初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数综合训练题

《第二十八章  锐角三角函数》测试卷（A卷）

（测试时间：120分钟     满分：120分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ）

A． 不变化    B． 扩大2倍    C． 缩小2倍    D． 不能确定

2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于(  )

A． 1    B．     C．     D． [来源:学#科#网Z#X#X#K]

3．已知α为锐角，如果sinα=， 那么α等于（　　）

A． 30°    B． 45°    C． 60°    D． 不确定

4．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12　m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于(    )

A． 6（＋1）m    B． 6 (-1) m    C． 12 (＋1) m    D． 12（－1）m

5．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα=   ， 则飞机到目标B的水平距离BC为（　　）

A． 5400米         B． 5400米           C． 5600米        D． 5600米

6．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（　　）

A．                  B．                C．                       D．

7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（　　）

A． 45°    B． 75°    C． 105°    D． 120°

8．因为sin30°=，sin210°=，所以sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°；因为sin45°=，sin225°=，所以sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=﹣sinα，由此可知：sin240°=（　　）

A．     B．    C．     D．

9．如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）

A． 30 米              B． 30 米           C． 40 米            D． （30+ ）米

10．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③中，，则；④中，，则．其中正确的命题有（ ）

A． 0个    B． 1个    C． 2个    D． 3个

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行             海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．

12．某人沿着坡度i=：的山坡走了50米，则他离地面              米高．

13．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，若，则AD＝______。

14．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则CB的长为  ．

15．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=      ．

16．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=      ．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，，则的值为      ．

18．在等腰△ABC中，AB=AC，cos∠ABC，点P是直线BC上一点，且PC PB=1：3，则tan∠APB=            ．

19．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，  且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____________cm．

20．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为      海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

三、解答题（共60分）

21．（本题5分）计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°．

[来源:学科网]

22．（本题6分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：，）

23．（本题7分）为了弘扬南开精神，我校将“允公允能，日新月异”的校调印在旗帜上，放置在教学楼的顶部（如图所示），小华在教学楼前空地上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得旗帜的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4.8米到达点F处，又从点E测得旗帜的顶部A的仰角为45°．若教学楼高BM=19米，且点A、B、M在同一直线上，求旗帜AB的高度（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．

24．（本题7分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．

[来源:Zxxk.Com]

25．（本题8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．

（1）若∠A=60°，求BC的长；

（2）若sinA=，求AD的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

[来源:学.科.网]

26．（本题9分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=，求：

（1）△ABC的面积；

（2）sin∠ACD的值．

27．（本题9分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

（1）求改直的公路AB的长；[来源:Z|xx|k.Com]

（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

28．（本题9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60℃，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒。

(1)、求CD的长。（结果保留根号）

(2)、问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73

（测试时间：120分钟     满分：120分）[来源:学.科.网]

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ）

A． 不变化    B． 扩大2倍    C． 缩小2倍    D． 不能确定

【答案】A

【解析】

∵锐角的正切值为对边和邻边的比值，

∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变.

故选A.

2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于(  )

A． 1    B．     C．     D．

【答案】C

3．已知α为锐角，如果sinα=， 那么α等于（　　）

A． 30°    B． 45°    C． 60°    D． 不确定

【答案】B

【解析】

∵α为锐角，sinα=，

∴α=45°．

故选：B．

4．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12　m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于(    )

A． 6（＋1）m    B． 6 (-1) m    C． 12 (＋1) m    D． 12（－1）m

【答案】A

5．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα=   ， 则飞机到目标B的水平距离BC为（　　）

A． 5400米               B． 5400米           C． 5600米               D． 5600米

【答案】A

【解析】

由题知，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=α ，AC=4500 ，
∵tanα= =      ∴BC=5400.

6．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（　　）

A．                  B．                C．                       D．

【答案】A

7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（　　）

A． 45°    B． 75°    C． 105°    D． 120°

【答案】C

【解析】

由题意得，sinA-=0，-cosB=0，

即sinA=，=cosB，

解得，∠A=30°，∠B=45°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，

故选：C．

8．因为sin30°=，sin210°=，所以sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°；因为sin45°=，sin225°=，所以sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=﹣sinα，由此可知：sin240°=（　　）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

∵当α为锐角时有sin（180°+α）=﹣sinα，

∴sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．

故选C．

9．如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）

A． 30 米                             B． 30 米                             C． 40 米                             D． （30+ ）米

【答案】B

10．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③中，，则；④中，，则．其中正确的命题有（ ）

A． 0个    B． 1个    C． 2个    D． 3个

【答案】C

【解析】

①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；

②两个元素中，至少得有一条边，故错误；

③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得则 = =1，故正确；

④根据锐角三角函数的概念，得tanC=，sinC=，cosC=，则tanC⋅cosC=sinC，故错误．

故选C．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行             海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．

【答案】.

故该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．

12．某人沿着坡度i=：的山坡走了50米，则他离地面              米高．

【答案】25

【解析】[来源:学§科§网]

利用相应的坡度求得坡角为30°，然后运用三角函数求他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．

13．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，若，则AD＝______。

【答案】4

【解析】

根据题意可得BC=6，根据tan∠DBC=可得CD=2，即AD=AC－CD=6－2=4.

14．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则CB的长为  ．[来源:学科网ZXXK]

【答案】

故答案为：

15．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=      ．

【答案】.

【解析】

设CE=x，则BE=AE=8﹣x，因∠C=90°，AC=6，由勾股定理可得62+x2=（8﹣x）2，解得x=，所以tan∠CAE=.

16．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=      ．

【答案】．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，，则的值为      ．

【答案】.

【解析】

由题意可得,故,因此.

18．在等腰△ABC中，AB=AC，cos∠ABC，点P是直线BC上一点，且PC PB=1：3，则tan∠APB=            ．

【答案】或．

∴BC=8x，

∵PC：PB=1：3，

∴PB=6x，

∴PD=2x，

∴tan∠APB==；

如图2，∵PC：PB=1：3，

∴PB=12x，

∴PD=8x，

∴tan∠APB==；

综上所述：tan∠APB=或．

故答案为：或．

19．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，  且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____________cm．

【答案】36.

20．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为      海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

【答案】11．

【解析】

如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，PA=18，∠A=30°，可得PC=PA=×18=9；在Rt△PBC中，PC=9，∠B=55°，求得PB=≈11，即此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．

三、解答题（共60分）

21．（本题5分）计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°．

【答案】

22．（本题6分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：，）

【答案】这段地铁AB的长度为546m

【解析】

过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，

∴CD=BC=200（m），

BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200（m），

AD=CD=200（m），

∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），

答：这段地铁AB的长度为546m．

23．（本题7分）为了弘扬南开精神，我校将“允公允能，日新月异”的校调印在旗帜上，放置在教学楼的顶部（如图所示），小华在教学楼前空地上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得旗帜的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4.8米到达点F处，又从点E测得旗帜的顶部A的仰角为45°．若教学楼高BM=19米，且点A、B、M在同一直线上，求旗帜AB的高度（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．

【答案】宣传牌AB的高度约为1.2m

【解析】

过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，

设AB=x米，则AN=x+（19﹣1）=x+18（米），

在Rt△AEN中，∠AEN=45°，

∴EN=AN=x+18，

在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=19m，

∴tan∠BCN═=0.75，

∴=，

解得：x=1.2．

经检验：x=1.2是原分式方程的解．

答：宣传牌AB的高度约为1.2m．

24．（本题7分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．

【答案】拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．

在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，

∴CF=CD=500米，

∴DA=BE+CF=（500+500）米，

故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．

25．（本题8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．

（1）若∠A=60°，求BC的长；

（2）若sinA=，求AD的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【答案】（1）6﹣8；（2）．

（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，

∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，

∴3x=6，得x=2，

∴BE=8，AE=10，

∴tanE====，

解得，DE=，

∴AD=AE﹣DE=10﹣=，

即AD的长是．

26．（本题9分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=，求：

（1）△ABC的面积；

（2）sin∠ACD的值．

【答案】（1）6;（2）．

【解析】

（1）如图，

（1）作AH⊥BC于H，

在Rt△ACH中，

∵tan∠ACB=3，AC=，

设CH=x，AH=3x，

根据勾股定理得AC=x，

∴CH=1，AH=3，

在Rt△ABH中，∠B=45°，

∴BH=AH=3，

∴S△ABC=×4×3=6；

在Rt△CDF中，CD=，

∴在Rt△CDE中，sin∠ACD==．

27．（本题9分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

（1）求改直的公路AB的长；

（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

【答案】(1)、14.7千米；(2)、2.3千米.

【解析】[来源:Zxxk.Com]

 (1)、作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），[来源:Zxxk.Com]

AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），

在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），

∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．    故改直的公路AB的长14.7千米；

(2)、在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），

则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．  答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．

28．（本题9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60℃，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒。

(1)、求CD的长。（结果保留根号）

(2)、问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73

【答案】(1)、20；(2)、没有超速.

∴速度=≈12.92（米/秒）。  ∵12.92米/秒=46.512千米/小时＜50千米/时，∴该车没有超速。