人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质背景图课件ppt

这是一份人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质背景图课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了复习引入，提出问题，该命题正确吗，探索思考，探索研究，面面垂直，线面垂直，理论证明，知识应用，练习判断正误等内容，欢迎下载使用。
复习两个平面垂直的定义，判定
什么是两个平面互相垂直？
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
如何判定两个平面互相垂直？
第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角； 第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
2.长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，平面A1ADD1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗?
观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
两个平面垂直的结论:
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
例：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明；
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
∴∠ACB=90°即BC⊥AC
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
2、已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。其中正确命题的个数是( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
例2.矩形ABCD中， AD=2,AB=1,现沿对角线AC折成直二面角D-AC-B，求折起后BD长度.
要点一 平面与平面垂直的性质的应用 在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直．在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；②面PAD⊥面ABCD.解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
证明：(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.规律方法：证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
变式1　如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EF⊂α，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面DCE.
例2 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
分析：由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理．
证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
规律方法：已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论．
变式2　如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求证：α∥β.
证明：如图，在平面α内作直线PQ⊥a，在平面β内作直线MN⊥b，垂足分别为Q、N.
∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.∵PQ⊄β，MN⊂β，∴PQ∥β.同理a∥β.∵PQ⊂α，a⊂α，PQ∩a＝Q，∴α∥β.
要点二 线线、线面、面面垂直的综合应用 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.
分析：(1)利用线面平行的判定定理证明，证EN∥DM.(2)先证AD⊥平面PEB，再由AD∥BC证明．(3)转化为证明PB⊥平面ADMN.
证明：(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°∴BE⊥AD.又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，∴PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.
规律方法:运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
变式3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
证明：(1)设G为AD的中点，连接PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.