素的过程，叫 .
2、知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？若已知直角三角形的某____个元素（直角除外，至少有一个是____），就可以求出这个直角三角形中________未知元素.
1、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．2、在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则csA的值是（ ）
例1 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= ，a= ，解这个三角形．
解：∵tanA= =_______=∴∠A=60°∴∠B=_______ =30° ∴AB=2AC=________
例2 在Rt△ABC中， ∠B =35度，b=20，解这个三角形．（结果保留小数点后一位）解：∠A=90°-∠B=90°-35°= 55°∵ tanB=______∴∵sinB=______∴C=______=______≈____
1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，c= ，解这个直角三角形.
解：∵sinA= ∴A=30° AC2=AB2-BC2 = =6 ∴AC=
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间的等量关系：（1）三边之间的关系：___________________（2）两锐角之间的关系：_________________（3）边角之间的关系：_________________________________________2、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），可求出其余所有元素的过程，叫_________________.3、学习反思：______________________________ ____________________________________。
1、在Rt△ABC中, ∠C=90°,已知tanB= ，则csA等于（ ）2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=35，c= 则∠A=________，b =________.
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=AB=15，求△ABC的周长和tanA的值
解：∵sinA= ∴ ∴△ABC的周长=15+12+9=36
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.
解：∠A=90°-72°=18°
第六课时 28.2 解直角三角形及其应用（2）
第二十八章 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用（2）
1、直角三角形中除直角外五个元素之间 具有什么关系？ 2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.
(1) 三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
生使学生了解仰角、俯角的概念，使学根据直角三角形的知识解决实际问题；
认真阅读课本第87至88页的内容，完成下面练习，并体验知识点的形成过程.
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km， 取3.142，结果精确到0. 1 km)
分析: 从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应该是视线与地球相切时的_____.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出 （即 ）
解:在上图中，FQ是⊙O的切线，
是直角三角形，
∴ ______∴弧PQ的长为 ______由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约______ km.
温馨提示：（1）在解决例3的问题时，我们综合运用了_____和_____________的知识.（2）当我们进行测量时，在视线与______线所成的角中，视线在______线上方的角叫做仰角，在______线下方的角叫做俯角．
知识点二 从函数的图象获取信息
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
如下左图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米.
解：如图所示，依题意可知∠B=600
答：梯子的长至少3.5米
2、学习反思：____________________________________________________________________________.
1、当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做____角，在水平线下方的角叫做_____角．
1、如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__ _______米.2、如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
解：依题意可知，在Rt∆ADC中
所以树高为：20.49+1.72=22.21
第七课时 28.2 解直角三角形及其应用（3）
第二十八章 锐角三角函数第七课时 28.2 解直角三角形及其应用（3）
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.
利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用.
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）
认真阅读课本第89至91页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
解:如图, 在 中, PC=__• _________ ≈在 中, PB=________=________≈129.7答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里.
练一练 如右下图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 方向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中，∵AP=40 ，∠APC=45°∴AC=PC=40在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40 ) 海里
1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_______）（2）根据条件特点，适当选用______ 等去解直角三角形.（3）得到数学问题的答案（4）得到_______的答案2、学习反思：______________________ _____________________________ ___ __.
1、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中， ∵tan∠BOA= =tan60°= ∴AB=BO• tan60°=4 × =4 （米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米。
2、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.
解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°， ∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
解：如图，过A作AD⊥BC于点C，则AD的长是A到BC的最短距离， ∵∠CAC=30°，∠DAB=60°， ∴∠BAC=60°-30°=30°，∠ABC=90°-60°=30°， ∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=12海里， ∵∠CAC=30°，∠ACC=90°，∴CD= AC=6海里， 由勾股定理得AC= =6 ≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
4、如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C处，此时B在C的南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°∴∠CAB=30°， ∴∠DCB=60°，∴∠DBC=30°， ∴∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴∠CAB=∠CBA，∴AC=CB=200m， ∴在Rt△BCD中，BD=BC•sin60° =200× =100 （m）， ∵学校是以B为中心方圆100m的圆形， ∵100 ＞100，∴工程若继续进行下去不会穿越学校．
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