初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆导学案

第二十四章  圆

24.3  正多边形和圆

学习目标：1.了解正多边形和圆的有关概念.

2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.

3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.

重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.

难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.

一、知识链接

观察下列各图形，并度量各图形的边长和角度，你有什么发现？

二、要点探究

探究点1：正多边形的对称性

问题1  什么叫做正多边形？

问题2  矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

问题3  正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

要点归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.

探究点2：正多边形的有关概念及性质

问题1  怎样把一个圆进行四等分？

问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？

探究归纳

把⊙O 进行5等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE .

(1)填空：

①_______=______;

②_______=______;

③ ∠A_____∠E.

(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.

要点归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.

问题3  以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？

想一想  所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？

要点归纳：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于.

练一练  完成下面表格：

探究点3：正多边形的有关计算

探究归纳  如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：

①它的中心角等于     度 ；

②OC     BC  (填＞、＜或＝）；

③△OBC是     三角形；

④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的     倍.

⑤圆内接正n边形面积公式：                 .

典例精析

例1  如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是    (    )

A．  60°      

B．  45°      

C．  36°    

D． 30°

变式题 

如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AD和CE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）

A．36°           

B．60°         

C．72°        

D．108°

例2  (教材P106例题)有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).

方法总结：圆内接正多边形的辅助线的作法：

1.连半径，得中心角；       2.作边心距，构造直角三角形.

练一练

三、课堂小结

1.一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（　　）

A．是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．是中心对称图形，但不是轴对称图形

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形

D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

2.如图，已知⊙O的内接正方形边长为4，则⊙O的半径是（　　）

A．2            B．4           C．         D．

第2题图        第3题图             第5题图

3.已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（　　）

A．30°    B．30°或150°   C．60°   D．60°或120°

4.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个多边形的边数是        .

5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为      度.(不取近似值)

6.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要       cm.

7.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG=BH．

(1) 求∠FAB的度数；

(2) 求证：OG=OH．

拓广探索

如图，M，N分别是☉O内接正多边形AB，BC上的点，且BM=CN.

(1)图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；

(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.

每个图形中，各边相等，每个角也相等

课堂探究

二、要点探究

探究点1：正多边形的对称性

问题1：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

问题2：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；

问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形；正四边形、正六边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形.

探究点2：正多边形的有关概念及性质

问题1：如图①，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点点A、B、C、D，则点A、B 、C、D将圆四等分.

问题2：四边形ABCD是一个正方形.

探究归纳  （1）    3    （2）    3     （3）=

（2）五边形ABCDE是正五边形.理由如下：同（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得即AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.

问题3  解：如图，EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.AC、CA分别是∠DAB及∠DCB的平分线，BD、DB分别是∠ABC及∠ADC的平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.

想一想  任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.

练一练

探究点3：正多边形的有关计算

探究归纳  ①60    ②=   ③等边   ④6   ⑤S正多边形=×周长×边心距

典例精析

例1  C   变式题 C

例2  解：过点O作OP⊥BC于M.在Rt△OPB中,OB＝4m,  PB＝利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积

练一练

当堂检测

1.C   2.C   3.B  4.3  5.  6.

7.(1)解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∠FAB=

(2)证明：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠FAB=∠CBA，∴∠OAG=∠OBH，在△AOG和△BOH中，∴△AOG≌△BOH（SAS）.∴OG=OH．

拓广探索

（1）120°  90°  72°  （2）