2021学年第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质获奖课件ppt

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三角形中位线定理有理数
平行四边形的性质及判定定理的综合应用
平行四边形的边、角、对角线及其关系进行梳理与总结
运用平行四边形的性质定理、判定定理以及三角形的中位线定理构造新的平行四边形
发展直观想象、逻辑推理能力
运用平行四边形的性质、判定定理构造新的平行四边形
梳理平行四边形的知识框架
任务如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请借助这个平行四边形的“边”、“角”或“对角线”，构造新的平行四边形.
1.借助平行四边形的“边”
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在AD，BC上，DE=CF，四边形ABFE是平行四边形吗？
猜想：四边形ABFE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又AE=AD-DE，BF=BC-CF，DE=CF，∴AE=BF.又AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.
延伸 如果E，F 分别是AD，BC上的动点，DE=CF，四边形ABFE是平行四边形吗？
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又 AE=AD-DE，BF=BC-CF，∵DE=CF，∴ AE=BF.又AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.
延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F 分别是AD，BC上的动点，AE=CF，四边形EBFD是平行四边形吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又DE=AD-AE，BF=BC-CF，AE=CF，∴DE=BF.又DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形.
延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F 分别是AD，BC上的动点，AE=CF，连接CE，AF，你有新的发现吗？
延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F 分别是AD，BC上的动点，DE=CF，G，H 分别是AB，CD上的动点，AG=DH ，图中共有多少个平行四边形？
如何证明四边形GFHE是平行四边形？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C.∵G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG= AB，CH= CD.∴ AG=CH. 同理AE=CF. ∴△AGE≌△CHF.∴ EG=FH. 同理 GF=HE. ∴ 四边形GFHE是平行四边形.
证明： 连接AC.∵G，F分别是AB，BC的中点， ∴GF是△BAC的中位线.∴GF∥AC，GF= AC.同理EH∥AC， EH= AC.∴GF∥ EH， GF=EH. ∴四边形GFHE是平行四边形.
结论 如图，在四边形ABCD中，G，F，H，E分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形GFHE是平行四边形.
练习 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是对角线AC，BD的中点．求证：CD=2EF．
证明： 取AB的中点G，连接CG，DG.
∴AB=2AG．∵AB∥CD，AB=2CD ， ∴AG∥CD，AG=CD．∴四边形AGCD是平行四边形．又E是AC的中点，∴E是DG的中点.同理F是CG的中点．∴EF是△GCD的中位线． ∴CD=2EF．
延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA延长线上的点，且BE=CF=DG=AH ，四边形HEFG是平行四边形吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠DCB．∴∠HAE=∠FCG．又AE=AB+BE，CG=CD+DG，∵ BE=DG，∴AE=CG．又AH=CF，∴△AHE≌△CFG．∴HE=FG．同理EF=GH．∴四边形HEFG是平行四边形．
2.借助平行四边形的“角”
猜想：四边形FBED是平行四边形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ABC=∠ADC， AB∥CD．∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FBE = ∠ABC，∠EDF= ∠ADC，∴∠FBE =∠EDF∵ AB∥CD，∴∠DEB+∠FBE=180 °，∠BFD+∠EDF=180° ，∴∠DEB=∠BFD．∴四边形FBED是平行四边形．
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，四边形FBED是平行四边形吗？
延伸：能否改变“BE平分∠ABC，DF平分∠ADC”这个条件，使得四边形FBED还是平行四边形？
∠DEB+∠EBF=180 ° ∠BFD+∠FDE=180 °
如图，已知四边形ABCD是平行四边形， E，F分别是CD， AB上的点，且∠EBF=∠FDE．求证：四边形FBED是平行四边形．
延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果 E，F分别是CD， AB上的动点，∠EBF=∠FDE ，四边形FBED是平行四边形吗？
四边形FBED始终是平行四边形.
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O ，E，F是对角线AC上的两点，且 AE=CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．
3.借助平行四边形的“对角线”
思考：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O ，E，F分别是AC，CA延长线上的点，且 AF=CE，四边形FBED是平行四边形吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵OF=OA+AF，OE=OC+CE，AF=CE， ∴OF=OE．∴四边形FBED是平行四边形．
改变已知条件中点的位置
练习 如图，已知AD是△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE=FE.求证：BF=AC.
证明：延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，CG. ∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC．又DG=AD，∴四边形ABGC是平行四边形．∴AC∥BG， AC=BG．∴∠EAF=∠BGF．∵AE=FE， ∴∠AFE =∠EAF．∵∠AFE=∠BFG，∴∠BGF=∠BFG．∴BF=BG．∴BF=AC．
1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
2.如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O.BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O?为什么？（提示：分别取BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND .）