第六章 第二节 等差数列及其前n项和-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
(7)若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq \f(1,2)d.
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq \f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
课前检测
1.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1=-11，a4+a6=-6，则当 Sn 取最小值时，n 等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
2.一个等差数列的首项为eq \f (1,25),从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d>eq \f (8,75) B．dC．eq \f (8,75)3.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6＝2,且S5＝30,则S8等于( )
A．31 B．32 C．33 D．34
4.在等差数列 {an} 中，a5+a13=40，则 a8+a9+a10=( )
A．72
B．60
C．48
D．36
5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0B．a7＝0
C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值
6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝____时，{an}的前n项和最大．
课中讲解
考点一.等差数列基本量的运算
例1.已知 数列 {an} 是等差数列，a1+a2+a3=6，a7+a8+a9=24，则 a4+a5+a6= ________．
变式1.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
例2．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
变式2．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq \f(1,2)n2－2n
例3．(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
变式3.若公差为 d 的等差数列 {an} ，n∈N*，满足 a3⋅a4+1=0，则公差 d 的取值范围是________ ．
考点二. 等差数列的判定与证明
例1.已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1(1) 求数列{an}的前n项和Sn；
(2) 在(1)的条件下，设bn=Snn+c，求证：当c=-12时，数列{bn}是等差数列．
变式1.已知数列{an}中，a1=35,an=2-1an-1(n⩾2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N+)求证：数列{bn}是等差数列；
例2.数列 {an}，{bn}，{cn} 满足：bn=an-2an+1，cn=an+1+2an+2-2，n∈N*．
(1) 若数列 {an} 是等差数列，求证：数列 {bn} 是等差数列；
(2) 若数列 {bn}，{cn} 都是等差数列，求证：数列 {an} 从第二项起为等差数列；
(3) 若数列 {bn} 是等差数列，试判断当 b1+a3=0 时，数列 {an} 是否成等差数列？证明你的结论．
变式2.已知数列{an}满足：a1=2e-3,an+1+1=(2en+1-2)(an+1)an+1+2en-2(n∈N*)．证明：数列{en-1an+1}为等差数列；
例3.数列 {an} 的前 n 项和 Sn=100n-n2（n∈N*）．
(1) 求证：{an} 是等差数列；
(2) 设 bn=|an|，求数列 {bn} 的前 n 项和．
变式3.数列{an}满足：a1=1，an+1=3anan+3，n∈N*. 令bn=1an，求证：数列{bn}为等差数列

变式4.数列 {an} 满足 an=6-9an-1(n∈N*，n≥2)．求证：数列 {1an-3} 是等差数列．
考点三. 等差数列的性质与应用
例1.等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=30，S2n=100，则 S3n=( )
A．130
B．170
C．210
D．260
变式1.已知等差数列为{an}，且a1+a7+a13=2π，则tan⁡a7=( )
A．-3
B．3
C．±3
D．-33
例2.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+⋯+a7=( )
A．26
B．27
C．28
D．29
变式2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13＝104,a6＝5,则数列{an}的公差为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
例3.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若SnTn=2n3n+1，则anbn=( )
A．23
B．2n+13n+1
C．2n-13n-1
D．2n-13n+4
变式3.已知 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和，若 S7=7，S15=75 ，则数列 {Snn} 的前 20 项和为________．
变式4.等差数列 {an}，{bn} 的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的正整数 n 都有 SnTn=5n-32n+1，则 a7b7=________．
考点四. 等差数列前n项和的最值问题
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．13
变式1.等差数列 {an} 中，Sn 是它的前 n 项的和，且满足 a1=13，S3=S11，求 Sn 的最大值．
例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=9，S99-S55=-4，则Sn取最大值时的n为( )
A．4
B．5
C．6
D．45
变式2.设等差数列 {an} 的公差为 d, a1>0, 且 S9>0,S10<0 ，求当 Sn 取得最大值时 n 的值．
课后习题
单选题
1.若 a，b，c 成等比数列，m 是 a，b 的等差中项，n 是 b，c 的等差中项，则 am+cn=( )
A．4
B．3
C．2
D．1
2.已知等比数列{an}中，a2=3，a5=81，bn=lg3an，数列{bn}前n项和为Tn，则T8=( )
A．36
B．28
C．45
D．32
3.在等差数列 {an} 中，若 a2+a3=4，a4+a5=6，则 a7+a8+a9+a10=( )
A．16
B．18
C．20
D．21
4.若 {an} 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( )
① {2an+1}，② {an2}，③ {an+1-an}，④ {2an+n}
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3.首项为24的等差数列，从第10项起开始为负数，则公差的取值范围是( )
A．d>-83
B．d<-3
C．-3D．-3⩽d<-83
4.下列命题中正确的个数是( )
① 若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 一定成等差数列；
② 若 a，b，c 成等差数列，则 2a，2b，2c 可能成等差数列；
③ 若 a，b，c 成等差数列，则 ka+2，kb+2，kc+2 一定成等差数列；
④ 若 a，b，c 成等差数列，则 1a，1b，1c 可能成等差数列．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
5.若 {an} 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( )
① {an+an+1}；② {an2}；③ {an+1-an}；④ {2an}；⑤ {2an+n}．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6.在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7-12a8的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
7.设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和，若 S3S6=13，则 S6S12=( )
A．310
B．13
C．18
D．19
8.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
9.在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
多选题
10．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S20＝0
11．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则( )
A．an＝－eq \f(1,2n－1)
B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n－1)－\f(1,n)，n≥2，n∈N*))
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))为等差数列
D.eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,S100)＝－5 050
三．填空题
12.已知数列{an}、{bn}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=________
13.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn．若 a1=1，S1212-S1010=2，则 a2015= ________．
14．(2018·广元统考)若数列{an}是正项数列，且eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝n2＋n，则a1＋eq \f(a2,2)＋…＋eq \f(an,n)＝________.
四．解答题
15.已知数列 {an} 满足 a2=2，Sn 为其前 n 项和，且 Sn=an(n+1)2(n=1,2,3,⋯)．
(1) 求 a1 的值；
(2) 求证：an=nn-1an-1(n⩾2)；
(3) 判断数列 {an} 是否为等差数列，并说明理由．
16.已知数列 {an} 的通项公式 an=pn2+qn（p,q∈R，且 p，q 为常数）．
(1) 当 p 和 q 满足什么条件时，数列 {an} 是等差数列；
(2) 求证：对任意实数 p 和 q，数列 {an+1-an} 是等差数列．
17.已知数列 {an} 满足 a1=0，a2=2，且对任意的 m,n∈N* 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2．
(1) 求 a3，a5；
(2) 设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*)，证明：{bn} 是等差数列．
18．记m＝eq \f(d1a1＋d2a2＋…＋dnan,n)，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(dn))是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(dn))是等比