还剩25页未读，
继续阅读
2021年浙江省绍兴市诸暨市海亮教育集团中考数学模拟试卷 解析版
展开
这是一份2021年浙江省绍兴市诸暨市海亮教育集团中考数学模拟试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省绍兴市诸暨市海亮教育集团中考数学模拟试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）实数的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3m﹣m＝3 B．（m2）3＝m5 C．m+m2＝m3 D．m2•m2＝m4
3．（4分）2021年过年前因为疫情，政府、企业纷纷出台政策，鼓励职场人“就地过年”．经数据显示，今年全国超过1亿人留在原地过年成为“原年人”．其中数字1亿用科学记数法表示为（ ）
A．10×107 B．0.1×109 C．1×108 D．1×107
4．（4分）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜3 B．1＜x≤3 C．x≤3 D．x＞1
5．（4分）如图是由4个大小相同的立方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）某班级前十名的数学成绩分别为100，100，97，95，95，94，93，93，92，91，则这组数据的平均分为（ ）
A．95 B．94.5 C．95.5 D．96
7．（4分）小明和小斌参加学校社团活动，准备在舞蹈社，文学社和漫画社里选择一项，那么两人同时选择漫画社的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）函数y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上有三个点分别为A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1，y2，y3的大小不确定
9．（4分）如图，四边形ABCD内接于圆，已知AC＝BC，延长AD到F使得DF＝BD＝3，已知∠AEB＝90°，且AE：ED＝3：1，则BE的长为（ ）
A．2.5 B．2 C． D．3
10．（4分）为积极响应党中央关于体育强国的号召，在某市半程马拉松开赛前，小明和小斌为了取得更好的成绩，进行了一次迷你马拉松的训练．如图是两人分别跑的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系．他们同时出发，其中小明60分钟时到达终点，小斌由于在40分钟时不小心崴了脚便原地休息一会儿，最终在65分钟时到达终点，已知小斌后半程速度为0.15千米/分钟，则在这个过程中：①小明在10到50分时，保持0.25千米/分钟的速度前进；②小斌休息的时间为4分钟；③小明和小斌在55分时刚好相遇；④在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次．以上说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：x﹣xy2＝ ．
12．（5分）若分式的值为0，则x＝ ．
13．（5分）圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ cm．
14．（5分）△ABC内接于圆O，且AB＝AC，圆O的直径为10cm，BC＝6cm，则sinB＝ ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，M点为抛物线上任意一点，且满足∠MAC＝3∠ACO，则M点坐标为 ．
16．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算：（）2﹣（）﹣1×sin45°；
（2）解方程：2x2﹣2x﹣3＝0．
18．（8分）目前新能源汽车市场竞争激烈，如图分别表示2020年第四季度国内新能源汽车月销量统计图和2020年第四季度各类新能源汽车销售情况扇形统计图．
（1）求出2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量为多少万辆；
（2）预计2021年第一季度新能源汽车总销量比2020年第四季度增长5%，请计算2021年第一季度新能源汽车总销量．
19．（8分）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，请按要求作出相应的图形．
（1）在图1中，画一个面积为6的格点矩形：
（2）在图2中，以AB为边画一个面积为6的格点平行四边形；
（3）在图3中，仅用没有刻度的直尺画出线段AB的三等分点（保留作图痕迹）．
20．（8分）如图，A、E、B三点共线，且∠A＝∠CED＝∠B．
（1）若AC＝5，BD＝2，AB＝2，则E是AB的中点；
（2）若CE平分∠ACD，求证：DE是CD、BD的比例中项．
21．（10分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条50cm长的绑绳EF，tanα＝，求“人字梯”的顶端离地面的高度（AD）和“人字梯”脚长（AC）．
22．（12分）二次函数y1＝a（x﹣k）2+2k与二次函数y2＝a（x+k）2﹣2k的图象称为友好抛物线．
（1）求证：无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在某一确定的直线上．
（2）若a＝1，k＝2，当﹣2＜x＜2时，请比较y1，y2的大小．
（3）已知a＝1，k＞0，友好抛物线：y1，y2交于点A，且y1，y2与y轴分别交于点B、点C，求的值．
23．（12分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形，如图1、AB是公共边、BC＝BD，∠A＝∠A、则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
（3）如图3，函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与函数y＝x的图象交于点B，请在坐标轴上找一点P，使得△ABO与△ABP是共边偏差三角形，直接写出点P的坐标．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为．函数y＝﹣x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；
（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度．
2021年浙江省绍兴市诸暨市海亮教育集团中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）实数的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3m﹣m＝3 B．（m2）3＝m5 C．m+m2＝m3 D．m2•m2＝m4
【分析】利用合并同类项的法则，幂和乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行分析即可得出结果．
【解答】解：A、3m﹣m＝2m，故A不符合题意；
B、（m2）3＝m6，故B不符合题意；
C、m与m2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、m2•m2＝m4，故D符合题意．
故选：D．
3．（4分）2021年过年前因为疫情，政府、企业纷纷出台政策，鼓励职场人“就地过年”．经数据显示，今年全国超过1亿人留在原地过年成为“原年人”．其中数字1亿用科学记数法表示为（ ）
A．10×107 B．0.1×109 C．1×108 D．1×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：1亿＝100000000＝1×108，
故选：C．
4．（4分）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜3 B．1＜x≤3 C．x≤3 D．x＞1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＞x+2，得：x＞1，
解不等式2x﹣3≤x，得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：B．
5．（4分）如图是由4个大小相同的立方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
6．（4分）某班级前十名的数学成绩分别为100，100，97，95，95，94，93，93，92，91，则这组数据的平均分为（ ）
A．95 B．94.5 C．95.5 D．96
【分析】对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数，依此计算即可求解．
【解答】解：（100+100+97+95+95+94+93+93+92+91）÷10
＝950÷10
＝95．
答：这组数据的平均分为95．
故选：A．
7．（4分）小明和小斌参加学校社团活动，准备在舞蹈社，文学社和漫画社里选择一项，那么两人同时选择漫画社的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：列表如下：
舞蹈
文学
漫画
舞蹈
（舞蹈，舞蹈）
（文学，舞蹈）
（漫画，舞蹈）
文学
（舞蹈，文学）
（文学，文学）
（漫画，文学）
漫画
（舞蹈，漫画）
（文学，漫画）
（漫画，漫画）
由表格知，共有9种等可能结果，其中两人同时选择漫画社的只有1种结果，
所以两人同时选择漫画社的概率为，
故选：C．
8．（4分）函数y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上有三个点分别为A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1，y2，y3的大小不确定
【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣．根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数的解析式y＝ax2+3ax+1（a＞0），
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣＝﹣．
∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴x＝1的距离远近顺序为：
C（，y3）、A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2），
∴三点纵坐标的大小关系为：y2＜y1＜y3．
故选：B．
9．（4分）如图，四边形ABCD内接于圆，已知AC＝BC，延长AD到F使得DF＝BD＝3，已知∠AEB＝90°，且AE：ED＝3：1，则BE的长为（ ）
A．2.5 B．2 C． D．3
【分析】根据同弧所对的圆周角相等推∠CAD＝∠CBD，结合图的条件证明△ACE∽△BDE，推，，再根据勾股定理求出BE＝，结合比例线段表示出CE＝，BC＝BE+EC＝，再根据AC•BE＝9x，列方程解出即可．
【解答】解：∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴△ACE∽△BDE，
∴，，
∵AE：ED＝3：1，
∴设DE＝x，AE＝3x，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，
BE＝，
∴，＝
∴CE＝，AC•BE＝9x，
∵BC＝BE+EC＝，
∵AC＝BC，
∴•＝9x，
∴2x2﹣9x+9＝0，
解得x1＝3（舍去），x2＝，
∴BE＝＝，
故选：C．
10．（4分）为积极响应党中央关于体育强国的号召，在某市半程马拉松开赛前，小明和小斌为了取得更好的成绩，进行了一次迷你马拉松的训练．如图是两人分别跑的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系．他们同时出发，其中小明60分钟时到达终点，小斌由于在40分钟时不小心崴了脚便原地休息一会儿，最终在65分钟时到达终点，已知小斌后半程速度为0.15千米/分钟，则在这个过程中：①小明在10到50分时，保持0.25千米/分钟的速度前进；②小斌休息的时间为4分钟；③小明和小斌在55分时刚好相遇；④在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次．以上说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
小明在10到50分时的速度为：（12﹣2）÷（50﹣10）＝0.25（千米/分钟），故①正确；
小斌后半段用的时间为：（15﹣12）÷0.15＝20（分钟），故斌休息的时间为：65﹣20﹣40＝5（分钟），故②错误；
小明最后一段的速度为：（15﹣12）÷（60﹣50）＝0.3（千米/分钟），
设小明和小斌在a分时刚好相遇，
12+（a﹣50）×0.3＝12+（a﹣40﹣5）×0.15，
解得a＝55，故③正确；
当t＝10时，小斌走的路程为：12÷40×10＝3（千米），
∵3﹣2＝1＞0.2，
∴当0＜t＜10时，小明和小斌相距0.2千米的次数有1次，
当t＝45时，两人相距12﹣2﹣0.25×（45﹣10）＝1.25（千米），
∵1.25＞0.2，
∴在10＜t＜45这个过程中，不存在小明和小斌相距0.2千米；
由图象可得，两人相遇前和相遇后存在两次小明和小斌相距0.2千米；
在小斌到达目的地时，存在最后一次小明和小斌相距0.2千米；
由上可得，在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：x﹣xy2＝ x（1+y）（1﹣y） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（1﹣y2）＝x（1+y）（1﹣y）．
故答案为：x（1+y）（1﹣y）．
12．（5分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】根据分式的值等于0的条件：分子＝0且分母≠0即可求解．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
13．（5分）圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ 3 cm．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到×2π×r×7＝21π，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得×2π×r×7＝21π，
即得r＝3，
所以圆锥的底面圆半径r为3cm．
故答案为3．
14．（5分）△ABC内接于圆O，且AB＝AC，圆O的直径为10cm，BC＝6cm，则sinB＝ 或 ．
【分析】分△ABC为锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据垂径定理、勾股定理求出AD、AB，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：如图1，延长AO交BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，BC＝6cm，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝3cm，
在Rt△BOD中，OD＝＝4（cm），
∴AD＝AO+OD＝9cm，
∴AB＝＝＝3（cm），
∴sin∠ABD＝＝＝；
如图2，AD＝OA﹣OD＝1（cm），
∴AB＝＝，
∴sin∠ABD＝＝＝，
综上所述：sin∠ABD的值为或，
故答案为：或．
15．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，M点为抛物线上任意一点，且满足∠MAC＝3∠ACO，则M点坐标为 （，﹣） ．
【分析】如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，过点A'作A'G⊥AC于G，过A作AH∥y轴，过点M作MN⊥x轴于N，分别计算OA和OC的长，设∠ACO＝x，则∠MAC＝3x，∠ACA'＝2x，利用面积法可得A'G的长，计算CG的长，最后根据等角的三角函数列等式可解答．
【解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，过点A'作A'G⊥AC于G，过A作AH∥y轴，过点M作MN⊥x轴于N，
当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴OA＝1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴OC＝3，
设∠ACO＝x，则∠MAC＝3x，∠ACA'＝2x，
∵OC∥AH，
∴∠HAC＝∠ACO＝x，
∴∠HAM＝2x，
∵△AA'C的面积＝×2×3＝××A'G，
∴A'G＝，
由勾股定理得：CG＝＝，
∴tan∠A'CA＝tan2x＝＝＝tan∠AMN，
设M（m，﹣m2+4m﹣3），
∴＝＝，
解得：m1＝1（舍），m2＝，
∴M（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
16．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 ．
【分析】如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，由△ADE∽△APD，可得＝，当DE最小时，的值最小，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，利用勾股定理求得OD＝，再运用三角形三边关系可得DE≥OD﹣OE＝﹣1，即可求出答案．
【解答】解：如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，
∵△ADE∽△APD，
∴＝，
∴＝，
∵AD＝2，
∴DE最小时，的值最小，
作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，
则OE＝OA＝OB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，
∴DE的最小值为﹣1，
∴的最小值＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算：（）2﹣（）﹣1×sin45°；
（2）解方程：2x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣×
＝3﹣1
＝2；
（2）∵2x2﹣2x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，c＝﹣3，
则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝．
18．（8分）目前新能源汽车市场竞争激烈，如图分别表示2020年第四季度国内新能源汽车月销量统计图和2020年第四季度各类新能源汽车销售情况扇形统计图．
（1）求出2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量为多少万辆；
（2）预计2021年第一季度新能源汽车总销量比2020年第四季度增长5%，请计算2021年第一季度新能源汽车总销量．
【分析】（1）2020年第四季度新能源汽车的销量：11.6+16.4+21.6＝59.6（万辆），2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量59.6×（1﹣33.6%﹣2.6%）＝38.024（万辆）；
（2）2021年第一季度新能源汽车总销量：59.6×（1+5%）＝62.58（万辆）．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，
2020年第四季度新能源汽车的销量：11.6+16.4+21.6＝59.6（万辆），
2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量59.6×（1﹣33.6%﹣2.6%）＝38.024（万辆）；
（2）2021年第一季度新能源汽车总销量：59.6×（1+5%）＝62.58（万辆）．
答：（1）2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量为59.6万辆；
（2）2021年第一季度新能源汽车总销量为62.58万辆．
19．（8分）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，请按要求作出相应的图形．
（1）在图1中，画一个面积为6的格点矩形：
（2）在图2中，以AB为边画一个面积为6的格点平行四边形；
（3）在图3中，仅用没有刻度的直尺画出线段AB的三等分点（保留作图痕迹）．
【分析】（1）画一个边长分别为3和2的矩形即可；
（2）画一个边长分别为分别为2和3的平行四边形即可；
（3）根据平行线等分线段定理即可得到结论．
【解答】解：（1）矩形ABCD即为所求；
（2）平行四边形ABCD即为所求；
（3）点C、点D即为所求．
20．（8分）如图，A、E、B三点共线，且∠A＝∠CED＝∠B．
（1）若AC＝5，BD＝2，AB＝2，则E是AB的中点；
（2）若CE平分∠ACD，求证：DE是CD、BD的比例中项．
【分析】（1）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和可得∠ACE＝∠BED，证明△ACE∽△BED，对应边成比例，代入值可以求出AE的长，进而可得则E是AB的中点；
（2）结合（1）和CE平分∠ACD，证明△ECD∽△BED，可得＝，所以DE2＝CD•DB，进而可得DE是CD、BD的比例中项．
【解答】（1）解：∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝∠CED+∠BED．∠A＝∠CED．
∴∠ACE＝∠BED，
∴△ACE∽△BED，
∴＝，
AC＝5，BD＝2，BE＝AB﹣AE＝2﹣AE，
∴＝，
解得AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣AE＝，
∴E是AB的中点；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠BED，
∴∠ECD＝∠BED，
∵∠CED＝∠B，
∴△ECD∽△BED，
∴＝，
∴DE2＝CD•DB，
∴DE是CD、BD的比例中项．
21．（10分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条50cm长的绑绳EF，tanα＝，求“人字梯”的顶端离地面的高度（AD）和“人字梯”脚长（AC）．
【分析】根据∠AFE＝α和α的正切求出AG，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；利用勾股定理可得AC的长．
【解答】解：如图，
由题意得，FG＝EF＝25，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝α，
∴＝，即，
解得AG＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
解得AD＝160，
∵，即，
解得DC＝60，
∴AC＝＝20cm．
∴“人字梯”的顶端离地面的高度AD是160cm，脚长AC是20cm．
22．（12分）二次函数y1＝a（x﹣k）2+2k与二次函数y2＝a（x+k）2﹣2k的图象称为友好抛物线．
（1）求证：无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在某一确定的直线上．
（2）若a＝1，k＝2，当﹣2＜x＜2时，请比较y1，y2的大小．
（3）已知a＝1，k＞0，友好抛物线：y1，y2交于点A，且y1，y2与y轴分别交于点B、点C，求的值．
【分析】（1）先求出友好抛物线的顶点，再用待定系数法求函数解析式即可证明；
（2）当a＝1，k＝2时，先求出交点坐标，再根据函数图象比较y1，y2的大小；
（3）当a＝1，k＞0时，先求出友好抛物线的交点横坐标，再求出两条抛物线与y轴的交点纵坐标，用三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵y1＝a（x﹣k）2+2k，
∴y1的顶点为（k，2k），
∵y2＝a（x+k）2﹣2k，
∴y2的顶点为（﹣k，﹣2k），
设过y1，y2顶点的直线为y＝mx+n，
把（k，2k），（﹣k，﹣2k）代入得：
，
解得：，
∴y＝2x，
∴无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在直线y＝2x上；
（2）解：a＝1，k＝2时，y1＝（x﹣2）2+4，y2＝（x+2）2﹣4，
令y1＝y2，则（x﹣2）2+4＝（x+2）2﹣4，
解得：x＝1，
∴y1＝y2＝5，
∴交点坐标为（1，5），
∴当﹣2＜x＜1时，y1＞y2，当1＜x＜2时，y1＜y2；
（3）a＝1，k＞0时，
令y1＝y2，则（x﹣k）2+2k＝（x+k）2﹣2k，
解得：x＝1，
∴xA＝1，
将x＝0代入y1，y2 得，yB＝k2+2k，yC＝k2﹣2k，
|BC|＝yB﹣yC＝4k，
∴S△ABC＝×BC×|xA|＝×4k×1＝2k，
∴＝＝2．
23．（12分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形，如图1、AB是公共边、BC＝BD，∠A＝∠A、则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
（3）如图3，函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与函数y＝x的图象交于点B，请在坐标轴上找一点P，使得△ABO与△ABP是共边偏差三角形，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE＝CD即可；
（2）根据AC是公共边，∠1＝∠2，再证BC＝CD，即可得出结论；
（3）首先根据两直线交点为B，可求出B（1，），当点P在x轴上时，则OB＝BP，根据等腰三角形的性质可知P（2，0），只要在图中找点P'，使得△ABP与△ABP'全等即可．
【解答】（1）解：如图所示即为所求，在AD上取点E，使得CE＝CD即可；
（2）证明：由（1）作法可知CE＝CD，则∠CED＝∠D，
∵∠CED+∠CEA＝180°，且∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠CEA，
又∵∠1＝∠2，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴BC＝CE，
∴BC＝CD，
在△ACB与△ACD中，
，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
（3）解：当x+＝x时，
解得x＝1，
∴y＝，
∴B（1，），
∵△ABO与△ABP是共边偏差三角形，
当点P在x轴上时，
∴OB＝BP，
过点B作BH⊥x轴于H，
则PH＝OH＝1，
∴P（2，0），
∵函数y＝x+的图象与x轴交于点A，
∴A（﹣2，0），
∴tan∠BAH＝，
∴∠BAH＝30°，
∵B（1，），
∴tan∠BOH＝，
∴∠BOH＝60°，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠ABP＝∠ABO+∠OBP＝90°，
∴点P关于点B对称点P'（0，2），
过点A作AP''⊥AB，交直线OB于P''，
则△AOP''是等边三角形，
可知P''（﹣1，﹣），
同理，当P''关于点A的对称点P'''（﹣3，），
综上：点P的坐标为：（2，0）（﹣1，﹣），（0，2）或（﹣3，）．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为．函数y＝﹣x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；
（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度．
【分析】（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G，根据题意求得坐标A，B，继而求出∠DAO＝45°．然后根据点C的坐标求出CG＝OG＝2，故求得∠COG＝45°，∠AOD＝45°后可知∠ODA＝90°，证得CO⊥AB．
（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；
（3）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO＝CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围；
（4）由题意可知点M的运动轨迹是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，得出答案即可．
【解答】解：
（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．如图1
∵易得A（2，0），B（0，2），
∴AO＝BO＝2．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠DAO＝45°．
∵C（﹣2，﹣2），
∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，
∴∠ODA＝90°．
∴OD⊥AB，
即CO⊥AB．
（2）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，如图2
则CK⊥OK．由点C的坐标为（﹣2，﹣2），易得CO＝2．
∴∠POD＝30°，又∠AOD＝45°，
∴∠POA＝75°，
同理可求得∠POA的另一个值为15°．
（3）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
∴，
即MO•PO＝CO•DO．
∵PO＝t，MO＝s，CO＝2，DO＝，
∴st＝4．
但PO过圆心C时，MO＝CO＝2，PO＝DO＝，
即MO•PO＝4，也满足st＝4．
∴s＝，
∵OP最小值为，当直线PO与⊙C相切时，∠POD＝30°，
∴PO＝＝，
∴t的取值范围是：≤t＜；
（4）由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，
可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK＝120°
弧GQK为实际运动路径，弧长＝．
2021年浙江省绍兴市诸暨市海亮教育集团中考数学模拟试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）实数的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3m﹣m＝3 B．（m2）3＝m5 C．m+m2＝m3 D．m2•m2＝m4
3．（4分）2021年过年前因为疫情，政府、企业纷纷出台政策，鼓励职场人“就地过年”．经数据显示，今年全国超过1亿人留在原地过年成为“原年人”．其中数字1亿用科学记数法表示为（ ）
A．10×107 B．0.1×109 C．1×108 D．1×107
4．（4分）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜3 B．1＜x≤3 C．x≤3 D．x＞1
5．（4分）如图是由4个大小相同的立方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）某班级前十名的数学成绩分别为100，100，97，95，95，94，93，93，92，91，则这组数据的平均分为（ ）
A．95 B．94.5 C．95.5 D．96
7．（4分）小明和小斌参加学校社团活动，准备在舞蹈社，文学社和漫画社里选择一项，那么两人同时选择漫画社的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）函数y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上有三个点分别为A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1，y2，y3的大小不确定
9．（4分）如图，四边形ABCD内接于圆，已知AC＝BC，延长AD到F使得DF＝BD＝3，已知∠AEB＝90°，且AE：ED＝3：1，则BE的长为（ ）
A．2.5 B．2 C． D．3
10．（4分）为积极响应党中央关于体育强国的号召，在某市半程马拉松开赛前，小明和小斌为了取得更好的成绩，进行了一次迷你马拉松的训练．如图是两人分别跑的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系．他们同时出发，其中小明60分钟时到达终点，小斌由于在40分钟时不小心崴了脚便原地休息一会儿，最终在65分钟时到达终点，已知小斌后半程速度为0.15千米/分钟，则在这个过程中：①小明在10到50分时，保持0.25千米/分钟的速度前进；②小斌休息的时间为4分钟；③小明和小斌在55分时刚好相遇；④在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次．以上说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：x﹣xy2＝ ．
12．（5分）若分式的值为0，则x＝ ．
13．（5分）圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ cm．
14．（5分）△ABC内接于圆O，且AB＝AC，圆O的直径为10cm，BC＝6cm，则sinB＝ ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，M点为抛物线上任意一点，且满足∠MAC＝3∠ACO，则M点坐标为 ．
16．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算：（）2﹣（）﹣1×sin45°；
（2）解方程：2x2﹣2x﹣3＝0．
18．（8分）目前新能源汽车市场竞争激烈，如图分别表示2020年第四季度国内新能源汽车月销量统计图和2020年第四季度各类新能源汽车销售情况扇形统计图．
（1）求出2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量为多少万辆；
（2）预计2021年第一季度新能源汽车总销量比2020年第四季度增长5%，请计算2021年第一季度新能源汽车总销量．
19．（8分）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，请按要求作出相应的图形．
（1）在图1中，画一个面积为6的格点矩形：
（2）在图2中，以AB为边画一个面积为6的格点平行四边形；
（3）在图3中，仅用没有刻度的直尺画出线段AB的三等分点（保留作图痕迹）．
20．（8分）如图，A、E、B三点共线，且∠A＝∠CED＝∠B．
（1）若AC＝5，BD＝2，AB＝2，则E是AB的中点；
（2）若CE平分∠ACD，求证：DE是CD、BD的比例中项．
21．（10分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条50cm长的绑绳EF，tanα＝，求“人字梯”的顶端离地面的高度（AD）和“人字梯”脚长（AC）．
22．（12分）二次函数y1＝a（x﹣k）2+2k与二次函数y2＝a（x+k）2﹣2k的图象称为友好抛物线．
（1）求证：无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在某一确定的直线上．
（2）若a＝1，k＝2，当﹣2＜x＜2时，请比较y1，y2的大小．
（3）已知a＝1，k＞0，友好抛物线：y1，y2交于点A，且y1，y2与y轴分别交于点B、点C，求的值．
23．（12分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形，如图1、AB是公共边、BC＝BD，∠A＝∠A、则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
（3）如图3，函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与函数y＝x的图象交于点B，请在坐标轴上找一点P，使得△ABO与△ABP是共边偏差三角形，直接写出点P的坐标．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为．函数y＝﹣x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；
（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度．
2021年浙江省绍兴市诸暨市海亮教育集团中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）实数的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3m﹣m＝3 B．（m2）3＝m5 C．m+m2＝m3 D．m2•m2＝m4
【分析】利用合并同类项的法则，幂和乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行分析即可得出结果．
【解答】解：A、3m﹣m＝2m，故A不符合题意；
B、（m2）3＝m6，故B不符合题意；
C、m与m2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、m2•m2＝m4，故D符合题意．
故选：D．
3．（4分）2021年过年前因为疫情，政府、企业纷纷出台政策，鼓励职场人“就地过年”．经数据显示，今年全国超过1亿人留在原地过年成为“原年人”．其中数字1亿用科学记数法表示为（ ）
A．10×107 B．0.1×109 C．1×108 D．1×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：1亿＝100000000＝1×108，
故选：C．
4．（4分）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜3 B．1＜x≤3 C．x≤3 D．x＞1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＞x+2，得：x＞1，
解不等式2x﹣3≤x，得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：B．
5．（4分）如图是由4个大小相同的立方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
6．（4分）某班级前十名的数学成绩分别为100，100，97，95，95，94，93，93，92，91，则这组数据的平均分为（ ）
A．95 B．94.5 C．95.5 D．96
【分析】对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数，依此计算即可求解．
【解答】解：（100+100+97+95+95+94+93+93+92+91）÷10
＝950÷10
＝95．
答：这组数据的平均分为95．
故选：A．
7．（4分）小明和小斌参加学校社团活动，准备在舞蹈社，文学社和漫画社里选择一项，那么两人同时选择漫画社的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：列表如下：
舞蹈
文学
漫画
舞蹈
（舞蹈，舞蹈）
（文学，舞蹈）
（漫画，舞蹈）
文学
（舞蹈，文学）
（文学，文学）
（漫画，文学）
漫画
（舞蹈，漫画）
（文学，漫画）
（漫画，漫画）
由表格知，共有9种等可能结果，其中两人同时选择漫画社的只有1种结果，
所以两人同时选择漫画社的概率为，
故选：C．
8．（4分）函数y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上有三个点分别为A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1，y2，y3的大小不确定
【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣．根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数的解析式y＝ax2+3ax+1（a＞0），
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣＝﹣．
∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴x＝1的距离远近顺序为：
C（，y3）、A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2），
∴三点纵坐标的大小关系为：y2＜y1＜y3．
故选：B．
9．（4分）如图，四边形ABCD内接于圆，已知AC＝BC，延长AD到F使得DF＝BD＝3，已知∠AEB＝90°，且AE：ED＝3：1，则BE的长为（ ）
A．2.5 B．2 C． D．3
【分析】根据同弧所对的圆周角相等推∠CAD＝∠CBD，结合图的条件证明△ACE∽△BDE，推，，再根据勾股定理求出BE＝，结合比例线段表示出CE＝，BC＝BE+EC＝，再根据AC•BE＝9x，列方程解出即可．
【解答】解：∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴△ACE∽△BDE，
∴，，
∵AE：ED＝3：1，
∴设DE＝x，AE＝3x，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，
BE＝，
∴，＝
∴CE＝，AC•BE＝9x，
∵BC＝BE+EC＝，
∵AC＝BC，
∴•＝9x，
∴2x2﹣9x+9＝0，
解得x1＝3（舍去），x2＝，
∴BE＝＝，
故选：C．
10．（4分）为积极响应党中央关于体育强国的号召，在某市半程马拉松开赛前，小明和小斌为了取得更好的成绩，进行了一次迷你马拉松的训练．如图是两人分别跑的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系．他们同时出发，其中小明60分钟时到达终点，小斌由于在40分钟时不小心崴了脚便原地休息一会儿，最终在65分钟时到达终点，已知小斌后半程速度为0.15千米/分钟，则在这个过程中：①小明在10到50分时，保持0.25千米/分钟的速度前进；②小斌休息的时间为4分钟；③小明和小斌在55分时刚好相遇；④在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次．以上说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
小明在10到50分时的速度为：（12﹣2）÷（50﹣10）＝0.25（千米/分钟），故①正确；
小斌后半段用的时间为：（15﹣12）÷0.15＝20（分钟），故斌休息的时间为：65﹣20﹣40＝5（分钟），故②错误；
小明最后一段的速度为：（15﹣12）÷（60﹣50）＝0.3（千米/分钟），
设小明和小斌在a分时刚好相遇，
12+（a﹣50）×0.3＝12+（a﹣40﹣5）×0.15，
解得a＝55，故③正确；
当t＝10时，小斌走的路程为：12÷40×10＝3（千米），
∵3﹣2＝1＞0.2，
∴当0＜t＜10时，小明和小斌相距0.2千米的次数有1次，
当t＝45时，两人相距12﹣2﹣0.25×（45﹣10）＝1.25（千米），
∵1.25＞0.2，
∴在10＜t＜45这个过程中，不存在小明和小斌相距0.2千米；
由图象可得，两人相遇前和相遇后存在两次小明和小斌相距0.2千米；
在小斌到达目的地时，存在最后一次小明和小斌相距0.2千米；
由上可得，在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：x﹣xy2＝ x（1+y）（1﹣y） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（1﹣y2）＝x（1+y）（1﹣y）．
故答案为：x（1+y）（1﹣y）．
12．（5分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】根据分式的值等于0的条件：分子＝0且分母≠0即可求解．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
13．（5分）圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ 3 cm．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到×2π×r×7＝21π，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得×2π×r×7＝21π，
即得r＝3，
所以圆锥的底面圆半径r为3cm．
故答案为3．
14．（5分）△ABC内接于圆O，且AB＝AC，圆O的直径为10cm，BC＝6cm，则sinB＝ 或 ．
【分析】分△ABC为锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据垂径定理、勾股定理求出AD、AB，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：如图1，延长AO交BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，BC＝6cm，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝3cm，
在Rt△BOD中，OD＝＝4（cm），
∴AD＝AO+OD＝9cm，
∴AB＝＝＝3（cm），
∴sin∠ABD＝＝＝；
如图2，AD＝OA﹣OD＝1（cm），
∴AB＝＝，
∴sin∠ABD＝＝＝，
综上所述：sin∠ABD的值为或，
故答案为：或．
15．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，M点为抛物线上任意一点，且满足∠MAC＝3∠ACO，则M点坐标为 （，﹣） ．
【分析】如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，过点A'作A'G⊥AC于G，过A作AH∥y轴，过点M作MN⊥x轴于N，分别计算OA和OC的长，设∠ACO＝x，则∠MAC＝3x，∠ACA'＝2x，利用面积法可得A'G的长，计算CG的长，最后根据等角的三角函数列等式可解答．
【解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，过点A'作A'G⊥AC于G，过A作AH∥y轴，过点M作MN⊥x轴于N，
当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴OA＝1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴OC＝3，
设∠ACO＝x，则∠MAC＝3x，∠ACA'＝2x，
∵OC∥AH，
∴∠HAC＝∠ACO＝x，
∴∠HAM＝2x，
∵△AA'C的面积＝×2×3＝××A'G，
∴A'G＝，
由勾股定理得：CG＝＝，
∴tan∠A'CA＝tan2x＝＝＝tan∠AMN，
设M（m，﹣m2+4m﹣3），
∴＝＝，
解得：m1＝1（舍），m2＝，
∴M（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
16．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 ．
【分析】如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，由△ADE∽△APD，可得＝，当DE最小时，的值最小，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，利用勾股定理求得OD＝，再运用三角形三边关系可得DE≥OD﹣OE＝﹣1，即可求出答案．
【解答】解：如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，
∵△ADE∽△APD，
∴＝，
∴＝，
∵AD＝2，
∴DE最小时，的值最小，
作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，
则OE＝OA＝OB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，
∴DE的最小值为﹣1，
∴的最小值＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算：（）2﹣（）﹣1×sin45°；
（2）解方程：2x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣×
＝3﹣1
＝2；
（2）∵2x2﹣2x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，c＝﹣3，
则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝．
18．（8分）目前新能源汽车市场竞争激烈，如图分别表示2020年第四季度国内新能源汽车月销量统计图和2020年第四季度各类新能源汽车销售情况扇形统计图．
（1）求出2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量为多少万辆；
（2）预计2021年第一季度新能源汽车总销量比2020年第四季度增长5%，请计算2021年第一季度新能源汽车总销量．
【分析】（1）2020年第四季度新能源汽车的销量：11.6+16.4+21.6＝59.6（万辆），2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量59.6×（1﹣33.6%﹣2.6%）＝38.024（万辆）；
（2）2021年第一季度新能源汽车总销量：59.6×（1+5%）＝62.58（万辆）．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，
2020年第四季度新能源汽车的销量：11.6+16.4+21.6＝59.6（万辆），
2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量59.6×（1﹣33.6%﹣2.6%）＝38.024（万辆）；
（2）2021年第一季度新能源汽车总销量：59.6×（1+5%）＝62.58（万辆）．
答：（1）2020年第四季度新能源纯电动汽车的销量为59.6万辆；
（2）2021年第一季度新能源汽车总销量为62.58万辆．
19．（8分）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，请按要求作出相应的图形．
（1）在图1中，画一个面积为6的格点矩形：
（2）在图2中，以AB为边画一个面积为6的格点平行四边形；
（3）在图3中，仅用没有刻度的直尺画出线段AB的三等分点（保留作图痕迹）．
【分析】（1）画一个边长分别为3和2的矩形即可；
（2）画一个边长分别为分别为2和3的平行四边形即可；
（3）根据平行线等分线段定理即可得到结论．
【解答】解：（1）矩形ABCD即为所求；
（2）平行四边形ABCD即为所求；
（3）点C、点D即为所求．
20．（8分）如图，A、E、B三点共线，且∠A＝∠CED＝∠B．
（1）若AC＝5，BD＝2，AB＝2，则E是AB的中点；
（2）若CE平分∠ACD，求证：DE是CD、BD的比例中项．
【分析】（1）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和可得∠ACE＝∠BED，证明△ACE∽△BED，对应边成比例，代入值可以求出AE的长，进而可得则E是AB的中点；
（2）结合（1）和CE平分∠ACD，证明△ECD∽△BED，可得＝，所以DE2＝CD•DB，进而可得DE是CD、BD的比例中项．
【解答】（1）解：∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝∠CED+∠BED．∠A＝∠CED．
∴∠ACE＝∠BED，
∴△ACE∽△BED，
∴＝，
AC＝5，BD＝2，BE＝AB﹣AE＝2﹣AE，
∴＝，
解得AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣AE＝，
∴E是AB的中点；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠BED，
∴∠ECD＝∠BED，
∵∠CED＝∠B，
∴△ECD∽△BED，
∴＝，
∴DE2＝CD•DB，
∴DE是CD、BD的比例中项．
21．（10分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条50cm长的绑绳EF，tanα＝，求“人字梯”的顶端离地面的高度（AD）和“人字梯”脚长（AC）．
【分析】根据∠AFE＝α和α的正切求出AG，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；利用勾股定理可得AC的长．
【解答】解：如图，
由题意得，FG＝EF＝25，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝α，
∴＝，即，
解得AG＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
解得AD＝160，
∵，即，
解得DC＝60，
∴AC＝＝20cm．
∴“人字梯”的顶端离地面的高度AD是160cm，脚长AC是20cm．
22．（12分）二次函数y1＝a（x﹣k）2+2k与二次函数y2＝a（x+k）2﹣2k的图象称为友好抛物线．
（1）求证：无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在某一确定的直线上．
（2）若a＝1，k＝2，当﹣2＜x＜2时，请比较y1，y2的大小．
（3）已知a＝1，k＞0，友好抛物线：y1，y2交于点A，且y1，y2与y轴分别交于点B、点C，求的值．
【分析】（1）先求出友好抛物线的顶点，再用待定系数法求函数解析式即可证明；
（2）当a＝1，k＝2时，先求出交点坐标，再根据函数图象比较y1，y2的大小；
（3）当a＝1，k＞0时，先求出友好抛物线的交点横坐标，再求出两条抛物线与y轴的交点纵坐标，用三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵y1＝a（x﹣k）2+2k，
∴y1的顶点为（k，2k），
∵y2＝a（x+k）2﹣2k，
∴y2的顶点为（﹣k，﹣2k），
设过y1，y2顶点的直线为y＝mx+n，
把（k，2k），（﹣k，﹣2k）代入得：
，
解得：，
∴y＝2x，
∴无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在直线y＝2x上；
（2）解：a＝1，k＝2时，y1＝（x﹣2）2+4，y2＝（x+2）2﹣4，
令y1＝y2，则（x﹣2）2+4＝（x+2）2﹣4，
解得：x＝1，
∴y1＝y2＝5，
∴交点坐标为（1，5），
∴当﹣2＜x＜1时，y1＞y2，当1＜x＜2时，y1＜y2；
（3）a＝1，k＞0时，
令y1＝y2，则（x﹣k）2+2k＝（x+k）2﹣2k，
解得：x＝1，
∴xA＝1，
将x＝0代入y1，y2 得，yB＝k2+2k，yC＝k2﹣2k，
|BC|＝yB﹣yC＝4k，
∴S△ABC＝×BC×|xA|＝×4k×1＝2k，
∴＝＝2．
23．（12分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形，如图1、AB是公共边、BC＝BD，∠A＝∠A、则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
（3）如图3，函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与函数y＝x的图象交于点B，请在坐标轴上找一点P，使得△ABO与△ABP是共边偏差三角形，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE＝CD即可；
（2）根据AC是公共边，∠1＝∠2，再证BC＝CD，即可得出结论；
（3）首先根据两直线交点为B，可求出B（1，），当点P在x轴上时，则OB＝BP，根据等腰三角形的性质可知P（2，0），只要在图中找点P'，使得△ABP与△ABP'全等即可．
【解答】（1）解：如图所示即为所求，在AD上取点E，使得CE＝CD即可；
（2）证明：由（1）作法可知CE＝CD，则∠CED＝∠D，
∵∠CED+∠CEA＝180°，且∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠CEA，
又∵∠1＝∠2，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴BC＝CE，
∴BC＝CD，
在△ACB与△ACD中，
，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
（3）解：当x+＝x时，
解得x＝1，
∴y＝，
∴B（1，），
∵△ABO与△ABP是共边偏差三角形，
当点P在x轴上时，
∴OB＝BP，
过点B作BH⊥x轴于H，
则PH＝OH＝1，
∴P（2，0），
∵函数y＝x+的图象与x轴交于点A，
∴A（﹣2，0），
∴tan∠BAH＝，
∴∠BAH＝30°，
∵B（1，），
∴tan∠BOH＝，
∴∠BOH＝60°，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠ABP＝∠ABO+∠OBP＝90°，
∴点P关于点B对称点P'（0，2），
过点A作AP''⊥AB，交直线OB于P''，
则△AOP''是等边三角形，
可知P''（﹣1，﹣），
同理，当P''关于点A的对称点P'''（﹣3，），
综上：点P的坐标为：（2，0）（﹣1，﹣），（0，2）或（﹣3，）．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为．函数y＝﹣x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；
（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度．
【分析】（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G，根据题意求得坐标A，B，继而求出∠DAO＝45°．然后根据点C的坐标求出CG＝OG＝2，故求得∠COG＝45°，∠AOD＝45°后可知∠ODA＝90°，证得CO⊥AB．
（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；
（3）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO＝CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围；
（4）由题意可知点M的运动轨迹是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，得出答案即可．
【解答】解：
（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．如图1
∵易得A（2，0），B（0，2），
∴AO＝BO＝2．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠DAO＝45°．
∵C（﹣2，﹣2），
∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，
∴∠ODA＝90°．
∴OD⊥AB，
即CO⊥AB．
（2）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，如图2
则CK⊥OK．由点C的坐标为（﹣2，﹣2），易得CO＝2．
∴∠POD＝30°，又∠AOD＝45°，
∴∠POA＝75°，
同理可求得∠POA的另一个值为15°．
（3）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
∴，
即MO•PO＝CO•DO．
∵PO＝t，MO＝s，CO＝2，DO＝，
∴st＝4．
但PO过圆心C时，MO＝CO＝2，PO＝DO＝，
即MO•PO＝4，也满足st＝4．
∴s＝，
∵OP最小值为，当直线PO与⊙C相切时，∠POD＝30°，
∴PO＝＝，
∴t的取值范围是：≤t＜；
（4）由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，
可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK＝120°
弧GQK为实际运动路径，弧长＝．
相关试卷
2023年浙江省绍兴市诸暨市新晖联盟中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）： 这是一份2023年浙江省绍兴市诸暨市新晖联盟中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（五）（含解析）： 这是一份2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（五）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省绍兴市诸暨市中考数学模拟试卷（4月份）(含解析）： 这是一份2023年浙江省绍兴市诸暨市中考数学模拟试卷（4月份）(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
