第二章 第十节 函数的模型与应用-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
课前检测
1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．
【答案】1λln⁡2
【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，
则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，
解得t=1λln⁡2．
故答案为1λln⁡2．
【分析】由题意可得：N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，化为对数式即可得出．
【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
答案 eq \r(p＋1q＋1)－1
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.
3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
答案 5
解析 由题意得，y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝eq \f(4,5)，y1＋y2＝eq \f(20,x)＋eq \f(4,5)x≥2eq \r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq \f(20,x)＝eq \f(4,5)x，即x＝5时取等号．
4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为________．
答案 15,12
解析 由三角形相似得eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)(24－y)，
∴S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.0.))
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－eq \f(1,5)(t2－eq \f(15,2)t＋eq \f(225,16))＋eq \f(45,16)－2＝－eq \f(1,5)(t－eq \f(15,4))2＋eq \f(13,16)，所以当t＝eq \f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.
6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9 C．8 D．7
答案 BC
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，
由nlg eq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，故选BC.
课中讲解
考点一.函数图像刻画变化过程
例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋beq \r(x)
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋bx＋c
答案 B
解析 根据散点图可知，选择y＝a＋beq \r(x)最适合．
考点二.应用所给的模型解决实际问题
例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v（单位：m⋅s-1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blg3⁡Q10（其中 a、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m⋅s-1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m⋅s-1，求其耗氧量至少要多少个单位．
【答案】270 个单位
【解析】由题意，知 {a+blg3⁡3010=0a+blg3⁡9010=1，即 {a+b=0a+2b=1，解得 {a=-1b=1，所以 v=-1+lg3⁡Q10，
要使飞行速度不能低于 2m⋅s-1，则有 v⩾2，即 -1+lg3⁡Q10⩾2，即 lg3⁡Q10⩾3，
解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．
变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y（万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y=x12 与 y=2x3 供选择．
(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
【答案】函数 y=2x3 这一模型较好
【解析】画出散点图
由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y=2x3 的图像的附近，因此用函数 y=2x3 这一模型较好．
(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg⁡2=0.3010，lg⁡3=0.4771）
【答案】大约从第 9 月份开始
【解析】当 2x3>100 时，2x>300，∴lg⁡2x>lg⁡300
即 xlg⁡2>2+lg⁡3∴x>2+lg⁡3lg2=2+≈8.23
故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．
当 2x3>100 时，2x>300
28=256<300；29=512>300
故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．
例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．
②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 ①y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1)) ②0.6
解析 ①设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，
则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a过点(0.1,1)，得1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))0.1－a，
解得a＝0.1，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1(t>0.1)．
②由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1≤0.25＝eq \f(1,4)，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
变式2.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f (m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
考点三.构建函数模型解决实际问题
1.二次函数模型
例1.某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
[解] (1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，
y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05xeq \\al(2,2)＝－0.05xeq \\al(2,2)＋10x2－40
＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，
∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．
又0≤x1≤200，x1∈N，
∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，
∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．
(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.
易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.
即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；
当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．
变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A．[4,8] B．[6,10]
C．[4%,8%] D．[6%,10%]
答案 A
解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．
指对数函数模型
例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
变式2.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
[解析] (1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，
则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，
∴lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
∴0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞eq \f(24,5)，
又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C.
(2)由已知得192＝eb，①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，②
将①代入②得e22k＝eq \f(1,4)，则e11k＝eq \f(1,2)，
当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.
[答案] (1)C (2)C
对勾函数模型
例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，
∵x＋eq \f(25,x)≥10，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq \r(3) 平方米，且高度不低于eq \r(3) 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
答案 2eq \r(3)
解析 由题意可得BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2)(2≤x<6)，
∴y＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≥2eq \r(\f(18,x)×\f(3x,2))＝6eq \r(3).
当且仅当eq \f(18,x)＝eq \f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq \r(3)时等号成立．
分段函数模型
例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．
(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y（元）关于通话时间 t（分钟）的函数图象；
【答案】见解析
【解析】如下图所示．
(2) 如果一次通话 t 分钟（t>0），写出话费 y（元）关于通话时间 t（分钟）的函数关系式（可用 [t] 表示不小于 t 的最小整数）．
【答案】y={0.2,03
【解析】由(1)知，话费 y 与时间 t 的关系是分段函数．
当 0当 t>3 时，话费 y 应为 (0.2+[t-3]×0.1) 元．
所以 y={0.2,03．
变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600 元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件 14 元；②该店月销量 Q（百件）与销量价格 P（元）的关系如图所示；③每月需各种开支 2000 元．
(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
【答案】当 P=19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元
【解析】设该店月利润余额为 L 元，
则由题设得 L=Q(P-14)×100-3600-2000①
由销量图易得 Q={-2P+50,14⩽P⩽20-32P+40,20代入①式得 L={(-2P+50)(P-14)×100-5600,14⩽P⩽20(-32P+40)(P-14)×100-5000,20当 14⩽P⩽20 时，Lmax=450 元，此时 P=19.5 元；
当 20故当 P=19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元．
(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
【答案】最早可望在 20 年后脱贫
【解析】设可在 n 年后脱贫，依题意有 12n×450-50000-58000⩾0，解得 n⩾20．即最早可望在 20 年后脱贫．
课后习题
单选题
1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
解析：选D 假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.
2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )
A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10eq \f(x,25)＋500
C．y＝eq \f(1,1 000)(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]
解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10eq \f(x,25)＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝eq \f(1,1 000)(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.
3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋eq \f(3x,x＋2)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )
A．30.5万元 B．31.5万元
C．32.5万元 D．33.5万元
解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为eq \f(30y＋4,y)×150%＋eq \f(x,y)×50%，故年销售收入为z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(30y＋4,y)×150%＋\f(x,y)×50%))·y＝45y＋6＋eq \f(1,2)x.∴年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq \f(x,2)＝17＋eq \f(45x,x＋2)－eq \f(x,2)(万元)．∴当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋eq \f(45,1＋2)－eq \f(1,2)＝31.5(万元)．故选B.
4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3
答案 B
解析 设这种放射性元素的半衰期是x年，
则(1－10%)x＝eq \f(1,2)，化简得0.9x＝eq \f(1,2)，
即x＝lg0.9eq \f(1,2)＝eq \f(lg \f(1,2),lg 0.9)＝eq \f(－lg 2,2lg 3－1)
≈eq \f(－0.301 0,2×0.477 1－1)≈6.6(年)．故选B.
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
答案 A
解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx，010，))
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)(24－y)，
所以S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，
所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．
多选题
7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：千克)与时间x(单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
答案 BD
解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后两小时均没有生产，故C错误，D正确．
三．填空题
8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.
化简得x－6×0.9x＝0.
令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
9.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9eq \r(3)平方米，且高度不低于eq \r(3)米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为________．
解析：根据题意知，9eq \r(3)＝eq \f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×eq \f(x,2)＝BC＋x，h＝eq \f(\r(3),2)x，
所以9eq \r(3)＝eq \f(1,2)(2BC＋x)eq \f(\r(3),2)x，得BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)＞0，))得2≤x＜6.
所以y＝BC＋2x＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)(2≤x＜6)，
由y＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≤10.5，解得3≤x≤4.
因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．
答案：[3,4]
10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
答案 3
解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h．(车身长度不计)
答案 12
解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2＋400)) km所用的时间，
因此，t＝eq \f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2＋400,v)＝eq \f(36v,400)＋eq \f(400,v)≥2eq \r(\f(36v,400)×\f(400,v))＝12，
当且仅当eq \f(36v,400)＝eq \f(400,v)，即v＝eq \f(200,3)时取等号．
故这些汽车以eq \f(200,3) km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
四．解答题
12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题：
(1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y（万人）与年数 x（年）的函数关系式；
【答案】y=100×(1+1.2%)x,x∈N*
【解析】1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；
2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；
3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)3；…；
x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x,x∈N*．
(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）；
【答案】112.7 万
【解析】10 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．
(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）．
【答案】16 年
【解析】令 y=120，则有 100×(1+1.2%)x=120，解方程可得 15故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．
13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（千帕）是气球的体积 V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）
(1) 写出这个函数的解析式；
【答案】p=96V
【解析】设 p 与 V 的函数的解析式为 p=kV，把点 A(1.5,64) 代入，解得 k=96．
∴ 这个函数的解析式为 p=96V．
(2) 当气球的体积为 0.8 立方米时，气球内的气压是多少千帕？
【答案】120 千帕
【解析】把 V=0.8 代入 p=96V，p=120，
当气球的体积为 0.8 立方米时，气球内的气压是 120 千帕．
(3) 当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
【答案】气球的体积应不小于 23 立方米
【解析】由 p=144 时，V=23，
∴p⩽144 时，V⩾23，
当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 23 立方米
14.如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE=4 米，CD=6 米．为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上．设 MP=x 米，PN=y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域．
【答案】y=-12x+10，定义域为 [4,8]
【解析】作 PQ⊥AF 于 Q，
∴PQ=(8-y) 米，EQ=(x-4) 米．
又 △EPQ∼△EDF，∴EQPQ=EFFD，即 x-48-y=42．
∴y=-12x+10，定义域为 [4,8]．
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f (x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f (x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f (x)＝blgax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax月份
2
3
4
5
6
月收入（万元）
1.4
2.56
5.31
11
21.3
项目
类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120