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人教版八年级下册18.2.3 正方形获奖课件ppt
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这是一份人教版八年级下册18.2.3 正方形获奖课件ppt，文件包含1825《正方形》课件34张pptx、1825《正方形》同步练习doc、1825《正方形》教案教学设计docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共37页， 欢迎下载使用。
探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别
会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题
你能分别从边、角、对角线、对称性的角度说一说下面图形的性质吗？
通过判定，我们知道四边形的分类有这样的关系：
你知道中间重叠部分会是什么特殊的四边形吗？
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
怎样研究这类图形？我们回忆一下是怎样研究矩形和菱形的。
目标导学：正方形的性质
菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
正方形，菱形，矩形，平行四边形，四边形之间的关系集合图解：
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形有哪些性质？
正方形的角有什么性质呢？
证明：因为 正方形ABCD是特殊的矩形 所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
正方形的四个角都相等，都是90°
因为 四边形ABCD是正方形 所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
正方形的对角线有什么性质呢？
证明：因为 正方形ABCD是特殊的菱形 所以 AC⊥BD ∠1=∠2，,∠3=∠4， ∠5=∠6，∠7=∠8 又因为 正方形ABCD是特殊的矩形 所以 AC=BD
正方形的对角线垂直并且相等，每条对角线平分每一组对角
因为 四边形ABCD是正方形 所以 AC⊥BD，AC=BD
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考。
对称性： .对称轴：.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明： ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB , ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
注意：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
例3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F∴四边形CEDF有三个直角， 它是矩形又∵CD平分∠ACB∴矩形CEDF是正方形
例4 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8.
2.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M。 求证：∠MFD＝45°
分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
试一试看能不能完成证明???
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ ）A．50B．55C．70D．75
分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）A．75°B．60°C．54°D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
解析：如图，∵BE=BF，∴∠BFE=45°∵∠CAB=45°，∴FH⊥AC，又CB⊥AF，∴E是△ACF的垂心，因此AG⊥CF。
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别
会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题
你能分别从边、角、对角线、对称性的角度说一说下面图形的性质吗？
通过判定，我们知道四边形的分类有这样的关系：
你知道中间重叠部分会是什么特殊的四边形吗？
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
怎样研究这类图形？我们回忆一下是怎样研究矩形和菱形的。
目标导学：正方形的性质
菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
正方形，菱形，矩形，平行四边形，四边形之间的关系集合图解：
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形有哪些性质？
正方形的角有什么性质呢？
证明：因为 正方形ABCD是特殊的矩形 所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
正方形的四个角都相等，都是90°
因为 四边形ABCD是正方形 所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
正方形的对角线有什么性质呢？
证明：因为 正方形ABCD是特殊的菱形 所以 AC⊥BD ∠1=∠2，,∠3=∠4， ∠5=∠6，∠7=∠8 又因为 正方形ABCD是特殊的矩形 所以 AC=BD
正方形的对角线垂直并且相等，每条对角线平分每一组对角
因为 四边形ABCD是正方形 所以 AC⊥BD，AC=BD
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考。
对称性： .对称轴：.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明： ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB , ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
注意：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
例3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F∴四边形CEDF有三个直角， 它是矩形又∵CD平分∠ACB∴矩形CEDF是正方形
例4 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8.
2.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M。 求证：∠MFD＝45°
分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
试一试看能不能完成证明???
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ ）A．50B．55C．70D．75
分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）A．75°B．60°C．54°D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
解析：如图，∵BE=BF，∴∠BFE=45°∵∠CAB=45°，∴FH⊥AC，又CB⊥AF，∴E是△ACF的垂心，因此AG⊥CF。
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
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