第九章 第六节 二项式定理-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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1．二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(n,n)＝1，Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n).
Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)(0≤m≤n)．
(2)二项式系数先增后减中间项最大．
当n为偶数时，第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为或.
(3)各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n，Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
课前检测
1.二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的展开式中，eq \r(x)的系数是( )
A.eq \f(15,2)B.－eq \f(15,2)
C.15D.－15
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．120
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
5.若(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.
6．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(1,x)))n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．
7.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________(用数字作答)．
课中讲解
考点一.二项展开式中特定项或系数问题
例1.(2020·贵港模拟)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))6的展开式中，常数项
为( )
A．－240 B．－60
C．60 D．240
D
变式1. (1)(2018·全国卷Ⅲ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x)))5的展开式中x4的系数为( )
A.10 B.20
C.40D.80
(2)(2019·合肥调研)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.
(3)(2019·甘肃检测)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(x))))5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.
例2. (1)(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数是( )
A.－4B.－3
C.3D.4
(2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
变式2.(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A.10B.20
C.30D.60
(2)将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)－4))3展开后，常数项是________.
例3.(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A．－3 B．－2 C．1 D．4
(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
(3)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．
变式3.（1）(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)
（2）.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5(x＞0)的展开式中的常数项为________.
考点二.二项式系数的性质和系数和
例1 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A．－1 B．1 C．27 D．－27
.
(2)(2019·宣城调研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A．1 B．2
C．129 D．2 188
变式1.（1）若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A.6eq \r(3,x) B.eq \f(4,\r(x))
C.4xeq \r(6,x)D.eq \f(4,\r(x))或4xeq \r(6,x)
（2）.若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________.
（3）.若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
变式1.（1）(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( )
A.1B.243
C.121D.122
（2）.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
（3）.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.
（4）若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________(用数字作答)．
例4. (2019·马鞍山模拟)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
变式4. (1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29 B．210 C．211 D．212
(2)已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(3)(2019·合肥质检)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.
考点三.项展开式的应用
例1.设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝( )
A.0 B.1
C.11D.12
变式1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为( )
A.1B.2
C.3D.4
变式2.1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq \\al(k,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)除以88的余数为________.
课后习题
单选题
1.（1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )
A．21 B．35
C．45 D．25
2.(2020·贵港模拟)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))6的展开式中，常数项
为( )
A．－240 B．－60
C．60 D．240
3.(2020·安徽模拟)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．7
4.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为( )
A．－4 B.eq \f(5,2)
C．4 D.eq \f(7,2)
5．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A．50 B．70 C．90 D．120
6．(2019·衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mdm)．若a＝Ceq \\al(0,20)＋Ceq \\al(1,20)·2＋Ceq \\al(2,20)·22＋…＋Ceq \\al(20,20)·220，a≡b(md10)，则b的值可以是( )
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021
7．已知(xcs θ＋1)5的展开式中x2的系数与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,4)))4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
多选题
8．(多选)二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是( )
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
9．(多选)对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
10.已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
11.若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值为( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
12.对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*), 以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
三.填空题
13．(2019·晋城模拟)(2－3x)2(1－x)7的展开式中，x3的系数为________．
14．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数项为________．
15．(2019·怀化模拟)若在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))n的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))n的展开式中的常数项为________．
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))5的展开式中常数项是________．
17.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知aeq \\al(2,3)＝2a2a4.
(1)则n的值为________；
(2)设(1＋eq \r(3))n＝a＋beq \r(3)，其中a，b∈N*，则a2－3b2的值为________．
四.解答题
18.(2020·江苏模拟)在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和．
19.已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．
20．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(2,\r(4,x))))n展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项．
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)