人教版九年级下册28.1 锐角三角函数同步练习题

这是一份人教版九年级下册28.1 锐角三角函数同步练习题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．sin30°=（ ）
A． B． C． D．
2．的值是( )
A． B．0 C．1 D．
3．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）.
A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里
5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A． B．20tan37° C． D．20sin37°
6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D.
8．一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（ ）
A．800•sinα米 B．米 C．800•csα米 D．米
9．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（，1），则cs∠POM=（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=_____．
12．在中，，当已知和时，求，则________．
13．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是____m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．
14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点。则△AOE与△BMF的面积比为_________．
15．求值：sin60°-tan30°= ______ ．
16．计算：﹣tan45°的值是_____．
17．如图，若，则________．
18．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．则垂直支架CD的长度为________厘米（结果保留根号）．
19．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为______米．
20．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，AC和BD相交于点E.若AD∥BC，BD⊥AD，2DE＝BE， AD＝BD，则∠BAC＋∠BCA的度数为_______．
三、解答题（共60分）
21．（本题5分）．
22．（本题6分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cs68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7）
[来源:Z。xx。k.Cm]
23．（本题6分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求塔高和此人在地面时到塔底的距离．
24．（本题6分）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
25．（本题8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
26．（本题9分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
（1）求出大厦的高度BD；
（2）求出小敏家的高度AE．
27．（本题9分）已知：如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为4，AB=8．
（1）求OB的长；
（2）求sinA的值．
28．（本题10分）已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD+OE+OF=a；结论2．AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

（测试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．sin30°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据特殊角的三角函数值进行解答即可
2．的值是( )
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】
任何非零实数的零次幂都为1.故选C.
3．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】
由图可得，tanα=2÷1=2．
故选D．
4．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）.
A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里
【答案】C．
5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A． B．20tan37° C． D．20sin37°
【答案】B．
【解析】
如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B．
6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D.
【答案】D
【解析】
∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，
故tan∠B==．故选D．
8．一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（ ）
A．800•sinα米 B．米 C．800•csα米 D．米
【答案】A
9．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（，1），则cs∠POM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作PA⊥x轴于A，
∵点P的坐标为（，1），
∴OA=，PA=1，
由勾股定理得，OP=2，
cs∠POM==，
故选A．
10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014
【答案】D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=_____．
【答案】30°
【解析】
∵∠A是锐角，tanA=，∴∠A=30°．故答案为：30°．
12．在中，，当已知和时，求，则________．
【答案】
【解析】
如图，
∵已知∠A和a，求c，
∴sinA=，
∴c=．
故选：A．
13．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是____m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．
【答案】
∴，解得：AB=.
故答案为：.
14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点。则△AOE与△BMF的面积比为_________．
【答案】
【解析】连接MF，作AG⊥BC交BC于点G，作MH⊥BC交BC于点H，
∴∠EAO=∠ACB=30°，∴OE=OA·tan30°=x，AE==2x，
∴S△AOE=OA·OE=x2，
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF=2x，
∴BF=6x－2x=4x，
∴S△BMF=BF·MH=2x2，
∴S△AOE∶S△BMF=(x2)∶(2x2)=3∶4.
故答案为3∶4.
15．求值：sin60°-tan30°= ______ ．
【答案】
【解析】
原式=-=.
16．计算：﹣tan45°的值是_____．
【答案】0
17．如图，若，则________．
【答案】
【解析】
∵+=90°，
∴.
故答案为：.
18．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．则垂直支架CD的长度为________厘米（结果保留根号）．
【答案】38
19．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为______米．
【答案】8．
【解析】
分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G．
在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，∴sin∠B=，∴AF=12×=6.
易知四边形AFGD是矩形，∴DG=AF=6.
在Rt△DGC中，CD=12，DG=6，∴GC==18.
在Rt△DEG中，tanE＝= ，∴EG=26，
∴CE=GE-CG=26-18=8．
故答案为8．
20．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，AC和BD相交于点E.若AD∥BC，BD⊥AD，2DE＝BE， AD＝BD，则∠BAC＋∠BCA的度数为_______．
【答案】60°
三、解答题（共60分）
21．（本题5分）．
【答案】.
【解析】
==.
22．（本题6分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cs68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7）
【答案】308米
解得：x=≈≈308米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米．
23．（本题6分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求塔高和此人在地面时到塔底的距离．
【答案】塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是25米．
【解析】
设BC=x米，则DE=BC=x米．
∵直角△ADE中，tan∠ADE=，
∴AE=DEtan30°=xtan30°=x（米）．
同理，直角△ABC中，AC=BCtan60°=x（米），
根据题意得：x﹣x=50，
解得：x=25，
则AC=x=75（米）．
答：塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是25米．
24．（本题6分）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
【答案】供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．
25．（本题8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
【答案】（1）2米；（2）（6+ EQ \R(,3)）或（6- EQ \R(,3)）米.
26．（本题9分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
（1）求出大厦的高度BD；
（2）求出小敏家的高度AE．
【答案】（1）（20+20）（2）20
在Rt△ACD中，tan30°=，
∴CD=AC•tan30°=20×=20（米），
∴BD=BC+CD=20+20（米）；
∴大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）∵四边形AEDC是矩形，
∴AE=CD=20米．
∴小敏家的高度AE为20米．
27．（本题9分）已知：如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为4，AB=8．
（1）求OB的长；
（2）求sinA的值．
【答案】（1）（2）
28．（本题10分）已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD+OE+OF=a；结论2．AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2）①：结论1成立．证明见解析；②：结论2成立．
∴△MNG为等边三角形．
在Rt△ABM中，BM=，
在Rt△BCN中，BN=，
∴MN=BM+BN=a．
（2）①：结论1成立．
证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四边形OEMH是矩形，
∴HM=OE．
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a．
（2）②：结论2成立．
证明：如图4，连接OA、OB、OC，
根据勾股定理得：
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，
∴BE2+CF2+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF）2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．