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第二章 第四节 函数的图象-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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这是一份第二章 第四节 函数的图象-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第二章第四节函数的图象原卷版docx、第二章第四节函数的图象解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共25页， 欢迎下载使用。
知识回顾
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up11(保留x轴及上方图象),\s\d4(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up11(保留y轴及右边图象，并作其),\s\d4(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x) eq \f(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)→y＝f(ax)．
②y＝f(x) eq \f(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变,0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)→y＝af(x)．
课前检测
1.【2020年4月江苏镇江润州区江苏省镇江中学高二上学期月考数学试卷高二阶段学期检测卷】函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：∵f(x)=y=2x2-e|x|，
∴f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8-e2∈(0,1)，故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f(x)=y=2x2-ex，
∴f'(x)=4x-ex=0有解，
故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【备注】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
2.将函数 y=bx+a+a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位，所得图象如果与原图象关于直线 y=x 对称，那么( )
A． a=-1,b≠0
B． a=-1,b∈R
C． a=1,b≠0
D． a=0,b∈R
【答案】C
【解析】由题意知，所得函数与原函数互为反函数，
平移后函数的解析式为 y=bx-2+a+a-2，即 x=by-a+2+2-a，
所以函数 y=bx+a+a 与 y=bx-a+2+2-a 是同一个函数，
故 2-a=a，得 a=1，
当 b=0 时，函数 y=bx+a+a 没有反函数，所以 b≠0.
3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析：选D 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝lg eq \r(2)f(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝lg eq \r(2)f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,0，x＜0，))其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
答案：(0，＋∞)
6．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A．a>1 B．00 D．b<0
答案 AD
解析 因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.
课中讲解
考点一 函数图像的识别
例1．（2020•山东新高考模拟演练9）函数的函数图象是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】答案：A
分析：首先去绝对值化得函数为，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项.
详解：去绝对值可得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，且，
当时，单点递增，且，
综上只有A符合，
故选：A
点睛：本题主要考查函数的性质与图像，需熟记对数型函数的性质，属于中档题.
变式1．（2020•山东新高考模拟演练10）函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】答案：C
分析：先确定函数的奇偶性，然后再确定函数值的正负．
详解：，，∴是偶函数，排除B，D，
时，，，，排除A．只有C可选．
故选：C.
点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过函数解析式研究函数的性质如奇偶性、单调性等等，再研究函数的特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势等，用排除法确定正确选项．
例2．（2020•安徽六安）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图象可得当，，故可排除C，因为当时，.当，可得，而当时，，故可排除D选项，当时，，故可排除A选项，故选B.
变式2．（2020•甘肃天水）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
例3.（西藏拉萨中学2020届高三第六次月考数学（理）试题 ）如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图像大致为（ ）
【答案】A
变式3.（2020上海南洋）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度（0≤x≤2π），向量在方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点时的值，再研究点P从点向点运动时的变化规律，由此即可得出正确选项,设边与轴交点为点，由已知可得因而可得，由此正三角形的边长为连接，可得即则，由图可知当时，射影取到最小值，其大小为由此可排除选项；又当点P从点向点运动时，变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图像趋于平缓，由此可排除，故选．
考点：1、函数的综合应用；2、、排除法；3、特殊值法．
例4.(
2019年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟)已知，则函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由函数解析式可得，则函数为偶函数，其图像关于轴对称，再取特殊变量得，即可得在存在变量使得，再观察图像即可.
【详解】解：因为，
则=，
即，
则函数为偶函数，其图像关于轴对称，
不妨取，则 ，
即在存在变量使得，
故选D.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.
考点二 函数图像的应用
例1.（2020年江西赣洲）函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C．
变式1.（2020上海进才）将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得图像经过怎样的变换才能得到的图像（ ）
A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位
C. 向左平移2个单位D. 向右平移2个单位
【答案】B
【分析】
根据函数的图象的变化规律：先把函数变为，再根据平移规律得出结论．
【详解】由于函数y＝f（2x+4）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到，故只需把函数的图象向右平移个单位可得到函数y＝f（x）的图象，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的图象的变化规律，熟练掌握伸缩变换及平移变换是关键，属于基础题．
例2.若不等式(x－1)2＜lgax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜lgax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝lgax的图象的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝lgax的图象的下方，只需(2－1)2≤lga2，即lga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.
变式2.(2019·沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x－1，则关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝lg8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－lg8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝lg8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.
[答案] C
例3 (2020·唐山月考)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq \f(1,2)，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
变式3.已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|例4.使lg2(－x)答案 (－1,0)
解析 在同一坐标系内作出y＝lg2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．
变式4.设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
课后习题
一 单选题
1．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是( )
解析：选C 因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x＞0，所以f(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.
2.若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x＜－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(5,4)
C．－1 D．－2
解析：选C 由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5，x＜－1，,lnx＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝eq \f(a,2)对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0＜x≤1，))则下列函数的图象错误的是( )
解析：选D 在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝eq \r(x)，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.
5．(2020·佛山质检)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝1－2－x，则不等式f (x)<－eq \f(1,2)的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 当x>0时，f (x)＝1－2－x>0.
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)<－eq \f(1,2)的解集和f (x)>eq \f(1,2)的解集关于原点对称，由1－2－x>eq \f(1,2)得2－x即x>1，则f (x)<－eq \f(1,2)的解集是(－∞，－1)．故选A.
6．函数f (x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c>0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f (x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)及图象可知，x≠－c，－c>0，则c<0.
当x＝0时，f (0)＝eq \f(b,c2)>0，所以b>0，
当y＝0时，ax＋b＝0⇒x＝－eq \f(b,a)>0.
所以a<0，选C.
7．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )
解析：选C 由y＝f(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.
8．[直观想象]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 当x＞0时，f(x)＝f(x－1)，所以f(x)是以1为周期的函数．又当0＜x≤1时，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1)＝21－x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1.方程f(x)＝x＋a的根的个数可看成是两个函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(－∞，1)．
二 多选题
9．(多选)关于函数f (x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有( )
A．函数f (x)在区间(1,2)上单调递增
B．函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f (x)有且仅有两个零点
答案 ABD
解析 函数f (x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，
由图可得，
函数f (x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；
函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
若x1≠x2，但f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；
函数f (x)有且仅有两个零点，D正确．
10．(多选)(2019·河南浉河区校级月考)将函数f (x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f (x)不能满足条件的是( )
A．f (x)＝eq \f(1,x＋1) B．f (x)＝ex－1－e1－x
C．f (x)＝x＋eq \f(2,x) D．f (x)＝lg2(x＋1)＋1
答案 ACD
解析 由题意知，f (x)必须满足两个条件：
①f (1)＝0，②f (1＋x)＝－f (1－x)．
对于选项A，C，D，f (1)均不为0，不满足条件；
对于选项B，f (1)＝e0－e0＝0，f (1＋x)＝ex－e－x，
f (1－x)＝e－x－ex＝－f (1＋x)．
三．填空题
11．(2019·合肥质检)对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，知f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，ex－a＝－(e－x－a)，即a＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋\f(1,ex)))＞1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
12．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，0≤x≤1，,lg2 020x，x>1，))若实数a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 (2,2 021)
解析 函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，0≤x≤1，,lg2 020x，x>1))的图象如图所示，不妨令a由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1所以213．已知f (x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f (x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f (x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
解析 由题意作出f (x)在[－1,3]上的图象如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，
即函数f (x)与y＝kx＋k＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，
故kAB四 解答题
14.（2020全国卷文）已知函数f（x）=ax–1（x≥0）．其中a>0且a≠1．
（1）若f（x）的图象经过点，求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
（1）由题意函数 图象过点，代入即可求解得值；
（2）由函数，可得，再分两种情况讨论，即可求解函数的值域.
【详解】（1）由题意函数 图象过点，
所以，则；
（2）f（x）=ax–1（x≥0），
由x≥0得x–1≥–1，
当0当a>1时，ax–1≥a–1，所以f（x）的值域为[a–1，+∞）．
15．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋eq \f(1,x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－eq \f(1,x)＋2，∴y＝f(x)＝x＋eq \f(1,x)(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)＝x＋eq \f(a＋1,x)，∴g′(x)＝1－eq \f(a＋1,x2).
∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－eq \f(a＋1,x2)≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
知识回顾
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up11(保留x轴及上方图象),\s\d4(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up11(保留y轴及右边图象，并作其),\s\d4(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x) eq \f(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)→y＝f(ax)．
②y＝f(x) eq \f(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变,0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)→y＝af(x)．
课前检测
1.【2020年4月江苏镇江润州区江苏省镇江中学高二上学期月考数学试卷高二阶段学期检测卷】函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：∵f(x)=y=2x2-e|x|，
∴f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8-e2∈(0,1)，故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f(x)=y=2x2-ex，
∴f'(x)=4x-ex=0有解，
故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【备注】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
2.将函数 y=bx+a+a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位，所得图象如果与原图象关于直线 y=x 对称，那么( )
A． a=-1,b≠0
B． a=-1,b∈R
C． a=1,b≠0
D． a=0,b∈R
【答案】C
【解析】由题意知，所得函数与原函数互为反函数，
平移后函数的解析式为 y=bx-2+a+a-2，即 x=by-a+2+2-a，
所以函数 y=bx+a+a 与 y=bx-a+2+2-a 是同一个函数，
故 2-a=a，得 a=1，
当 b=0 时，函数 y=bx+a+a 没有反函数，所以 b≠0.
3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析：选D 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝lg eq \r(2)f(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝lg eq \r(2)f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,0，x＜0，))其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
答案：(0，＋∞)
6．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A．a>1 B．0
答案 AD
解析 因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.
课中讲解
考点一 函数图像的识别
例1．（2020•山东新高考模拟演练9）函数的函数图象是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】答案：A
分析：首先去绝对值化得函数为，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项.
详解：去绝对值可得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，且，
当时，单点递增，且，
综上只有A符合，
故选：A
点睛：本题主要考查函数的性质与图像，需熟记对数型函数的性质，属于中档题.
变式1．（2020•山东新高考模拟演练10）函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】答案：C
分析：先确定函数的奇偶性，然后再确定函数值的正负．
详解：，，∴是偶函数，排除B，D，
时，，，，排除A．只有C可选．
故选：C.
点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过函数解析式研究函数的性质如奇偶性、单调性等等，再研究函数的特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势等，用排除法确定正确选项．
例2．（2020•安徽六安）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图象可得当，，故可排除C，因为当时，.当，可得，而当时，，故可排除D选项，当时，，故可排除A选项，故选B.
变式2．（2020•甘肃天水）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
例3.（西藏拉萨中学2020届高三第六次月考数学（理）试题 ）如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图像大致为（ ）
【答案】A
变式3.（2020上海南洋）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度（0≤x≤2π），向量在方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点时的值，再研究点P从点向点运动时的变化规律，由此即可得出正确选项,设边与轴交点为点，由已知可得因而可得，由此正三角形的边长为连接，可得即则，由图可知当时，射影取到最小值，其大小为由此可排除选项；又当点P从点向点运动时，变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图像趋于平缓，由此可排除，故选．
考点：1、函数的综合应用；2、、排除法；3、特殊值法．
例4.(
2019年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟)已知，则函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由函数解析式可得，则函数为偶函数，其图像关于轴对称，再取特殊变量得，即可得在存在变量使得，再观察图像即可.
【详解】解：因为，
则=，
即，
则函数为偶函数，其图像关于轴对称，
不妨取，则 ，
即在存在变量使得，
故选D.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.
考点二 函数图像的应用
例1.（2020年江西赣洲）函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C．
变式1.（2020上海进才）将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得图像经过怎样的变换才能得到的图像（ ）
A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位
C. 向左平移2个单位D. 向右平移2个单位
【答案】B
【分析】
根据函数的图象的变化规律：先把函数变为，再根据平移规律得出结论．
【详解】由于函数y＝f（2x+4）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到，故只需把函数的图象向右平移个单位可得到函数y＝f（x）的图象，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的图象的变化规律，熟练掌握伸缩变换及平移变换是关键，属于基础题．
例2.若不等式(x－1)2＜lgax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜lgax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝lgax的图象的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝lgax的图象的下方，只需(2－1)2≤lga2，即lga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.
变式2.(2019·沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x－1，则关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝lg8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－lg8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝lg8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.
[答案] C
例3 (2020·唐山月考)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq \f(1,2)，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
变式3.已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|
解析 在同一坐标系内作出y＝lg2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．
变式4.设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
课后习题
一 单选题
1．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是( )
解析：选C 因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x＞0，所以f(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.
2.若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x＜－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(5,4)
C．－1 D．－2
解析：选C 由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5，x＜－1，,lnx＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝eq \f(a,2)对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0＜x≤1，))则下列函数的图象错误的是( )
解析：选D 在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝eq \r(x)，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.
5．(2020·佛山质检)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝1－2－x，则不等式f (x)<－eq \f(1,2)的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 当x>0时，f (x)＝1－2－x>0.
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)<－eq \f(1,2)的解集和f (x)>eq \f(1,2)的解集关于原点对称，由1－2－x>eq \f(1,2)得2－x
6．函数f (x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c>0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f (x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)及图象可知，x≠－c，－c>0，则c<0.
当x＝0时，f (0)＝eq \f(b,c2)>0，所以b>0，
当y＝0时，ax＋b＝0⇒x＝－eq \f(b,a)>0.
所以a<0，选C.
7．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )
解析：选C 由y＝f(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.
8．[直观想象]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 当x＞0时，f(x)＝f(x－1)，所以f(x)是以1为周期的函数．又当0＜x≤1时，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1)＝21－x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1.方程f(x)＝x＋a的根的个数可看成是两个函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(－∞，1)．
二 多选题
9．(多选)关于函数f (x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有( )
A．函数f (x)在区间(1,2)上单调递增
B．函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f (x)有且仅有两个零点
答案 ABD
解析 函数f (x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，
由图可得，
函数f (x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；
函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
若x1≠x2，但f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；
函数f (x)有且仅有两个零点，D正确．
10．(多选)(2019·河南浉河区校级月考)将函数f (x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f (x)不能满足条件的是( )
A．f (x)＝eq \f(1,x＋1) B．f (x)＝ex－1－e1－x
C．f (x)＝x＋eq \f(2,x) D．f (x)＝lg2(x＋1)＋1
答案 ACD
解析 由题意知，f (x)必须满足两个条件：
①f (1)＝0，②f (1＋x)＝－f (1－x)．
对于选项A，C，D，f (1)均不为0，不满足条件；
对于选项B，f (1)＝e0－e0＝0，f (1＋x)＝ex－e－x，
f (1－x)＝e－x－ex＝－f (1＋x)．
三．填空题
11．(2019·合肥质检)对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，知f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，ex－a＝－(e－x－a)，即a＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋\f(1,ex)))＞1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
12．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，0≤x≤1，,lg2 020x，x>1，))若实数a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 (2,2 021)
解析 函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，0≤x≤1，,lg2 020x，x>1))的图象如图所示，不妨令a
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
解析 由题意作出f (x)在[－1,3]上的图象如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，
即函数f (x)与y＝kx＋k＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，
故kAB
14.（2020全国卷文）已知函数f（x）=ax–1（x≥0）．其中a>0且a≠1．
（1）若f（x）的图象经过点，求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
（1）由题意函数 图象过点，代入即可求解得值；
（2）由函数，可得，再分两种情况讨论，即可求解函数的值域.
【详解】（1）由题意函数 图象过点，
所以，则；
（2）f（x）=ax–1（x≥0），
由x≥0得x–1≥–1，
当0
15．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋eq \f(1,x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－eq \f(1,x)＋2，∴y＝f(x)＝x＋eq \f(1,x)(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)＝x＋eq \f(a＋1,x)，∴g′(x)＝1－eq \f(a＋1,x2).
∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－eq \f(a＋1,x2)≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
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