第六章 第三节 等比数列及其前n项和-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第三节 等比数列及其前n项和

知识回顾

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：

Sn＝.

3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

4．在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．

课前检测

1.已知等比数列满足，则，则公比的值为(　　)

A． B． C．或 D．

2.数与的等差中项，等比中项分别是(　　)

A．
B．
C．
D．

3．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)

A.   B．log2a

C．{an＋an＋1}   D．{an＋an＋1＋an＋2}

4．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)

A．31  B．32

C．63  D．64

5.正项等比数列中，，则________．

6．设{an}是公比为正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．

课中讲解

考点一.等比数列基本量的运算

例1.已知等比数列 共有 项，其中奇数项之积为 ，偶数项之积为 ，则其公比是(　　)

A． B．
C． D．

变式1.等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，，则 ________．

例2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．1

C.  D.

变式2．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.

例3。我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A．1盏  B．3盏

C．5盏  D．9盏

变式3.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第 名得全部资金的一半多一万元，第 名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第 名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．

例4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.

变式4.已知是等差数列，是等比数列，，，，．求，的通项公式；

变式5.已知等比数列 的公比 ，其前 项和为 ，则 与 的大小关系为 (　　)

A．
B．
C．
D．不能确定

考点二.等比数列的判定与证明

例1.已知数列满足，．证明是等比数列，并求的通项公式；

变式1.已知数列 满足 ，， ( ) ．

(1) 证明：数列 为等比数列；

(2) 求数列 的通项公式；

(3) 若数列 满足 ( )，证明：数列 是等差数列．

例2.已知数列 与 满足：，，，且 ，．设 ，，证明： 是等比数列；

变式2.已知数列 满足：，，且 ．设 ，求证 是等比数列；

例3.　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

变式3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3的值；

(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．

考点三．等比数列的性质及应用

例1.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是(　　)

A． B．
C． D．以上答案都不对

变式1.在等比数列中，，，那么(　　)

A． B． C． D．

例2.【2021年吉林长春长春市第二十九中学高三上学期期末考试数学试卷（理科）】设等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 (　　)

A． B． C． D．

变式2.【2020年天津和平区天津市第一中学高二上学期期中考试数学试卷】等比数列  中，，，则 ________．

例3.在等比数列 中，如果 （），则 (　　)

A．
B．
C．
D．

课后习题

一．单选题

1.【2020年江西南昌进贤县进贤县第一中学高一下学期月考数学试卷（文）】设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前 项和分别为 ，，，则下列等式中恒成立的是(　　)

A． B．
C． D．

2.在等比数列 中，如果 和 是一元二次方程 的两个根，则 的值为(　　)

A． B． C． D．

3.在等比数列中，已知是方程的两根，则(　　)

A． B． C． D．

4.设是公比为（）的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为(　　)

A．
B．
C．
D．

5.已知等比数列中，，，则(　　)

A． B． C． D．

6.在正项等比数列  中，已知 ，，，则  等于(　　)

A． B． C． D．

7．(2020·苏州模拟)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)

A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列

B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列

C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列

D．数列是公比为的等比数列

8．若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是(　　)

A.   B．－16

C．2   D．16

二．多选题

9．(多选)在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为(　　)

A．8   B．12

C．－8   D．－12

10．(多选)在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列选项中，结论正确的是(　　)

A．0＜q＜1

B．a99·a101－1＜0

C．T100的值是Tn中最大的

D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198

三．填空题

11.已知数列的首项为，前项之和为，且是以（）为公比的等比数列，若是递增数列，则的取值范围是________．

12.在等比数列中，各项均为正值，且，，则________

13.已知等比数列 的公比 ，且 ，则 ________．

14.在等比数列 中，公比 ，且 ，则 ________．

15．设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.

16．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋＝________.

17．各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．

18．已知在等比数列{an}中，an>0，a＋a＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 020的个位数字是____．

四．解答题

19．(2019·淄博模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n＋1(n∈N*且n≥2)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn－an}为等比数列．

20.设关于 的一元二次方程 有两根 和 且满足 ．

(1) 试用 表示 ；

(2) 求证：数列 是等比数列；

(3) 当 时，求数列 的通项公式．

21.已知 是等比数列，前 项和为 ，且 ，．