2019-2020学年某校高一（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年某校高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1, 3, 7}，B={2, 3, 8}，则(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{1, 2, 7, 8}B.{4, 5, 6}C.{0, 4, 5, 6}D.{0, 3, 4, 5, 6}

2. 下列函数f(x)与g(x)是相同函数的是（ ）
A.f(x)=(x−1)2；g(x)＝x−1
B.f(x)=x2−1x−1；g(x)＝x+1
C.f(x)＝lg(x+1)+lg(x−1)；g(x)＝lg(x2−1)
D.f(x)＝ex+1．ex−1；g(x)＝e2x

3. 已知函数f(x)=4x2+kx−1在区间[1, 2]上是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.(−∞, −16]∪[−8, +∞)B.[−16, −8]
C.(−∞, −8)∪[−4, +∞)D.[−8, −4]

4. 设函数f(2x)的定义域是[2, 4]，则函数f(x2)的定义域为（ ）
A.[1, 2]B.[12,1]C.[2, 8]D.[8, 32]

5. 设f(x)是R上的偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，若x1<0且x1+x2>0，则（ ）
A.f(−x1)>f(−x2)B.f(−x1)＝f(−x2)
C.f(−x1)
6. 已知向量a→与b→的夹角为60∘，|a→|＝2，|b→|＝5，则2a→−b→在a→方向上的投影为（ ）
A.32B.2C.52D.3

7. 已知lga+lgb=0，函数f(x)=ax与函数g(x)=−lgbx的图象可能是( )
A.B.
C.D.

8. 已知函数f(x)＝x3+sinx的定义域为[−1, 1]，若f(lg2m)A.[0, 2]B.[12,2)C.[12,2]D.[−74,2)

9. 定义集合的商集运算为AB={x|x=mn,m∈A,n∈B}，已知集合S＝{2, 4, 6}，T={x|x=k2−1,k∈S}，则集合ST∪T中的元素个数为（ ）
A.5B.6C.7D.8

10. 将函数y＝5sin(−3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移π3，得到图象对应解析式是（ ）
A.y＝5cs3x2B.y＝5sin(7π10−3x2)
C.y＝5sin(π6−6x)D.y＝5sin(3π2−3x2)

11. 在△ABC中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB→−AC→=BC→
②AB→+BC→+CA→=0→
③点O为△ABC的内心，且(OB→−OC→)⋅(OB→+OC→−2OA→)=0，则△ABC为等腰三角形
④AC→⋅AB→>0，则△ABC为锐角三角形．
A.1B.2C.3D.4

12. 已知函数f(x)=4sin(2x−π6),x∈[0,16π3]，若函数F(x)＝f(x)−3的所有零点依次记为x1，x2，x3…，xn，且x1A.85π3B.155π3C.42πD.281π6
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.

已知函数f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，则f(2)＝________．

工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式，某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120∘，外圆半径为50cm，内圆半径为20cm，则制作这样的一面扇面需要的布料为 2198 cm2（用数字作答，π取3.14）．


在△ABC中，∠A＝60∘，AB＝3，AC＝2．若BD→=2DC→，AE→=λAC→−AB→(λ∈R)，且AD→⋅AE→=−4，则λ的值为________．

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=12(|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，若∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，则实数a的取值范围为________−66，66] ．
三、解答题：共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分.

（1）已知角α的终边经过点P(x, 6)，且csα=−513，求sinα和tanα的值．
（2）已知csα=17，cs(α−β)=1314，且0<β<α<π2，求角β．

已知函数f(x)=a−21+2x是定义在R上的奇函数．
(Ⅰ)求f(x)的解析式及值域；
(Ⅱ)判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．

已知函数f(x)=sin(2x+π6)

（1）填表并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个固期上的图象：

（2）求f(x)的对称轴与对称中心；

（3）求f(x)在区间[−11π12,−π2]上的最大值和最小值以及对应x的值．

已知O为坐标原点，OA→=(2csx,3)，OB→=(sinx+3csx,−1)，f(x)=OA→⋅OB→+2．
（1）求函数f(x)在[0, π]上的单调增区间；

（2）当x∈(0,π2)时，若方程f(x)+m＝0有根，求m的取值范围．

某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P(x)（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx（k为正实数），日销售量Q(x)（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为121（百元）．
(1)求k的值；

(2)给出以下二种函数模型：①Q(x)＝ax+b，②Q(x)＝a|x−25|+b，请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30, x∈N)的最小值.（f(x)=x+kx(x>0,k>0)在区间(0,k)上单调递减，在区间(k,+∞)上单调递增，性质直接应用）

已知函数f(x)=1+x+1−x．
（1）求函数f(x)的定义域和值域；

（2）F(x)=a1−x2+1+x+1−x（其中a为参数），求F(x)的最大值g(a)．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省某校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题.每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据补集与交集的定义，进行化简与运算即可．
【解答】
解：全集U={x∈N|x≤8}={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，
集合A={1, 3, 7}，
∴ ∁UA={0, 2, 4, 5, 6, 8}；
B={2, 3, 8}，
∴ ∁UB={0, 1, 4, 5, 6, 7}；
∴ (∁UA)∩(∁UB)={0, 4, 5, 6}．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可
【解答】
对于A，对应关系不同，不是同一函数，
对于B，定义域不同，不是同一函数，
对于C，定义域不同，不是同一函数，
对于D，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
3.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
求出f(x)的对称轴方程，讨论f(x)在区间[1, 2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
解：函数f(x)=4x2+kx−1的对称轴为x=−k8，
若f(x)在区间[1, 2]上是单调增函数，
可得−k8≤1，解得k≥−8；
若f(x)在区间[1, 2]上是单调减函数，
可得−k8≥2，解得k≤−16．
综上可得k的范围是(−∞,−16]∪[−8,+∞)．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
先求出2x的范围即x2的范围，从而求出x的范围即可．
【解答】
∵ 函数f(2x)的定义域是[2, 4]，
∴ 4≤2x≤16，
∴ 4≤x2≤16，
则函数f(x2)的定义域为[8, 32]，
5.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
先利用偶函数图象的对称性得出f(x)在(−∞, 0)上是增函数；然后再利用x1<0且x1+x2>0把自变量都转化到区间(−∞, 0)上即可求出答案．
【解答】
f(x)是R上的偶函数，且在(0, +∞)上是减函数
故 在(−∞, 0)上是增函数
因为x1<0且x1+x2>0，故0>x1>−x2；
所以有f(x1)>f(−x2)．
又因为f(−x1)＝f(x1)，
所以有f(−x1)>F(−x2)．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．
【解答】
∵ 向量a→与b→的夹角为60∘，且|a→|＝2，|b→|＝5，
∴ (2a→−b→)⋅a→=2a→2−b→⋅a→=2×22−5×2×cs60∘＝3，
∴ 向量2a→−b→在a→方向上的投影为a→⋅(2a→−b→)|a→|=32．
7.
【答案】
B
【考点】
函数图象的作法
【解析】
先求出a、b的关系，将函数g(x)进行化简，得到函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．
【解答】
解：∵ lga+lgb=0,
∴ ab=1则b=1a.
从而g(x)=−lgbx=lgax，
∴ 函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减.
结合选项可知选B.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
【解答】
函数f(x)是奇函数，当0≤x≤1时，函数的导数f′(x)＝3x2+csx>0，即函数为增函数，
则f(x)在定义域为[−1, 1]，为增函数，
则不等式等价f(lg2m)即−1≤lg2m≤1−1≤lg4(m+2)≤1lg4m29.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
【解析】
可以求出T＝{0, 1, 2}，然后根据商集的定义即可得出ST={1,2,3,4,6}，然后进行并集的运算即可求出集合ST∪T中的元素个数．
【解答】
S＝{2, 4, 6}，T＝{0, 1, 2}，
∴ ST={1,2,3,4,6}，
∴ ST∪T={0,1,2,3,4,6}，
∴ 集合ST∪T中的元素个数为6．
10.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
直接利用函数图象的伸缩变换求出函数图象对应解析式．
【解答】
将函数y＝5sin(−3x)的周期扩大为原来的2倍，
得到函数y＝5sin(−32x)，再将函数图象左移π3，
得到函数y＝5sin[−32(x+π3)]＝5sin(−π2−3x2)＝5sin(3π2−3x2)
11.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
利用向量加法定理、向量数量积公式直接求解．
【解答】
由△ABC，得：
在①中，AB→−AC→=CB→，故①错误；
在②中，AB→+BC→+CA→=0→，故②正确；
在③中，点 O为△ABC的内心，且(OB→−OC→)⋅(OB→+OC→−2OA→)=0，
则AB＝AC，△ABC为等腰三角形，故③正确；
在④中，AC→⋅AB→>0，则∠BAC是锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，故④错误．
12.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
先算出函数f(x)的对称轴，再利用对称性即可求解．
【解答】
令2x−π6=π2+kπ得函数对称轴为x=π3+kπ2(k∈z)，
∵ f(x)的最小正周期为T＝π，
当k＝0时，第一条对称轴为x=π3，当k＝10时，可得x=16π3，
∴ f(x)在[0,16π3]有11条对称轴，函f(x)=4sin(2x−π6)与y＝3有11个交点，x1与x2关于x=π3对称，x2与x3关于x=5π6对称，……，xn−1与xn关于x=29π6对称，
即x1+x2=2×2π6，x2+x3=2×5π6，……，x10+x11=2×29π6，
∴ x1+2x2+2x3+⋯+2x10+x11=2(2π6+5π6+⋯+29π6)=155π3，
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
−22
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据奇函数的性质建立方程组关系进行求解决即可．
【解答】
∵ f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，
∴ f(−2)＝−25−a⋅23−2b−6＝10，
则f(2)＝25+a⋅23−2b−6，
两式相加得10+f(2)＝−6−6＝−12，
则f(2)＝−10−12＝−22，
【答案】
2198
【考点】
扇形面积公式
【解析】
由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料．
【解答】
由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为12×2π3×50×50−12×2π3×20×20≈2198．
【答案】
311
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意画出图形，结合图形，利用AB→、AC→表示出AD→，
再根据平面向量的数量积AD→⋅AE→列出方程求出λ的值．
【解答】
如图所示，
△ABC中，∠A＝60∘，AB＝3，AC＝2，
BD→=2DC→，
∴ AD→=AB→+BD→
=AB→+23BC→
=AB→+23(AC→−AB→)
=13AB→+23AC→，
又AE→=λAC→−AB→(λ∈R)，
∴ AD→⋅AE→=(13AB→+23AC→)⋅(λAC→−AB→)
＝(13λ−23)AB→⋅AC→−13AB→2+23λAC→2
＝(13λ−23)×3×2×cs60∘−13×32+23λ×22＝−4，
∴ 113λ＝1，
解得λ=311．
【答案】
[
【考点】
分段函数的应用
【解析】
根据题意，将f(x)的解析式写出分段函数的形式，结合函数的奇偶性分析其图象，进而分析可得若∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，必有6a2≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】
根据题意，当x≥0时，f(x)=12(|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，
则当x≥0时，f(x)=−x,0≤x≤a2−a2,a22a2 ，且f(3a2)＝0，
又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，其图象如图：
若∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，必有6a2≤1，
解可得：−66≤a≤66，
即实数a的取值范围为[−66, 66]；
三、解答题：共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分.
【答案】
∵ 角α的终边经过点P(x, 6)，且csα=−513=xx2+36，∴ x=−52，∴ P(−52,6)，
∴ sinα=1213，tanα=−125．
由csα=17，0<α<π2得，sinα=437．
由0<β<α<π2，得0<α−β<π2，再根据cs(α−β)=1314，可得sin(α−β)=3314，
所以，csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=12，
又0<β<π2，∴ β=π3．
【考点】
任意角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得点P的坐标，从而得到sinα和tanα的值．
（2）由题意先求出sinα、cs(α−β)的值，可得csβ＝cs[(α−(α−β)]的值．
【解答】
∵ 角α的终边经过点P(x, 6)，且csα=−513=xx2+36，∴ x=−52，∴ P(−52,6)，
∴ sinα=1213，tanα=−125．
由csα=17，0<α<π2得，sinα=437．
由0<β<α<π2，得0<α−β<π2，再根据cs(α−β)=1314，可得sin(α−β)=3314，
所以，csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=12，
又0<β<π2，∴ β=π3．
【答案】
（1）根据题意，函数f(x)=a−21+2x是定义在R上的奇函数，
则f(0)=a−21+20=0，解可得a＝1，
当a＝1时，f(x)=1−21+2x，为奇函数，符合题意；
因为2x∈(0, +∞)，所以1+2x∈(1, +∞)，21+2x∈(0, 2)，f(x)∈(−1, 1)．
（2）f(x)在R上是增函数．
证明：设∀x1，x2∈R，x1则f(x2)−f(x1)=21+2x1−21+2x2=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)>0，
所以函数f(x)在R上是增函数．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
(Ⅰ)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)＝0，解可得a的值，验证可得a的值，由指数函数的性质分析可的1+2x∈(1, +∞)，则21+2x∈(0, 2)，进而可得函数f(x)的值域；
(Ⅱ)设∀x1，x2∈R，x1【解答】
（1）根据题意，函数f(x)=a−21+2x是定义在R上的奇函数，
则f(0)=a−21+20=0，解可得a＝1，
当a＝1时，f(x)=1−21+2x，为奇函数，符合题意；
因为2x∈(0, +∞)，所以1+2x∈(1, +∞)，21+2x∈(0, 2)，f(x)∈(−1, 1)．
（2）f(x)在R上是增函数．
证明：设∀x1，x2∈R，x1则f(x2)−f(x1)=21+2x1−21+2x2=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)>0，
所以函数f(x)在R上是增函数．
【答案】
令2x+π6=π2+kπ，即对称轴为：x=π6+kπ2(k∈Z)．
令2x+π6=kπ，即对称中心为：(−π12+kπ2,0)(k∈Z)，
当x∈[−11π12,−π2]时，2x+π6∈[−5π3,−5π6]，由函数图象性质可有，
当2x+π6=−3π2，即x=−5π6时，f(x)max=f(−5π6)=1．
当2x+π6=−5π6，即x=−π2时，f(x)min=f(−π2)=−12
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
（1）结合五点作图进行列表描点即可作图；
（2）结合正弦函数的对称性即可求解对称轴及对称中心；
（3）由已知x的范围求出整体角的范围，然后结合正弦函数的图象即可求解．
【解答】
令2x+π6=π2+kπ，即对称轴为：x=π6+kπ2(k∈Z)．
令2x+π6=kπ，即对称中心为：(−π12+kπ2,0)(k∈Z)，
当x∈[−11π12,−π2]时，2x+π6∈[−5π3,−5π6]，由函数图象性质可有，
当2x+π6=−3π2，即x=−5π6时，f(x)max=f(−5π6)=1．
当2x+π6=−5π6，即x=−π2时，f(x)min=f(−π2)=−12
【答案】
f(x)=OA→⋅OB→+2=2csxsinx+23cs2x−3+2=sin2x+3cs2x+2=2sin(2x+π3)+2，
函数单调增区间：−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈z)；
∴ −5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈2)，
设A=[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈z)，B＝[0, π]，
则A∩B=[0,π12]∪[7π12,π]
所以函数f(x)在[0, π]上的单调增区间为[0, π12]，[7π12, π]；
当x∈(0,π2)时，若方程f(x)+m＝0有根，
所以f(x)＝−m在x∈(0,π2)上有解，
由x∈(0,π2)，得2x+π3∈(π3,4π3)，
所以−32所以m∈[−4,3−2)．
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）先利用数量积以及三角函数的知识对解析式进行整理，再利用整体代换思想，求出函数的递增区间与B取交集即可；
（2）先求出f(x)的范围；再结合f(x)＝−m即可求解．
【解答】
f(x)=OA→⋅OB→+2=2csxsinx+23cs2x−3+2=sin2x+3cs2x+2=2sin(2x+π3)+2，
函数单调增区间：−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈z)；
∴ −5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈2)，
设A=[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈z)，B＝[0, π]，
则A∩B=[0,π12]∪[7π12,π]
所以函数f(x)在[0, π]上的单调增区间为[0, π12]，[7π12, π]；
当x∈(0,π2)时，若方程f(x)+m＝0有根，
所以f(x)＝−m在x∈(0,π2)上有解，
由x∈(0,π2)，得2x+π3∈(π3,4π3)，
所以−32所以m∈[−4,3−2)．
【答案】
解：(1)依题意有：f(10)=P(10)⋅Q(10)，
即(1+k10)×110=121，所以k=1．
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，
故只能选②Q(x)=a|x−25|+b．
从表中任意取两组值代入可求得：Q(x)=−|x−25|+125=125−|x−25|．
(3)∵ Q(x)=125−|x−25|=100+x,(1≤x<25)150−x,(25≤x≤30) ，
∴ f(x)=x+100x+101,(1≤x<25)150x−x+149,(25≤x≤30) ，
①当1≤x<25时，x+100x在[1, 10]上是减函数，在[10, 25)上是增函数，
所以，当x＝10时，f(x)min=121（百元）．
②当25≤x≤30时，150x−x为减函数，
所以，当x=30时，f(x)min=124（百元）．
综上所述：当x=10时，f(x)min=121（百元）．
【考点】
函数的概念
函数解析式的求解及常用方法
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）利用f(10)＝P(10)⋅Q(10)，可求k的值；
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，从表中任意取两组值代入可求得结论；
（3）求出函数f(x)的解析式，分段求最值，即可得到结论．
【解答】
解：(1)依题意有：f(10)=P(10)⋅Q(10)，
即(1+k10)×110=121，所以k=1．
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，
故只能选②Q(x)=a|x−25|+b．
从表中任意取两组值代入可求得：Q(x)=−|x−25|+125=125−|x−25|．
(3)∵ Q(x)=125−|x−25|=100+x,(1≤x<25)150−x,(25≤x≤30) ，
∴ f(x)=x+100x+101,(1≤x<25)150x−x+149,(25≤x≤30) ，
①当1≤x<25时，x+100x在[1, 10]上是减函数，在[10, 25)上是增函数，
所以，当x＝10时，f(x)min=121（百元）．
②当25≤x≤30时，150x−x为减函数，
所以，当x=30时，f(x)min=124（百元）．
综上所述：当x=10时，f(x)min=121（百元）．
【答案】
由得−1≤x≤1．所以函数f(x)定义域为[−1, 1]．
又f2(x)=2+21−x2∈[2,4]，由f(x)≥0得值域为[2,2]．
因为F(x)=a1−x2+1+x+1−x=a2[f2(x)−2]+f(x)，
令t=f(x)=1+x+1−x,t∈[2,2]，则1−x2=12t2−1，F(t)=m(t)=a(12t2−1)+t=12at2+t−a,t∈[2,2]．
①当a＝0时，m(t)＝t，所以g(a)＝2．
②当a≠0时，
由题意知g(a)记为函数m(t)=12at2+t−a,t∈[2,2]的最大值.t=−1a是抛物线的对称轴．
当a>0时，m(t)=12at2+t−a在[2,2]单调递增，g(a)＝m(2)＝a+2．
当a<0时，
①t=−1a∈(0, 2]，即a≤−22，则g(a)=m(2)=2；
②t=−1a∈(2, 2)，即−22③t=−1a∈[2, +∞)，即−12≤a<0，则g(a)＝m(2)＝a+2，
综上有：g(a)=a+2,a≥−12−a−12a,−22【考点】
函数的定义域及其求法
函数的值域及其求法
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得函数的定义域；把函数解析式两边平方，求出f2(x)的范围后得函数值域；
（2）令t＝f(x)=1+x+1−x换元，化为关于t的二次函数，然后结合二次函数的性质分类求得F(x)的最大值g(a)．
【解答】
由得−1≤x≤1．所以函数f(x)定义域为[−1, 1]．
又f2(x)=2+21−x2∈[2,4]，由f(x)≥0得值域为[2,2]．
因为F(x)=a1−x2+1+x+1−x=a2[f2(x)−2]+f(x)，
令t=f(x)=1+x+1−x,t∈[2,2]，则1−x2=12t2−1，F(t)=m(t)=a(12t2−1)+t=12at2+t−a,t∈[2,2]．
①当a＝0时，m(t)＝t，所以g(a)＝2．
②当a≠0时，
由题意知g(a)记为函数m(t)=12at2+t−a,t∈[2,2]的最大值.t=−1a是抛物线的对称轴．
当a>0时，m(t)=12at2+t−a在[2,2]单调递增，g(a)＝m(2)＝a+2．
当a<0时，
①t=−1a∈(0, 2]，即a≤−22，则g(a)=m(2)=2；
②t=−1a∈(2, 2)，即−22③t=−1a∈[2, +∞)，即−12≤a<0，则g(a)＝m(2)＝a+2，
综上有：g(a)=a+2,a≥−12−a−12a,−220
π2
π
3π2
2π
x
f(x)
x（天）
10
20
25
30
Q(x)（件）
110
120
125
120
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
x
−π12
π6
5π12
2π3
11π12
f(x)
0
1
0
−1
0
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
x
−π12
π6
5π12
2π3
11π12
f(x)
0
1
0
−1
0