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2019-2020学年部分学校高一（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年部分学校高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集U是实数集R，M＝{x|x2<4}，N＝{x|1
A.{x|−2C.{x|2≤x<3}D.{x|1
2. 已知向量a→=(2, 4)，b→=(−1, 1)，则2a→+b→等于（ ）
A.(5, 7)B.(5, 9)C.(3, 7)D.(3, 9)
3. cs(−1050∘)的值为（ ）
A.32B.−32C.−12D.12
4. 函数f(x)＝sin(x+π4)图象的一条对称轴方程为（ ）
A.x=−π4B.x=π4C.x=π2D.x＝π
5. 给定函数：①y=x12；②y=lg12(x+1)；③y＝|x−1|；④y＝2x+1，其中在区间(0, 1)上单调递增的函数序号是（ ）
A.①②B.②③C.③④D.①④
6. 已知向量a=(12,−32)，|b→|=1，且两向量夹角为120∘，则|a→+b→|=( )
A.1B.3C.5D.7
7. 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0, |φ|<π2)的一部分图象如图所示，则（ ）
A.f(x)＝3sin(2x−π6)+1B.f(x)＝2sin(3x+π3)+2
C.f(x)＝2sin(3x−π6)+2D.f(x)＝2sin(2x+π6)+2
8. 将函数y＝sin(x+φ)，(0<φ<π)的图象所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位得到一个偶函数的图象，则φ＝（ ）
A.5π6B.2π3C.π3D.π6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
下列说法正确的是（ ）
A.长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度
B.若tanα≥0，则kπ≤α≤π2+kπ(k∈Z)
C.若角α的终边过点P(3k, 4k)(k≠0)，则sinα=45
D.当2kπ<α<π4+2kπ(k∈Z)时，sinα
如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是（ ）
A.AB→+AD→=AC→B.AC→+CD→+DO→=OA→
C.AB→+AC→+CD→=AD→D.AC→+BA→+DA→=0→
有下列四种变换方式：
①向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；
②横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度；
③横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度；
④向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）．
其中能将正弦函数y＝sinx的图象变为y=sin(2x−π4)图象的是（ ）
A.①B.②C.③D.④
已知函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lg2x|,x>0 ，若x1A.x1+x2＝−1B.x3x4＝1
C.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
已知向量a→=(−2,3)，b→=(3,m)，且a→∥b→，则m＝________．
已知角θ终边上一点P的坐标为(sin60∘, −2cs30∘)，则cs2θ−2sinθcsθ＝________．
函数y＝−sin2x−3csx+3的最大值是________．
如图，在平面四边形ABCD中，∠CAD=π2，AD＝2，AB＝BC＝CA＝4，E，F分别为边BC，CD的中点，则AE→⋅AF→=________；AE→与AF→夹角的余弦为________．（本题第一空3分，第二空2分．）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
计算下列各式的值：
（1）(−338)23+(0.002)−12−10(5−2)−1+(2−3)0；
（2）21g32−lg3329+lg38+52lg53．
在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点已知点A，B的横坐标分别为210，255．
（1）求csα和sinβ的值；
（2）求cs(π+α)⋅sin(3π2−β)cs(π2+α)⋅tan(π−β)的值．
设向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
（1）若a→⊥b→，且θ∈(0, π)，求θ；
（2）若|3a→+b→|＝|a→−3b→|，求|2a→+b→|的值．
随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式．最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高．某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：
①投资A产品的收益与投资额的算术平方根成正比；
②投资B产品的收益与投资额成正比．
公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元．
（1）分别求出A产品的收益f(x)、B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式；
（2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？
在已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3,−2)．
（1）求f(x)的解析式；
（2）当x∈[π12,7π12]时，求f(x)的值域：
（3）求f(x)在[0, π]上的单调递增区间．
已知函数f(x)＝2x+k⋅2−x，g(x)=lga(f(x)−2x)(a>0且a≠1)，且f(0)＝4．
（1）求k的值；
（2）求关于x的不等式g(x)>0的解集；
（3）若f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，求t的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省武汉市新洲区部分学校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
由图象可知阴影部分对应的集合为N∩∁UM，然后根据集合的基本运算即可．
【解答】
由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩∁UM，
∵ 全集U是实数集R，M＝{x|x2<4}＝{x|−2∴ N∩∁UM＝{x|2≤x<3}，
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】
向量a→=(2, 4)，b→=(−1, 1)，
则2a→+b→=(3, 9)．
3.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
结合诱导公式先进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求值．
【解答】
cs(−1050∘)＝cs1050∘＝cs30∘=32．
4.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f(x)的图象的一条对称轴方程．
【解答】
对于函数f(x)＝sin(x+π4)，令x+π4=kπ+π2，求得 x＝kπ+π4，k∈Z，
可得它的图象的一条对称轴为 x=π4，
5.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据幂函数、对数函数、一次函数和指数函数的单调性即可判断每个函数在(0, 1)上的单调性，从而找出正确的选项．
【解答】
y=x12和y＝2x+1在区间(0, 1)上都单调递增，y=lg12(x+1)和y＝|x−1|在(0, 1)上都是减函数．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】
向量a=(12,−32)，|b→|=1，两向量夹角为120∘，
所以|a→|=(12)2+(−32)2=1，
所以(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2=12+2×1×1×cs120∘+12＝1，
所以|a→+b→|=1．
7.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】
根据函数f(x)＝Asin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0, |φ|<π2)的一部分图象，
可得2A＝4，A＝2，b＝A＝2
再根据T4=14⋅2πω=5π12−π6，求得ω＝2，
再根据五点法作图可得2⋅5π12+φ＝π，
∴ φ=π6，f(x)＝2sin(2x+π6)+2，
8.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
先根据函数的图象变换法则求出变换后的函数解析式，然后根据偶函数的对称性即可求解．
【解答】
函数y＝sin(x+φ)(0<φ<π)的图象所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位得到g(x)＝sin(12x+φ+π6)，
根据题意可得，x＝0为g(x)的对称轴，即φ+π6=12π+kπ，k∈z，
解可得，φ=13π+kπ，
∵ 0<φ<π，
则φ=13π．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【答案】
A,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用相关的定义的应用求出结果．
【解答】
对于选项A：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，正确．
对于选项B：若tanα≥0，则kπ≤α<π2+kπ(k∈Z)，但是应写成集合的形式，故错误．
对于选项C：角α的终边过点P(3k, 4k)(k≠0)，所以r＝5|k|，所以sinα=±45，故错误．
对于选项D：当2kπ<α<π4+2kπ(k∈Z)时，sinα【答案】
B,C
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义即可判断每个选项的计算的正误，从而找出正确选项．
【解答】
根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，AB→+AD→=AC→，∴ A正确；AC→+CD→+DO→=AO→，∴ B错误；
AB→+AC→+CD→=AB→+AD→=AC→，∴ C错误；AC→+BA→+DA→=BC→+DA→=0→，∴ D正确．
【答案】
C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
结合选项中的各种变换顺序，求出经过相应的变换后的函数解析式，进行比较即可判断．
【解答】
①y＝sinx向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）可得y＝sin(12x−π4)；
y＝sinx横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度可得y＝sin(12x−π16)；
y＝sinx横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度可得y＝sin(2x−π4)；
y＝sinx向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）可得y＝sin(2x−π4)．
【答案】
B,C,D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
作出函数的图象分析出x1+x2＝−2，−2【解答】
由函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lg2x|,x>0 ，作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝−2，−2当y＝1时，|lg2x|＝1，有 x=12,2；
所以12由f(x3)＝f(x4)有|lg2x3|＝|lg2x4|，即lg2x3+lg2x4＝0；
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(−2−x1)=−(x1+1)2+1∈(0, 1)；
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
−92
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由两个向量平行的条件得出m的方程，求解即可
【解答】
因为a→∥b→，
由两个向量平行的条件得−2m−9＝0，故m=−92
【答案】
1
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】
∵ 角θ终边上一点P的坐标为(sin60∘, −2cs30∘)，∴ tanθ=−2cs30sin60=−332=−2，
则cs2θ−2sinθcsθ=cs2θ−2sinθcsθsin2θ+cs2θ=1−2tanθtan2θ+1=1+44+1=1，
【答案】
6
【考点】
三角函数的最值
【解析】
配方后得到关于csx的二次函数，由x取任意实数，得到csx∈[−1, 1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值．
【解答】
f(x)＝−sin2x−3csx+3
＝cs2x−3csx+2
＝(csx−32)2−14，
∵ x∈R，∴ csx∈[−1, 1]，
则csx＝−1时函数的最大值为 6．
【答案】
6−3,215−520
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
由题意，AE→⋅AF→=12( AB→+AC→)⋅12( AC→+AD→)，然后利用向量的数量积公式计算即可；
分别算出两个向量的长度，再代入夹角计算公式即可
【解答】
如图所示，
∵ E为BC中点，
∴ AE→=12( AB→+AC→)，
同理 AF→=12( AC→+AD→)，
∴ AE→⋅AF→=12( AB→+AC→)⋅12( AC→+AD→)=14(AB→⋅AC→+AB→⋅AD→+AC→2+AC→⋅AD→)，
其中∠BAD＝150∘，∠BAC＝60∘，∠CAD＝90∘，
∴ AB→⋅AC→=|AB→||AC→|cs60∘＝4×4×12=8，AB→⋅AD→=|AB→||AD→|cs150∘＝4×2×(−32)＝−4 3，
|AC→|2＝16，AC→⋅AD→=|AC→||AD→|cs90∘＝0，
∴ AE→⋅AF→=14(24−4 3)＝6−3．
在等边三角形ABC中，中线AE=AC2−CE2=42−22=23；
在直角三角形ADC中，斜边上的中线AF=12CD=1242+22=25；
∴ AE→与AF→夹角的余弦=AE→⋅AF→|AE→|×|AF→|=6−323×25=215−520．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
原式＝(−32)2+105−10(5+2)+1=94−20+1=−674；
原式＝lg34−lg3329+lg38+5lg59=lg3(4×932×8)+9＝lg39+9＝2+9＝11．
【考点】
对数的运算性质
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
根据对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】
原式＝(−32)2+105−10(5+2)+1=94−20+1=−674；
原式＝lg34−lg3329+lg38+5lg59=lg3(4×932×8)+9＝lg39+9＝2+9＝11．
【答案】
由三角函数的定义可得，csα=210，csβ=255，
因为α，β为锐角，所以sinα=7210，sinβ=55，
cs(π+α)⋅sin(3π2−β)cs(π2+α)⋅tan(π−β)=−csα(−csβ)−sinα(−tanβ)=210×2557210×12=4535．
【考点】
诱导公式
【解析】
（1）结合三角函数的定义及同角基本关系即可求解；
（2）结合诱导公式先对所求式子进行化简，然后结合（1）代入即可求解．
【解答】
由三角函数的定义可得，csα=210，csβ=255，
因为α，β为锐角，所以sinα=7210，sinβ=55，
cs(π+α)⋅sin(3π2−β)cs(π2+α)⋅tan(π−β)=−csα(−csβ)−sinα(−tanβ)=210×2557210×12=4535．
【答案】
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ a→⊥b→，且θ∈(0, π)⇒−12csθ+32sinθ＝0⇒tanθ=33⇒θ=π6；
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ |a→|＝|b→|＝1；
∵ |3a→+b→|＝|a→−3b→|⇒9a→2+6a→⋅b→+b→2=a→2−6a→⋅b→+9b→2⇒a→⋅b→=0；
∴ |2a→+b→|=4×a→2+4×a→⋅b→+b→2=5．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）直接代入数量积为0结合角的范围即可求解；
（2）先根据|3a→+b→|＝|a→−3b→|⇒a→⋅b→=0；再代入模长计算公式即可
【解答】
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ a→⊥b→，且θ∈(0, π)⇒−12csθ+32sinθ＝0⇒tanθ=33⇒θ=π6；
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ |a→|＝|b→|＝1；
∵ |3a→+b→|＝|a→−3b→|⇒9a→2+6a→⋅b→+b→2=a→2−6a→⋅b→+9b→2⇒a→⋅b→=0；
∴ |2a→+b→|=4×a→2+4×a→⋅b→+b→2=5．
【答案】
设投资A产品的收益f(x)与投资额x的函数关系式为f(x)＝mx，投资B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式为g(x)＝kx，
∵ 投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元，
∴ m1=0.2,k×1=0.4，∴ m＝0.2，k＝0.4，
∴ 两种产品的收益与投资额函数关系式分别为：f(x)＝0.2x，g(x)＝0.4x；
设10万元中有x万元投资A产品，那么(10−x)万元投资B产品，则0≤x≤10，设投资两种产品后总收益为ℎ(x)，
∴ ℎ(x)＝f(x)+g(10−x)＝0.2x+0.4(10−x)＝−0.4x+0.2x+4，
∵ 0≤x≤10，∴ 0≤x≤10，
∴ 当x=−0.22×(−0.4)=14即x=116时，ℎ(x)取最大值，最大值为ℎ(14)=15940，
∴ 当投资A产品116万元，B产品15916万元时，总收益最大，最大收益为15940万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）根据题意，利用待定系数法即可求出两个函数解析式；
（2）设10万元中有x万元投资A产品，那么(10−x)万元投资B产品，则0≤x≤10，设投资两种产品后总收益为ℎ(x)，所以ℎ(x)＝f(x)+g(10−x)＝0.2x+0.4(10−x)＝−0.4x+0.2x+4，再利用二次函数的性质即可求出ℎ(x)的最大值．
【解答】
设投资A产品的收益f(x)与投资额x的函数关系式为f(x)＝mx，投资B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式为g(x)＝kx，
∵ 投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元，
∴ m1=0.2,k×1=0.4，∴ m＝0.2，k＝0.4，
∴ 两种产品的收益与投资额函数关系式分别为：f(x)＝0.2x，g(x)＝0.4x；
设10万元中有x万元投资A产品，那么(10−x)万元投资B产品，则0≤x≤10，设投资两种产品后总收益为ℎ(x)，
∴ ℎ(x)＝f(x)+g(10−x)＝0.2x+0.4(10−x)＝−0.4x+0.2x+4，
∵ 0≤x≤10，∴ 0≤x≤10，
∴ 当x=−0.22×(−0.4)=14即x=116时，ℎ(x)取最大值，最大值为ℎ(14)=15940，
∴ 当投资A产品116万元，B产品15916万元时，总收益最大，最大收益为15940万元．
【答案】
∵ 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，
∴ 12⋅2πω=π2，∴ ω＝2．
∵ 它的图象上一个最低点为M(2π3,−2)，∴ A＝2，2⋅2π3+φ=3π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin(2x+π6)．
当x∈[π12,7π12]时，2x+π6∈[π3, 4π3]，sin(2x+π6)∈[−32, 1]，
故f(x)∈[−3, 2]，即f(x)的值域为：[−3, 2]．
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得 kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z．
再结合x∈[0, π]，可得它的增区间为[0, π6]、[2π3, π]．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
（3）由题意利用正弦函数的单调性，求得它在[0, π]上的单调递增区间．
【解答】
∵ 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，
∴ 12⋅2πω=π2，∴ ω＝2．
∵ 它的图象上一个最低点为M(2π3,−2)，∴ A＝2，2⋅2π3+φ=3π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin(2x+π6)．
当x∈[π12,7π12]时，2x+π6∈[π3, 4π3]，sin(2x+π6)∈[−32, 1]，
故f(x)∈[−3, 2]，即f(x)的值域为：[−3, 2]．
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得 kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z．
再结合x∈[0, π]，可得它的增区间为[0, π6]、[2π3, π]．
【答案】
由题意，f(0)＝1+k＝4，解得k＝3．
由（1）知，f(x)＝2x+3⋅2−x＝2x+32x，
故g(x)=lga(f(x)−2x)=lga(2x+32x−2x)＝lga32x．
①当a>1时，g(x)>0，即为32x>1，解得x②当00，即为0<32x<1，解得x>lg23．
∴ 当a>1时，g(x)>0的解集为(−∞, lg23)，
当00的解集为(lg23, +∞)．
由题意，f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，
即2x+32x≥t2x+8对x∈R恒成立，
即t≤(2x)2−8⋅2x+3对x∈R恒成立，
令u＝2x>0，令ℎ(u)＝u2−8u+3．
根据二次函数的性质，可知
函数ℎ(u)在(0, +∞)上的最小值ℎ(u)min＝ℎ(4)＝−13，
故t≤−13．
∴ 实数t的取值范围为(−∞, −13]．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
本题第（1）题代入f(0)＝4直接计算可得k的值；第（2）题通过计算得到函数g(x)的表达式后对底数a分a>1和00的解集；第（3）题将f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，转化为t≤(2x)2−8⋅2x+3对x∈R恒成立，然后运用换元法令u＝2x>0，并构造函数ℎ(u)＝u2−8u+3．根据二次函数的性质，可的函数ℎ(u)在(0, +∞)上的最小值，从而可得实数t的取值范围．
【解答】
由题意，f(0)＝1+k＝4，解得k＝3．
由（1）知，f(x)＝2x+3⋅2−x＝2x+32x，
故g(x)=lga(f(x)−2x)=lga(2x+32x−2x)＝lga32x．
①当a>1时，g(x)>0，即为32x>1，解得x②当00，即为0<32x<1，解得x>lg23．
∴ 当a>1时，g(x)>0的解集为(−∞, lg23)，
当00的解集为(lg23, +∞)．
由题意，f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，
即2x+32x≥t2x+8对x∈R恒成立，
即t≤(2x)2−8⋅2x+3对x∈R恒成立，
令u＝2x>0，令ℎ(u)＝u2−8u+3．
根据二次函数的性质，可知
函数ℎ(u)在(0, +∞)上的最小值ℎ(u)min＝ℎ(4)＝−13，
故t≤−13．
∴ 实数t的取值范围为(−∞, −13]．
1. 设全集U是实数集R，M＝{x|x2<4}，N＝{x|1
A.{x|−2
2. 已知向量a→=(2, 4)，b→=(−1, 1)，则2a→+b→等于（ ）
A.(5, 7)B.(5, 9)C.(3, 7)D.(3, 9)
3. cs(−1050∘)的值为（ ）
A.32B.−32C.−12D.12
4. 函数f(x)＝sin(x+π4)图象的一条对称轴方程为（ ）
A.x=−π4B.x=π4C.x=π2D.x＝π
5. 给定函数：①y=x12；②y=lg12(x+1)；③y＝|x−1|；④y＝2x+1，其中在区间(0, 1)上单调递增的函数序号是（ ）
A.①②B.②③C.③④D.①④
6. 已知向量a=(12,−32)，|b→|=1，且两向量夹角为120∘，则|a→+b→|=( )
A.1B.3C.5D.7
7. 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0, |φ|<π2)的一部分图象如图所示，则（ ）
A.f(x)＝3sin(2x−π6)+1B.f(x)＝2sin(3x+π3)+2
C.f(x)＝2sin(3x−π6)+2D.f(x)＝2sin(2x+π6)+2
8. 将函数y＝sin(x+φ)，(0<φ<π)的图象所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位得到一个偶函数的图象，则φ＝（ ）
A.5π6B.2π3C.π3D.π6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
下列说法正确的是（ ）
A.长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度
B.若tanα≥0，则kπ≤α≤π2+kπ(k∈Z)
C.若角α的终边过点P(3k, 4k)(k≠0)，则sinα=45
D.当2kπ<α<π4+2kπ(k∈Z)时，sinα
如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是（ ）
A.AB→+AD→=AC→B.AC→+CD→+DO→=OA→
C.AB→+AC→+CD→=AD→D.AC→+BA→+DA→=0→
有下列四种变换方式：
①向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；
②横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度；
③横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度；
④向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）．
其中能将正弦函数y＝sinx的图象变为y=sin(2x−π4)图象的是（ ）
A.①B.②C.③D.④
已知函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lg2x|,x>0 ，若x1
C.1
已知向量a→=(−2,3)，b→=(3,m)，且a→∥b→，则m＝________．
已知角θ终边上一点P的坐标为(sin60∘, −2cs30∘)，则cs2θ−2sinθcsθ＝________．
函数y＝−sin2x−3csx+3的最大值是________．
如图，在平面四边形ABCD中，∠CAD=π2，AD＝2，AB＝BC＝CA＝4，E，F分别为边BC，CD的中点，则AE→⋅AF→=________；AE→与AF→夹角的余弦为________．（本题第一空3分，第二空2分．）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
计算下列各式的值：
（1）(−338)23+(0.002)−12−10(5−2)−1+(2−3)0；
（2）21g32−lg3329+lg38+52lg53．
在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点已知点A，B的横坐标分别为210，255．
（1）求csα和sinβ的值；
（2）求cs(π+α)⋅sin(3π2−β)cs(π2+α)⋅tan(π−β)的值．
设向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
（1）若a→⊥b→，且θ∈(0, π)，求θ；
（2）若|3a→+b→|＝|a→−3b→|，求|2a→+b→|的值．
随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式．最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高．某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：
①投资A产品的收益与投资额的算术平方根成正比；
②投资B产品的收益与投资额成正比．
公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元．
（1）分别求出A产品的收益f(x)、B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式；
（2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？
在已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3,−2)．
（1）求f(x)的解析式；
（2）当x∈[π12,7π12]时，求f(x)的值域：
（3）求f(x)在[0, π]上的单调递增区间．
已知函数f(x)＝2x+k⋅2−x，g(x)=lga(f(x)−2x)(a>0且a≠1)，且f(0)＝4．
（1）求k的值；
（2）求关于x的不等式g(x)>0的解集；
（3）若f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，求t的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省武汉市新洲区部分学校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
由图象可知阴影部分对应的集合为N∩∁UM，然后根据集合的基本运算即可．
【解答】
由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩∁UM，
∵ 全集U是实数集R，M＝{x|x2<4}＝{x|−2
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】
向量a→=(2, 4)，b→=(−1, 1)，
则2a→+b→=(3, 9)．
3.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
结合诱导公式先进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求值．
【解答】
cs(−1050∘)＝cs1050∘＝cs30∘=32．
4.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f(x)的图象的一条对称轴方程．
【解答】
对于函数f(x)＝sin(x+π4)，令x+π4=kπ+π2，求得 x＝kπ+π4，k∈Z，
可得它的图象的一条对称轴为 x=π4，
5.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据幂函数、对数函数、一次函数和指数函数的单调性即可判断每个函数在(0, 1)上的单调性，从而找出正确的选项．
【解答】
y=x12和y＝2x+1在区间(0, 1)上都单调递增，y=lg12(x+1)和y＝|x−1|在(0, 1)上都是减函数．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】
向量a=(12,−32)，|b→|=1，两向量夹角为120∘，
所以|a→|=(12)2+(−32)2=1，
所以(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2=12+2×1×1×cs120∘+12＝1，
所以|a→+b→|=1．
7.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】
根据函数f(x)＝Asin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0, |φ|<π2)的一部分图象，
可得2A＝4，A＝2，b＝A＝2
再根据T4=14⋅2πω=5π12−π6，求得ω＝2，
再根据五点法作图可得2⋅5π12+φ＝π，
∴ φ=π6，f(x)＝2sin(2x+π6)+2，
8.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
先根据函数的图象变换法则求出变换后的函数解析式，然后根据偶函数的对称性即可求解．
【解答】
函数y＝sin(x+φ)(0<φ<π)的图象所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位得到g(x)＝sin(12x+φ+π6)，
根据题意可得，x＝0为g(x)的对称轴，即φ+π6=12π+kπ，k∈z，
解可得，φ=13π+kπ，
∵ 0<φ<π，
则φ=13π．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【答案】
A,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用相关的定义的应用求出结果．
【解答】
对于选项A：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，正确．
对于选项B：若tanα≥0，则kπ≤α<π2+kπ(k∈Z)，但是应写成集合的形式，故错误．
对于选项C：角α的终边过点P(3k, 4k)(k≠0)，所以r＝5|k|，所以sinα=±45，故错误．
对于选项D：当2kπ<α<π4+2kπ(k∈Z)时，sinα
B,C
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义即可判断每个选项的计算的正误，从而找出正确选项．
【解答】
根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，AB→+AD→=AC→，∴ A正确；AC→+CD→+DO→=AO→，∴ B错误；
AB→+AC→+CD→=AB→+AD→=AC→，∴ C错误；AC→+BA→+DA→=BC→+DA→=0→，∴ D正确．
【答案】
C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
结合选项中的各种变换顺序，求出经过相应的变换后的函数解析式，进行比较即可判断．
【解答】
①y＝sinx向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）可得y＝sin(12x−π4)；
y＝sinx横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度可得y＝sin(12x−π16)；
y＝sinx横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π8个单位长度可得y＝sin(2x−π4)；
y＝sinx向右平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）可得y＝sin(2x−π4)．
【答案】
B,C,D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
作出函数的图象分析出x1+x2＝−2，−2
由函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lg2x|,x>0 ，作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝−2，−2
所以12
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(−2−x1)=−(x1+1)2+1∈(0, 1)；
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
−92
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由两个向量平行的条件得出m的方程，求解即可
【解答】
因为a→∥b→，
由两个向量平行的条件得−2m−9＝0，故m=−92
【答案】
1
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】
∵ 角θ终边上一点P的坐标为(sin60∘, −2cs30∘)，∴ tanθ=−2cs30sin60=−332=−2，
则cs2θ−2sinθcsθ=cs2θ−2sinθcsθsin2θ+cs2θ=1−2tanθtan2θ+1=1+44+1=1，
【答案】
6
【考点】
三角函数的最值
【解析】
配方后得到关于csx的二次函数，由x取任意实数，得到csx∈[−1, 1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值．
【解答】
f(x)＝−sin2x−3csx+3
＝cs2x−3csx+2
＝(csx−32)2−14，
∵ x∈R，∴ csx∈[−1, 1]，
则csx＝−1时函数的最大值为 6．
【答案】
6−3,215−520
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
由题意，AE→⋅AF→=12( AB→+AC→)⋅12( AC→+AD→)，然后利用向量的数量积公式计算即可；
分别算出两个向量的长度，再代入夹角计算公式即可
【解答】
如图所示，
∵ E为BC中点，
∴ AE→=12( AB→+AC→)，
同理 AF→=12( AC→+AD→)，
∴ AE→⋅AF→=12( AB→+AC→)⋅12( AC→+AD→)=14(AB→⋅AC→+AB→⋅AD→+AC→2+AC→⋅AD→)，
其中∠BAD＝150∘，∠BAC＝60∘，∠CAD＝90∘，
∴ AB→⋅AC→=|AB→||AC→|cs60∘＝4×4×12=8，AB→⋅AD→=|AB→||AD→|cs150∘＝4×2×(−32)＝−4 3，
|AC→|2＝16，AC→⋅AD→=|AC→||AD→|cs90∘＝0，
∴ AE→⋅AF→=14(24−4 3)＝6−3．
在等边三角形ABC中，中线AE=AC2−CE2=42−22=23；
在直角三角形ADC中，斜边上的中线AF=12CD=1242+22=25；
∴ AE→与AF→夹角的余弦=AE→⋅AF→|AE→|×|AF→|=6−323×25=215−520．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
原式＝(−32)2+105−10(5+2)+1=94−20+1=−674；
原式＝lg34−lg3329+lg38+5lg59=lg3(4×932×8)+9＝lg39+9＝2+9＝11．
【考点】
对数的运算性质
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
根据对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】
原式＝(−32)2+105−10(5+2)+1=94−20+1=−674；
原式＝lg34−lg3329+lg38+5lg59=lg3(4×932×8)+9＝lg39+9＝2+9＝11．
【答案】
由三角函数的定义可得，csα=210，csβ=255，
因为α，β为锐角，所以sinα=7210，sinβ=55，
cs(π+α)⋅sin(3π2−β)cs(π2+α)⋅tan(π−β)=−csα(−csβ)−sinα(−tanβ)=210×2557210×12=4535．
【考点】
诱导公式
【解析】
（1）结合三角函数的定义及同角基本关系即可求解；
（2）结合诱导公式先对所求式子进行化简，然后结合（1）代入即可求解．
【解答】
由三角函数的定义可得，csα=210，csβ=255，
因为α，β为锐角，所以sinα=7210，sinβ=55，
cs(π+α)⋅sin(3π2−β)cs(π2+α)⋅tan(π−β)=−csα(−csβ)−sinα(−tanβ)=210×2557210×12=4535．
【答案】
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ a→⊥b→，且θ∈(0, π)⇒−12csθ+32sinθ＝0⇒tanθ=33⇒θ=π6；
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ |a→|＝|b→|＝1；
∵ |3a→+b→|＝|a→−3b→|⇒9a→2+6a→⋅b→+b→2=a→2−6a→⋅b→+9b→2⇒a→⋅b→=0；
∴ |2a→+b→|=4×a→2+4×a→⋅b→+b→2=5．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）直接代入数量积为0结合角的范围即可求解；
（2）先根据|3a→+b→|＝|a→−3b→|⇒a→⋅b→=0；再代入模长计算公式即可
【解答】
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ a→⊥b→，且θ∈(0, π)⇒−12csθ+32sinθ＝0⇒tanθ=33⇒θ=π6；
∵ 向量a→=(csθ, sinθ)，b→=(−12, 32)．
∴ |a→|＝|b→|＝1；
∵ |3a→+b→|＝|a→−3b→|⇒9a→2+6a→⋅b→+b→2=a→2−6a→⋅b→+9b→2⇒a→⋅b→=0；
∴ |2a→+b→|=4×a→2+4×a→⋅b→+b→2=5．
【答案】
设投资A产品的收益f(x)与投资额x的函数关系式为f(x)＝mx，投资B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式为g(x)＝kx，
∵ 投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元，
∴ m1=0.2,k×1=0.4，∴ m＝0.2，k＝0.4，
∴ 两种产品的收益与投资额函数关系式分别为：f(x)＝0.2x，g(x)＝0.4x；
设10万元中有x万元投资A产品，那么(10−x)万元投资B产品，则0≤x≤10，设投资两种产品后总收益为ℎ(x)，
∴ ℎ(x)＝f(x)+g(10−x)＝0.2x+0.4(10−x)＝−0.4x+0.2x+4，
∵ 0≤x≤10，∴ 0≤x≤10，
∴ 当x=−0.22×(−0.4)=14即x=116时，ℎ(x)取最大值，最大值为ℎ(14)=15940，
∴ 当投资A产品116万元，B产品15916万元时，总收益最大，最大收益为15940万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）根据题意，利用待定系数法即可求出两个函数解析式；
（2）设10万元中有x万元投资A产品，那么(10−x)万元投资B产品，则0≤x≤10，设投资两种产品后总收益为ℎ(x)，所以ℎ(x)＝f(x)+g(10−x)＝0.2x+0.4(10−x)＝−0.4x+0.2x+4，再利用二次函数的性质即可求出ℎ(x)的最大值．
【解答】
设投资A产品的收益f(x)与投资额x的函数关系式为f(x)＝mx，投资B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式为g(x)＝kx，
∵ 投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元，
∴ m1=0.2,k×1=0.4，∴ m＝0.2，k＝0.4，
∴ 两种产品的收益与投资额函数关系式分别为：f(x)＝0.2x，g(x)＝0.4x；
设10万元中有x万元投资A产品，那么(10−x)万元投资B产品，则0≤x≤10，设投资两种产品后总收益为ℎ(x)，
∴ ℎ(x)＝f(x)+g(10−x)＝0.2x+0.4(10−x)＝−0.4x+0.2x+4，
∵ 0≤x≤10，∴ 0≤x≤10，
∴ 当x=−0.22×(−0.4)=14即x=116时，ℎ(x)取最大值，最大值为ℎ(14)=15940，
∴ 当投资A产品116万元，B产品15916万元时，总收益最大，最大收益为15940万元．
【答案】
∵ 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，
∴ 12⋅2πω=π2，∴ ω＝2．
∵ 它的图象上一个最低点为M(2π3,−2)，∴ A＝2，2⋅2π3+φ=3π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin(2x+π6)．
当x∈[π12,7π12]时，2x+π6∈[π3, 4π3]，sin(2x+π6)∈[−32, 1]，
故f(x)∈[−3, 2]，即f(x)的值域为：[−3, 2]．
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得 kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z．
再结合x∈[0, π]，可得它的增区间为[0, π6]、[2π3, π]．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
（3）由题意利用正弦函数的单调性，求得它在[0, π]上的单调递增区间．
【解答】
∵ 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，
∴ 12⋅2πω=π2，∴ ω＝2．
∵ 它的图象上一个最低点为M(2π3,−2)，∴ A＝2，2⋅2π3+φ=3π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin(2x+π6)．
当x∈[π12,7π12]时，2x+π6∈[π3, 4π3]，sin(2x+π6)∈[−32, 1]，
故f(x)∈[−3, 2]，即f(x)的值域为：[−3, 2]．
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得 kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z．
再结合x∈[0, π]，可得它的增区间为[0, π6]、[2π3, π]．
【答案】
由题意，f(0)＝1+k＝4，解得k＝3．
由（1）知，f(x)＝2x+3⋅2−x＝2x+32x，
故g(x)=lga(f(x)−2x)=lga(2x+32x−2x)＝lga32x．
①当a>1时，g(x)>0，即为32x>1，解得x
∴ 当a>1时，g(x)>0的解集为(−∞, lg23)，
当0
由题意，f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，
即2x+32x≥t2x+8对x∈R恒成立，
即t≤(2x)2−8⋅2x+3对x∈R恒成立，
令u＝2x>0，令ℎ(u)＝u2−8u+3．
根据二次函数的性质，可知
函数ℎ(u)在(0, +∞)上的最小值ℎ(u)min＝ℎ(4)＝−13，
故t≤−13．
∴ 实数t的取值范围为(−∞, −13]．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
本题第（1）题代入f(0)＝4直接计算可得k的值；第（2）题通过计算得到函数g(x)的表达式后对底数a分a>1和0
【解答】
由题意，f(0)＝1+k＝4，解得k＝3．
由（1）知，f(x)＝2x+3⋅2−x＝2x+32x，
故g(x)=lga(f(x)−2x)=lga(2x+32x−2x)＝lga32x．
①当a>1时，g(x)>0，即为32x>1，解得x
∴ 当a>1时，g(x)>0的解集为(−∞, lg23)，
当0
由题意，f(x)≥t2x+8对x∈R恒成立，
即2x+32x≥t2x+8对x∈R恒成立，
即t≤(2x)2−8⋅2x+3对x∈R恒成立，
令u＝2x>0，令ℎ(u)＝u2−8u+3．
根据二次函数的性质，可知
函数ℎ(u)在(0, +∞)上的最小值ℎ(u)min＝ℎ(4)＝−13，
故t≤−13．
∴ 实数t的取值范围为(−∞, −13]．
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