初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆学案

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第二十四章  圆24.1  圆的有关性质24.1.1  圆 学习目标：1.认识圆，理解圆的本质属性.2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念， 并了解它们之间的区别和联系.3.初步了解点与圆的位置关系.重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.
一、知识链接1.说一说你在生活中哪些地方见过圆？   2.你知道车轮为什么要做成圆形的吗？做成三角形、正方形可以吗？  
 二、要点探究探究点1：探究圆的概念情景  一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？问题1  观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 知识要点  （1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做_______．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.(2)固定的端点O叫做______，线段OA叫做______，一般用r表示．  问题2  观察下列图形，想一想，确定一个圆的要素有哪些？        _______相同，______不同       ________相同，________不同知识要点 确定一个圆的要素：一是_____________;二是_____________. 想一想  从画圆的过程可以看出什么呢？(1) 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于       ．(2) 到定点的距离等于定长的点都在           ．要点归纳：圆的基本性质——同圆的半径相等.典例精析例1  (教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上.    探究点2：圆的有关概念知识要点：连接圆上任意两点的线段(如图中的AC)叫做弦.经过圆心的弦(如图中的AB)叫做直径．问题  圆中最长的弦是什么？为什么？       要点归纳：1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；2.直径是圆中最长的弦. 知识要点：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的；大于半圆的弧叫做优弧.如图中的. 例2  如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧；(2)请写出以点A为端点的弦及直径；(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.     知识要点：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.想一想  长度相等的弧是等弧吗？  例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，求∠ACD的度数.     注意：在圆中常利用半径相等得等腰三角形求角度.变式  如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数． 三、课堂小结 圆的定义旋转定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径.集合定义圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．圆的有关概念 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径．直径是圆中最长的弦.弧圆上任意两点间的部分叫做弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧.等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.           1.填空.(1)      是圆中最长的弦，它是     的2倍．(2) 图中有     条直径，     条非直径的弦，圆中以A为一个端点的圆弧中，优弧有     条，劣弧有      条．   2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.3.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，求∠AOD的度数.    如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上.(1)  求证：OB=OC. (2)设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为______.    变式  如图，在扇形MON中，∠MON=45°，半径MO=NO=10，正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.  参考答案自主学习一、知识链接1. 解：比如车轮，硬币，呼啦圈、井盖等.          2. 解：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，有利于车子平稳行驶；不可以做成三角形或正方形. 课堂探究二、要点探究探究点1：情景    解：不公平；在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.问题1   解：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形就是圆.知识要点 （1）圆      （2）圆心     半径问题2     圆心     半径      半径       圆心知识要点     圆心     半径想一想 （1）定长r     同一个圆上典例精析例1  证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=   AC，OB=OD=   BD. 又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. 探究点2：问题  解：圆中最长的弦是直径.  如图所示，连接OC,在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC，而AB=2OA，AO=OC，所以AB>AC. 例2 解:(1)劣弧:                   优弧：(2) 弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直径.   (3) 答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是     想一想  解：不可能，等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.例3  解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°-2×50°=80°，∴∠ACD=90°-80°=10°.变式  解：连接OD，如图.∵AB=2DE，AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°.∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°∵OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°.∴∠AOC=∠C+∠E=60°． 当堂检测1. （1）直径    半径      （2） 一      二       四       四2.（1）×  （2）√  （3）×   （4）×  （5）×  （6）√  （7）×3. 解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180°-70°-70°=40°．4. （1）证明：如图，连接OA，OD.∴OA=OD.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD.在Rt△ABO和Rt△DCO中， ∴Rt△ABO≌Rt△DCO.∴OB=OC.(2)    解析：设OB=x，则AD=BC=OB+OC=2x.在Rt△ABO中， 即，解得x=∴正方形ABCD的边长为2x=.变式  解：连接OA. ∵ABCD为正方形，∴AB=BC =CD，∠ABC=∠DCB=90°.又∵∠DOC=45°，∴DC=CO.设OC=x，则AB=BC=DC=OC=x.又∵OA=OM=10,∴在Rt△ABO中，即∴.