苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程精品学案及答案

直线的点斜式方程

射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标．

[问题]　(1)情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？

(2)眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？

知识点　直线的点斜式方程与斜截式方程

续表

1．过点P(x0，y0)斜率不存在的直线l的方程形式是什么？提示：x＝x0.

2．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？

提示：斜率存在．

3．直线l在y轴的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离吗？

提示：截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．

1．已知直线l的点斜式方程为y－2＝x－1，则直线l的斜率为________．

答案：1

2．直线l在y轴上的截距为2，且倾斜角α＝60°，则直线l的斜截式方程为________．

答案：y＝x＋2

[例1]　(链接教科书第11页例1)已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，A＝60°，B＝45°，求：

(1)AB边所在直线的点斜式方程；

(2)AC边所在直线的点斜式方程．

[解]　(1)如图所示，

因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴，

所以AB边所在直线的方程为y＝1.

(2)因为A＝60°，

所以kAC＝tan 60°＝，

所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)．

[母题探究]

1．(变设问)本例条件不变，试求BC边所在直线的点斜式方程．

解：因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，

故BC边所在直线的点斜式方程为y－1＝－(x－5)．

2．(变条件)若本例中的条件“B＝45°”换为“B＝60°”，其他条件不变，试求直线BC的点斜式方程．

解：因为B＝60°，所以kBC＝tan 120°＝－，

故直线BC的点斜式方程为y－1＝－(x－5)．

求直线的点斜式方程的方法步骤

(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；

(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　　　　

[跟踪训练]

1．过点(－1，2)，且倾斜角为60°的直线方程为________．

解析：直线的斜率k＝tan 60°＝，

由直线的点斜式方程得y－2＝(x＋1)．

答案：y－2＝(x＋1)

2．若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件的方程：

(1)倾斜角为150°；

(2)平行于x轴．

解：(1)直线的斜率为k＝tan 150°＝－，

所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，

即方程为y－1＝－(x－2)．

(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.

[例2]　(链接教科书第12页例2)根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

[解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.

(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.

直线的斜截式方程的求解策略

(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．　　　　　

[跟踪训练]

求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．

解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.

∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，

∴所求直线的方程为y＝x－5.

1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是(　　)

A．x＝3　　　　　　　 B．y＝－5

C．2y＝x  D．x＝4y－1

答案：B

2．方程y＝k(x－2)表示(　　)

A．经过点(－2，0)的所有直线

B．经过点(2，0)的所有直线

C．经过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线

D．经过点(2，0)且除去x轴的所有直线

解析：选C　易验证直线经过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．

3．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是(　　)

A．y＝x＋2　　　　　　 B．y＝x－2

C．y＝x－  D．y＝x－2

解析：选B　由题得直线l的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.

4．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　)

A．y＝x＋2  B．y＝－x＋2

C．y＝－x－2  D．y＝x－2

解析：选D　∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝，

∴直线l的方程为y＝x－2.

5．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　)

A．k>0，b>0  B．k>0，b<0

C．k<0，b>0  D．k<0，b<0

解析：选B　∵直线经过第一、三、四象限，

∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.