第二章 第九节 函数与方程-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第九节  函数与方程

知识回顾

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．

(2)三个等价关系

方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

课前检测

1.【2019年江苏镇江高一上学期期末考试数学试卷】已知方程 的解 ，则 (　　)

A． B． C． D．

2.【2019年吉林长春吉林大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知 在区间 内有一个零点 ，若用二分法求 的近似值（精确度为 ），则需将区间等分的次数为(　　)

A． B． C． D．

3.【2019年广东深圳福田区深圳市红岭中学高一上学期期末考试数学试卷】已知 ， 在 上连续，根据下表能够判断 有实数解的区间是(　　)

A． B．
C． D．

4.函数的零点所在的大致区间是(　　)

A． B．
C． D．

5．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   B．[1，＋∞)

C．(1，＋∞)   D．(2，＋∞)

6．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．函数f (x)＝x＋1的零点为(－1,0)

B．函数f (x)＝x＋1的零点为－1

C．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点

D．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点的横坐标

课中讲解

考点一.函数零点区间的判断

例1.【2019年陕西延安延安市第一中学高三上学期月考数学试卷（文）】函数 的零点所在的大致区间为(　　)

A． B． C． D．

变式1．(2019·郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,1)  D．(1,2)

例2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)

A.  B.

C.  D.

变式2．(2019·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

考点二.零点个数的判断

例1.【2020年浙江杭州杭州第七中学高一上学期期末考试数学试卷】设函数 ，则方程 根的个数为(　　)

A． B． C． D．

变式1.【2018年重庆西南大学附属中学校高三上学期月考数学试卷（第三次）（文科）】已知函数 ，函数 零点的个数为(　　)

A．                                   
B．                                     
C．                                   
D．

例2.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期末考试数学试卷】函数 的零点个数为(　　)

A． B． C． D．

【答案

变式2.【2019年浙江杭州高一上学期期中考试数学试卷（9+1高中联盟）】已知函数 ，则函数 的零点个数是(　　)

A． B． C． D．

例3.【2019年浙江台州高三上学期期末考试数学试卷统测】已知定义在上的奇函数，当，时满足：，则________ ；方程的解的个数为________ ．

变式3.【2019年江苏南通高一上学期期末考试数学试卷】函数 是定义域为 ，周期为 的函数，且当 时，；已知函数 ，则函数 在区间 内的零点个数为(　　)

A． B． C． D．

例4.【2018年浙江杭州杭二高一上学期期末考试数学试卷】函数的零点个数为(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式4.【2017年河南郑州河南省实验中学高一上学期期中考试数学试卷】已知函数 ，则函数 的图象与 轴的交点个数为(　　)

A． 个 B． 个 C． 个 D． 个

考点三.根据零点个数求参数

例1.(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)   B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)   D．[1，＋∞)

变式1.已知函数 且关于 的方程 有且只有一个实数根，则实数 的取值范围是________ ．

例2.若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ________ ．

变式2.已知定义在上的函数，若关于的方程在上有且只有一个实根，则实数的取值范围(　　)

A．
B．或
C．
D．

例3.已知函数，若函数 在上有三个不同零点，则的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

变式3.已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

例4.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________ ．

考点四.根据函数零点范围求参数

例1.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

变式1.函数，若在内恰有一个零点，则的取值范围是(　　)

A． B．
C． D．

例2.【2019年江西南昌南昌市第十中学高一下学期月考数学试卷（第一次月考）】若函数 在区间 上存在一个零点，则 的取值范围是(　　)

A．
B． 或
C．
D．

考点五.二次函数根的分布求参数范围

例1.【2020年浙江杭州浙江大学附属中学玉泉校区高一上学期期中考试数学试卷】若关于 的方程 的一根大于 ，另一根小于 ，则实数 的取值范围是________．

变式1.【2019年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高一下学期开学考试数学试卷】已知，且在内有两个不同的零点，则实数的取值范围是________ ．

例2.【2019年浙江宁波宁波市鄞州中学高一下学期期中考试数学试卷】已知函数 ．若不等式 对一切 恒成立，则实数的最小值为________；若的一个根比大，另一个根比小，则实数的取值范围是________．

变式2.【2018年江西南昌高二下学期期末考试数学试卷（南昌二中理科）】方程 至少有一个负的实根的充要条件是(　　)

A．
B．
C．
D． 或

例3.【2018年福建厦门福建省厦门双十中学高二上学期期中考试数学试卷（文）（11月）】已知函数有两个均大于的不同解，则的取值范围为(　　)

A．                
B．                
C．                
D．

课后习题

一．单选题

1．已知函数f (x)＝－log2x，则f (x)的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)   B．(2,3)

C．(3,4)   D．(4，＋∞)

2．函数f (x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

3．函数f (x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)

A．没有零点   B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点   D．有无穷多个零点

3.若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是(　　)

A． B．
C． D．

4.已知 ，关于 的方程 ，则下列四个结论错误的是 (　　)

A．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根
B．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根
C．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根
D．存在实数 ，使得方程恰有 个不同的实根

5．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f (x)＝2 019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)

A．a>c>b>d   B．a>b>c>d

C．c>d>a>b   D．c>a>b>d

二．多选题

6．(多选)已知函数f (x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，则下列结论正确的是(　　 )

A．x1＋x2＝－1   B．x3x4＝1

C．1＜x4＜2   D．0＜x1x2x3x4＜1

7．(多选)设函数f (x)＝－ln|ax|(a＞0)，若f (x)有4个零点，则a的可能取值有(　　 )

A．1  B．2  C．3  D．4

三．填空题

8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是________

9.已知函数 ，若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是________．

10.【2017年4月浙江杭州高一下学期月考】关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，且 ，实数 的取值范围________

11.已知函数，函数，其中，若函数恰好有四个零点，则的取值范围是________ ．

12．(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f (x)－g(x)的零点个数是________．

13．若函数f (x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

四．解答题