高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.5 平面上的距离优秀学案设计

平面上两点间的距离

在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系．

[问题]　(1)怎样借助点的坐标来探求点与点之间的距离？

(2)对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)如何求这两点间的距离？

知识点　两点间的距离公式

1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ．

2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．

1．两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．

2．当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.

当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.

当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝或|P1P2|＝.　　　　

1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．－5

C．1或－5  D．－1或5

解析：选C　∵|AB|＝＝5，

∴a＝－5或a＝1.

2．已知A(－2，3)，B(－2，－3)，则|AB|＝________．

答案：6

[例1]　(链接教科书第32页例2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．

[解]　法一：∵|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

又|BC|＝＝2，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，

则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.

又|AC|＝＝2，

|AB|＝＝2，

∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．

[母题探究]

(变设问)本例条件不变，求BC边上的中线AM的长．

解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2，2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为.

计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝；

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　　　

[跟踪训练]

已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．

解：设点P的坐标为(x，0)，则有

|PA|＝ ＝ ，

|PB|＝ ＝ .

由|PA|＝|PB|，

得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.

故所求点P的坐标为.

|PA|＝ ＝.

[例2]　(链接教科书第33页例3)在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

[证明]　设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．

因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，

|AD|2＝b2＋c2，

|DC|2＝a2，

所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

利用坐标法解平面几何问题的四个步骤

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　　　

[跟踪训练]

已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.

求证：|AC|＝|BD|.

证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，

则点D的坐标是(a－b，c)．

∴|AC|＝＝，

|BD|＝＝.

故|AC|＝|BD|.

1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　)

A．5　　　 B.　　　　

C.　　　　 D．4

解析：选A　|MN|＝＝5.

2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　)

A．4  B．4

C．2  D．2

解析：选B　∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|＝＝4.

3．已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，则x＝________．

解析：由|MN|＝7，

得|MN|＝ ＝7，

即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5.

故所求x的值为9或－5.

答案：9或－5