第八章 第九节 抛物线-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第九节 抛物线
知识回顾
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通径长
2p

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
课前检测
1.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1,则P点的轨迹方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32x
C
∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1,∴将直线x＋5＝0右移1个单位,
得直线x＋4＝0,即x＝－4,
可得点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．
根据抛物线的定义,可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线x＝－4为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2＝2px,可得＝4,得2p＝16,
∴抛物线的标准方程为y2＝16x,即为P点的轨迹方程．故选C．
2.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴且经过点(－2,3)的抛物线方程(　　)
A．y2＝x
B．x2＝y
C．y2＝－x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝y
D
若抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是x轴,并且经过点(－2,3),
设它的标准方程为y2＝－2px(p>0),
∴9＝4p,解得p＝,∴y2＝－x.
若抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是y轴,并且经过点(－2,3),设它的标准方程为x2＝2py(p>0),
∴4＝6p,解得：p＝.∴x2＝y,
∴抛物线方程是y2＝－x或x2＝y.故选D．
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
4．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B. C. D．3
答案　A
解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　)
A. B. C. D.
答案　AB
解析　若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由点A在抛物线上，得2＝a，即a＝，得y2＝x，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋＝1＋＝；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)，由点A在抛物线上，得1＝b，即b＝4，得x2＝4y，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.

6．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM＝________.
答案　2
解析　由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.
∴y＝4×2＝8，∴OM＝＝＝2.
7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______________．
答案　[－1,1]
解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
课中讲解
考点一. 抛物线的定义及应用
例1． (1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
[答案]　(1)B　(2)4
变式1（1）(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2.
答案：2
（2）．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
答案：
例2.抛物线y2＝8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为______．
13
由题意得抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x＝－2.∵|AF|＝＝5,∴求△PAF周长的最小值,即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D,如图10.4－1,连接PD,根据抛物线的定义,可知|PF|＝|PD|,∴|PA|＋|PF|的最小值,即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何的知识,可得当D,P,A三点共线时|PA|＋|PD|取得最小值,∴|PA|＋|PF|的最小值为xA－(－2)＝8,
∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.

变式2.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________．
答案　
解析　∵AF＋BF＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
变式3．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.
答案：
考点二. 抛物线的标准方程
例1.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点重合,则实数p的值为________．
4
因为双曲线的右焦点为(2,0),所以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(2,0),所以p＝4.
变式1.如图所示,过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A,B,C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,则拋物线的方程为(　　)

A．y2＝8x　　　　　　　B．y2＝4x
C．x2＝2x D．y2＝x
B
如图所示,分别过点A,B作准线的乘线,交准线于点E,D,设准线与x轴交于点C,设|BF|＝a.则由已知条件知|BC|＝2a,由定义得|BD|＝a,故∠BCD＝30°,在Rt△ACE中,因为|AF|＝4,|AC|＝4＋3a,所以2|AE|＝|AC|,所以4＋3a＝8,从而得a＝－,因为AE∥FG,所以＝,即＝,所以p＝2,所以抛物线的方程为y2＝4x.故选B．

例2.(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[解析]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得 ＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
[答案]　(1)B　(2)C
变式2.（1）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：选B　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
(2)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
例3.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案　
解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
变式3.(2019·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x
D．y2＝8x或y2＝32x
答案　C
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6)．
因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10.①
因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
考点三.抛物线的几何性质
例1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1) ,B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证：
(1)y1y2＝－p2,x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆到与抛物线的准线相切．
(1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x＝my＋,代入y2＝2px,
得y2＝2p,即y2－2pmy－p2＝0.(*)
易知y1,y2是方程(*)的两个实数根,
所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1,y＝2px2；
所以yy＝4p2x1x2,
所以x1x2＝＝＝.
(2)由题意知|AF|＝x1＋,|BF|＝x2＋,
所以＋＝＋＝
.
因为x1x2＝,x1＋x2＝|AB|－p,
所以＋＝
＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

变式1.　(1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4 B．9 C．10 D．18
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－.
由题意可得4＋＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.
(2)(2020·华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．

答案　(8,12)
解析　设A(xA，yA)，B(xB，yB)．
抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，
由抛物线定义可得AF＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，
∴△FAB的周长为
AF＋AB＋BF＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12)．
∴△ABF的周长的取值范围是(8,12)．
思维升华　在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
例2.(1)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故PM＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,4)，所以kPF＝＝.
(2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线y＝x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PF＝m·PA，则m的最小值为________．
答案　
解析　过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得PN＝PF，
∵PF＝m·PA，∴PN＝m·PA，则＝m，
设PA的倾斜角为α，则sin α＝m，
当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，
可得x2＝4(kx－1)，即x2－4kx＋4＝0，
∴Δ＝16k2－16＝0，∴k＝±1，
∴m的最小值为.
变式2.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB＝90°,则k＝________．
2
由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0),由,消去y得k2(x－1)2＝4x,　　　　
　即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,x1x2＝1.
由,消去x得y2＝4,
即y2－y－4＝0,则y1＋y2＝,y1y2＝－4,由∠AMB＝90°,得·＝(x1＋1,y1－1)·(x2＋1,y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0,将x1＋x2＝,x1x2＝1与y1＋y2＝,y1y2＝－4代入,得k＝2.
设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则,所以y－y＝4(x1－x2),则k＝＝,取AB的中点M′(x0,y0),分别过点A,B做准线x＝－1的垂线,垂足分别为A′,B′,又∠AMB＝90°,点M在准线x＝－1上,
所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点,
所以MM′平行于x轴,得y0＝1,所以y1＋y2＝2,
所以k＝2.
考点三. 直线与抛物线的位置关系
例1.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，故直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝x.设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±.从而|AB|＝|x1－x2|＝2.由题设知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝.所以直线AB的方程为y＝x＋.
变式1.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 (1)求该抛物线的方程．
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解．
解　(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
例2　(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若AF＋BF＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求AB.
解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设可得F，
故AF＋BF＝x1＋x2＋，
又AF＋BF＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t<，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0.
(2)由＝3可得y1＝－3y2，
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，
代入C的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B，故AB＝.
变式2.(2020·汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．
解　(1)由已知可得，PN＝PM，
即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，∴x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，即D，
∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，
∴DE2＝6，且DE⊥l2，
从而2＋2＝6，kDE·k＝－1，
即
整理可得2＝2，即k＝±，∴m＝0，
故直线l2的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
课后习题
一． 单选题
1．(2019·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．8
C．7 D．6
解析：选B　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B.x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D　(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.
3．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－12x B.y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.
4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角是120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是30°，斜率是.故选B.
5．(2018·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，连接OB，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，∴点B为线段AP的中点，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为(1,2)，∴k＝＝.故选D.

6．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，
则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
7．(2020·惠州调研)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则||等于(　　)
A. B. C. D．1
答案　A
解析　由题意得点F的坐标为，
设点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为(a,0)，
所以＝，＝(a－x0，－y0)，
由2＝可得，
解得y0＝，x0＝a，
代入抛物线方程可得x0＝±，则a＝±，
所以点N的坐标为，
由两点之间的距离公式可得|FN|＝.
8．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)
A．4 B．3 C．4 D．8
答案　C
解析　由抛物线的定义可得AF＝AH，
∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，
∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，
故△AHF为等边三角形．设A，m>0，
过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，
AM＝AF，∴－1＝，
解得m＝2，故等边三角形AHF的边长AH＝4，
∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.
9．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又∵圆心在OF的垂直平分线上，OF＝，
∴＋＝6，∴p＝8.故选D.
二． 多选题
10．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．BD＝2BF D．BF＝2
答案　ABC
解析　如图．

F，直线l的斜率为，
则直线方程为y＝，
联立
得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝p，xB＝p，
由AF＝p＋＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝p＝，
则BF＝＋1＝；
BD＝＝＝，
∴BD＝2BF，
BD＋BF＝＋＝4，则F为AD中点．
故选ABC.

11．(多选)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的可能取值是(　　)
A．8 B．8.5 C．9 D．10
答案　BC
解析　如图，可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点，

过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，
可得MN＝NH，
故△PMN的周长l＝NH＋NP＋MP
＝PH＋4，
由得B(2，3)．
PH的取值范围为(4,6)，
∴△PMN的周长PH＋4的取值范围为(8,10)，
故B，C满足条件．
三． 填空题
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2.则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝所以xB＝，所以|BF|＝＋1＝.
答案：
14．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.
答案：1
15．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．
解析：如图，设C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)，则＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)．∵CA⊥CB，∴·＝0，即－(a－x)＋(a－x)2＝0，整理得(a－x)(－1＋a－x)＝0.∴x＝a－1≥0，∴a≥1.答案：[1，＋∞)




16．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值为________．
解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，依题意可得，·＝－(||·||)．又因为||＝yA＋1，||＝yB＋1，所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，代入x2＝4y，可得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，所以yA＋yB＝4k2＋2，yAyB＝1，所以·＝－(4k2＋4)．同理·＝－.所以·＋·＝－≤－16.当且仅当k＝±1时等号成立．故FA·FB＋FC·FD的最大值为－16.
答案：－16
17．(2020·山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
答案　2　1
解析　由题意知＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得AF＝BF＝2，
从而＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
从而＋＝＋＝＝＝1.
综上，＋＝1.
18．过点(0,3)的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则AF＋BF的值为________．
答案　6
解析　设AB的中点为H，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，B，H在准线上的射影为A′，B′，H′，则HH′＝(AA′＋BB′)，
由抛物线的定义可得，AF＝AA′，BF＝BB′，
AF＋BF＝AA′＋BB′＝2HH′.
由题意知直线AB的斜率必存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝kx＋3，与y2＝4x联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，
由Δ＝(6k－4)2－36k2>0，得k<且k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，AB的中点H的坐标为，
线段AB的垂直平分线过点(4,0)，方程为y＝－(x－4)，
且过点H，则＝－，
得2k2＋3k－2＝0，解得k＝－2或k＝(舍去)，
则H(2，－1)，HH′＝2＋1＝3，
则AF＋BF＝AA′＋BB′＝2HH′＝6.
19．过抛物线C：x2＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3)．若(＋)·＝0，则弦AB的长为________．
答案　4
解析　若(＋)·＝0，
则线段AB的垂直平分线过点D.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝4y1，x＝4y2，
两式相减得x1＋x2＝＝4kAB，
即kAB＝，
则弦AB的中点与点D(0,3)的连线的斜率
k＝＝－，
所以y1＋y2＝2，所以|AB|＝y1＋y2＋2＝4.
20．已知曲线G：y＝及点A，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为AB和AC，则AB＋AC＝________.
答案　15
解析　曲线G：y＝，
即为半圆M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，
由题意得B，C为半圆M与抛物线y2＝2x的两个交点，
由y2＝2x与(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，
联立方程组得x2－14x＋15＝0，方程必有两个不相等的实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝14，
所以AB＋AC＝x1＋＋x2＋＝14＋1＝15.
四． 解答题
21.设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB＝1.

(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．
(1)解　设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，
则A，B，设P(x，y)，由
得， ①
因为AB＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式得：y＝x2－1，
∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.
(2)证明　设直线MN的方程为y＝kx＋b (b>0)．
联立方程，消去y得x2－kx－b＝0，
所以m＋n＝k，mn＝－b， ②
点P到直线MN的距离d＝，
MN＝|m－n|，
∴S△MNP＝d·MN
＝·|m－n|
＝·(m－n)2·|m－n|＝2.
即△MNP的面积为定值2.
22.已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝，
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满足·＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在请说明理由．
解　(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；
则＝(－8，b)，＝(x，y－b)，
＝(c，－b)，＝(x－c，y)．
∴·＝－8x＋b(y－b)＝0.①
由＝，得
∴b＝－y代入①得y2＝－4x.
∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.
(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则l：y＝k(x－8)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
由·＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.
即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，
∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.②
将y＝k(x－8)代入y2＝－4x③
得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝64.
代入②式得：
64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97.
整理得k2＝，∴k＝±.
此时根据③式判别式可知方程无解，故不存在这样的直线l.
23.已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.

(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求FA·FB的取值范围．
解　(1)由题意，直线l的方程为y＝x－，联立消去y整理得x2－3px＋＝0.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知，F(1,0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y.
令x＝－，得y2－2y0y＋3x0－＝0.
又∵y＝4x0，∴Δ＝4y－12x0＋3＝y＋3>0恒成立．
设A，B，
则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－.
∴FA·FB＝·
＝
＝
＝＝3|x0＋1|.
∵x0≥0，∴FA·FB∈[3，＋∞)．
∴FA·FB的取值范围是[3，＋∞)．