第七章 第三节 直线、平面的垂直关系的判定与性质-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第三节 直线、平面垂直的判定及其性质
知识回顾
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线和平面的交点即为垂足．
(2)判定定理与性质定理

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图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面

⇒l⊥α
性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

⇒a∥b

2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α
课前检测
1.设l,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若l⊥m,m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l//m，则m⊥α
C．若l//α，m⊂α，则l//m
D．若l//α，m//α，则l//m
【答案】B
【解析】A．若l⊥m,m⊂α，l可能与α相交，也可能在面α内，故A错误
B．若l⊥α，l//m，根据平行线垂直于同一个平面，可知B正确
C．若l//α，m⊂α，l,m可能平行，可能异面，故C错误
D．若l//α，m//α，l,m可能相交，可能异面，可能平行，故D错误
2.已知 α，β，γ 为平面，l，m，n 为直线，则下列哪个条件能推出 l⊥β(　　)
A．α⊥β，α∩β=n，l⊥n
B．α⊥γ，β⊥γ，l⊥α
C．m⊥α，m⊥β，l⊥α
D．α⊥γ，α∩γ=l，β⊥γ
【答案】C
【解析】A．未说明 l⊂α，故错误；
B．垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；
C．可确定 α//β，则 l⊥β，故正确；
D．垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误．
故选 C
3、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF将这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，则在这个空间图形中必有(　　)

A. AG⊥平面EFH　　 B. AH⊥平面EFH
C. HF⊥平面AEF　 D. HG⊥平面AEF
【答案】 B
【解析】 根据折叠，AH⊥HE，AH⊥HF不变，得AH⊥平面EFH，故B正确；因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，所以EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，所以平面HAG⊥AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，所以C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，所以D不正确．故选B.
4、（2020•山东模拟）如图所示，在四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为　　
A． B．
C． D．
【答案】．
【解析】对于．根据正方体的性质可得：，，可得平面．
而无法得出平面．
故选：．
5．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN∥平面ABC B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45° D．OC⊥平面VAC
答案　AB
解析　易知MN∥AC，又AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.

6.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个结论：
① 三棱锥A-D1PC的体积不变；② A1P//平面ACD1；③ DP⊥BC1；④ 平面PDB1⊥平面ACD1．
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】① 三棱锥以ΔAD1C为底，高恒定，所以体积不变；
② 易证平面ACD1//平面A1BC1，所以线面平行；
③ 当P在点B时，∠DBC1=60∘，错误；
④ 易证DB1⊥ACD1，正确．

【备注】直线与平面的位置关系


课中讲解
考点一.线面垂直判定与性质
例1.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：
(1) PH⊥平面ABCD；
(2) EF⊥平面PAB.

【证明】 (1) 因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中边AD上的高，
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
(2) 如图，取PA的中点M，连结MD，ME.
因为E是PB的中点，
所以ME＝AB，ME∥AB.
又因为DF＝AB，DF∥AB，
所以ME＝DF，ME∥DF，
所以四边形MEFD是平行四边形，
所以EF∥MD.
因为PD＝AD，
所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，
所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.










变式1.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．
求证：PD⊥ 平面 PAB；
【答案】见解析
【解析】【分析】：推导出 AB⊥ 平面 PAD，从而 AB⊥PD，再由 PA⊥PD，能证明 PD⊥ 平面 PAB．
∵ 面 PAD∩ 面 ABCD=AD，面 PAD⊥ 面 ABCD，
∵AB⊥AD，AB⊂ 面 ABCD，∴AB⊥ 面 PAD，
∵PD⊂ 面 PAD，∴AB⊥PD，
又 PD⊥PA，∴PD⊥ 面 PAB．


例2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，AB=3，AA1=4，AB⊥AC．

证明：A1C⊥平面ABC1；
【答案】略
【解析】由已知得四边形AA1C1C是正方形，∴A1C⊥AC1，
∵几何体ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C，
又AB⊥AC，∴AB⊥平面AA1C1C，
∴AB⊥A1C，∵AC1⋂AB=A，∴A1C⊥平面ABC1．

变式2.如图，在三棱柱中 ABC-DEF，点 P，G 分别是 AD，EF 的中点，已知 AD⊥ 平面 ABC，AD=EF=3，DE=DF=2．
求证：DG⊥ 平面 BCEF；
【答案】见解析
【解析】由 AD⊥ 平面 ABC 可知 AD⊥DG，所以 BF⊥DG；又 DE=DF，点 G 分别是 EF 的中点，得 EF⊥DG；因为 BF∩EF=F，所以 DG⊥ 平面 BCEF．
例3..如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形．点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F．

(1) 求证：AB∥EF；
【答案】略
【解析】证明：因为底面 ABCD 是正方形，
所以 AB∥CD．
又因为 AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以 AB∥平面PCD．
又因为 A,B,E,F 四点共面，且平面 ABEF∩平面PCD=EF，
所以 AB∥EF．

(2) 若 PA=AD，且 平面PAD⊥平面ABCD，试证明 AF⊥平面PCD；
【答案】略
【解析】在正方形 ABCD 中，CD⊥AD．
又因为平面 PAD⊥平面ABCD，
且平面 PAD∩平面ABCD=AD，
所以 CD⊥平面PAD．
又 AF⊂平面PAD
所以 CD⊥AF．
由（1）可知 AB∥EF，
又因为 AB∥CD，所以 CD∥EF．由点 E 是棱 PC 中点，所以点 F 是棱 PD 中点．
在 △PAD 中，因为 PA=AD，所以 AF⊥PD．
又因为 PD∩CD=D，所以 AF⊥平面PCD．

(3) 在（2）的条件下，线段 PB 上是否存在点 M，使得 EM⊥平面PCD ？（直接给出结论，不需要说明理由）
【答案】不存在
变式3..如图，四面体 P-ABC 中，PA⊥ 平面 ABC，PA=1，AB=BC=1，AC=2．

(1) 证明 BC⊥ 平面 PAB；
【答案】见解析
【解析】由题设知 AB=BC=1，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，
∵PA⊥ 平面 ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥ 平面 PAB．

(2) 在线段 PC 上是否存在点 D，使得 AC⊥BD，若存在，求 PD 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】PD=32
【解析】点 D 为 PC 的中点，且 PD=32，使得 AC⊥BD．
理由如下：
在平面 ABC 内，过点 B 作 BE⊥AC，垂足为 E，
在平面 PAC 内，过点 E 作 DE//PA，交 PC 于点 D，连结 BD，
由 PA⊥ 平面 ABC，知 PA⊥AC，∴DE⊥AC，
∴AC⊥ 平面 DBE，
∵BD⊂ 平面 DBE，∴AC⊥BD，
在 △ABC 中，AB=BC=1，点 E 为 AC 的中点，则点 D 为 PC 的中点，
在 Rt△APC 中，AP=1，AC=2，∴PC=3，
∴PD=32．

例4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60∘，PA=AB=BC，E是PC的中点.证明：


(1) CD⊥AE；
【答案】略
【解析】∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又AC⊥CD，PA∩AC=A，
故CD⊥平面PAC．
又AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE;

(2) PD⊥平面ABE．
【答案】略
【解析】由题意：AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
从而AB⊥PD．
又AB=BC，且∠ABC=60∘，
∴AC=AB，从而AC=PA．
又E为PC之中点，
∴AE⊥PC．
由(1)知：AE⊥CD，
∴AE⊥平面PCD，
从而AE⊥PD．
又AB∩AE=A，
故PD⊥平面ABE．
变式4..如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且3AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.
证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.
在Rt△ABC中，由BC＝AC，得∠ABC＝30°.
设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2.
由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.
因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD.
因为PD∩AB＝D，所以CD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.


考点二.面面垂直的判定与性质

例1.如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB⊥ 平面 ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且 AC=BC=2，O，M 分别为 AB，VA 的中点．

(1) 求证：VB// 平面 MOC；
【答案】见解析
【解析】因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，
所以 OM//VB，
又因为 VB⊄ 平面 MOC，OM⊂ 平面 MOC，
所以 VB// 平面 MOC 线面平行．
【备注】根据线面平行的判定定理，找出面 MOC 上与直线 VB 平行的直线即可．

(2) 求证：平面 MOC⊥ 平面 VAB；
【答案】见解析
【解析】因为 AC=BC，O 为 AB 的中点，
所以 OC⊥AB．
又因为平面 VAB⊥ 平面 ABC，交线为 AB，且 OC⊂ 平面 ABC，
所以 OC⊥ 平面 VAB 面面垂直，
所以平面 MOC⊥ 平面 VAB 面面垂直．
【备注】根据面面垂直的判定定理，找出其中一个面上垂直另一个面的直线即可．




变式1.如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．

(1) 直线 PA// 平面 DEF；
【答案】见解析
【解析】因为 D，E 分别为棱 PC、AC 中点
所以 DE//PA．
又因为 PA⊄ 平面 DEF，DE⊆ 平面 DEF
所以直线 PA// 平面 DEF．

(2) 平面 BDE⊥ 平面 ABC．
【答案】见解析
【解析】因为 D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 中点，PA=6、BC=8
所以 DE⊥PA，DE=12PA=3，EF=12BC=4
又因为 DF=5，
故 DF2=DE2+EF2
所以 ∠DEF=90∘，
即 DE⊥EF
又因为 PA⊥AC，DE⊥PA
所以 DE⊥AC
又因为 EF∩AC=E，AC⊆平面 ABC，EF⊆ 平面 ABC
所以 ED⊥ 平面 ABC，
又因为 ED⊆ 平面 ABC
所以平面 BDE⊥ 平面 ABC．

例2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥ABCD，二面角S-CD-A的平面角为45∘，M为AB的中点，N为SC的中点．


(1) 证明：MN//平面SAD；
【答案】略
【解析】取SD中点E，连接AE、NE，则有NE=12CD=12AB=AM 又∵NE是∆SCD中位线,NE//CD,NE//AM ∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN//AE，∴MN//平面SAD；

(2) 证明：平面SMC⊥平面SCD．
【答案】略
【解析】∵SA⊥ABCD,∴SA⊥CD．∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD,又∵SA⋂AD=A，∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥SD，∴∠SDA为二面角S-CD-A的平面角,即∠SDA=45∘ ∴∆SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD,∵ CD⊥平面SAD,∴CD⊥AE，又SD⋂CD=D，∴AE⊥平面SCD ∵MN//AE，∴MN⊥平面SCD,又∵MN⊂平面SMC，∴平面SMC⊥平面SCD
变式2.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
例3.已知在 △BCD 中，∠BCD=90∘，BC=CD=1，AB⊥ 平面 BCD，∠ADB=60∘，E，F 分别是 AC，AD 上的动点，且 AEAC=AFAD=λ(0