2020-2021学年第1章 直线与方程1.2 直线的方程优秀导学案及答案

直线的两点式方程

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．

[问题]　(1)怎样表示该直线的方程呢？

(2)能否用直线上两个已知点的坐标来表示该直线的方程？

知识点　直线的两点式与截距式方程

1．所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？

提示：垂直于坐标轴的直线不能用两点式方程来表示．

2．方程＝和方程＝表示同一图形吗？

提示：不表示同一圆形．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　)

(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的图形相同．(　　)

(3)过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(　　)

A.＝　　　　　　 B.＝

C.＝  D.＝

答案：B

3．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(　　)

A.－＝1  B.＋＝1

C.－＝1  D.＋＝0

答案：A　

[例1]　(链接教科书第14页例4)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[解]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

∴由两点式得＝，

即2x＋5y＋10＝0.

故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．

(2)设BC的中点为M(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝＝－3.

∴M，

又BC边上的中线经过点A(－3，2)．

∴由两点式得＝，

即10x＋11y＋8＝0.

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.

求直线的两点式方程的策略以及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　　　

[跟踪训练]

已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．

解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．

①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；

②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.

综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；

当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.

[例2]　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

[解]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；

②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，

可设方程为＋＝1，即x－y＝a，

又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，

∴l的方程为x－y－3＝0，

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.

法二：由题意知直线的斜率一定存在．

设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，

x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.

根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.

当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；

当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.

[母题探究]

(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？

解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意．

②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，

又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.

∴l的方程为x＋2y－9＝0.

求直线的截距式方程的方法(思路)

(1)由已知条件确定横、纵截距；

(2)若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程．

[注意]　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况．　　　　

[跟踪训练]

1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．－1

C．7  D．－7

解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.

2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．

解：设直线方程的截距式为＋＝1.

则＋＝1，解得a＝2或a＝1，

则直线方程是＋＝1或＋＝1，

即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.

[例3]　直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；

(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．

[解]　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，a＋b＋＝12.①

因为直线l过点P，所以＋＝1.②

联立①②，解得或

所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.

(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，ab＝6即ab＝12.③

联立②③，解得或

所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.

直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便．一条直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|.　　　　

[跟踪训练]

求经过点(－2，2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．

解：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋＝1，

由已知可得解得或

所以＋＝1或＋＝1，

故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

直线方程的点法式

规定：与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量．

若直线l经过点P，且一个法向量为n，则直线l上不同于点P的任意一点M都满足n·＝0.反之，满足n·＝0的任意一点M一定在直线l上．

如图，在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，如何求直线l的方程呢？

设直线l上的任意一点M的坐标为(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．

由n·＝0，可得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. ①

这说明：直线l上的任意一点M(x，y)都满足方程①.

另外，容易验证以方程①的解为坐标的点都在直线l上．

也就是说，方程①是直线l的方程．称这个方程为直线方程的点法式．

[迁移应用]

1．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC边上的高所在直线的方程．

解：由已知，可得＝(－2，2)．

因为＝(－2，2)就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1，2)，

所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程为－2(x－1)＋2(y－2)＝0，

即x－y＋1＝0.

2．已知直线l经过点A(3，1)，且与P(－1，0)，Q(3，2)两点的连线垂直，求直线l的方程．

解：因为PQ⊥l，所以＝(3＋1，2－0)＝(4，2)为直线l的一个法向量．

又直线l经过点A(3，1)，代入直线的点法式方程，得

4(x－3)＋2(y－1)＝0，

即2x＋y－7＝0.

1．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)

A．2x＋y－8＝0　　　　 B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0  D．2x－y－12＝0

解析：选A　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.

2．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)

A．a>0，b>0  B．a>0，b<0

C．a<0，b>0  D．a<0，b<0

解析：选B　因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.

3．过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是(　　)

A.＋＝1  B.＋＝0

C.＋＝1  D.－＝1

答案：C　

4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________．

解析：当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；

当在坐标轴上的截距不为零时，

可设直线方程为－＝1，

将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，

得直线方程为x－y＋1＝0.

∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.

答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0

5．已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．

解析：AB的中点坐标为(1，3)，

由直线的两点式方程可得＝，

即2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0