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物理选修34 法拉第电磁感应定律导学案
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这是一份物理选修34 法拉第电磁感应定律导学案，文件包含专题05单双杆模型学生版docx、专题05单双杆模型教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共50页， 欢迎下载使用。
专题5 单双杆模型（教师版）
一、目标要求
目标要求
重、难点
无力单杆（阻尼式）
重点、难点
恒力单杆（发电式）
重点、难点
含容单杆
重点、难点
含源单杆
重点、难点
双杆模型
重点、难点
二、知识点解析
1.无力单杆（阻尼式）
整个回路仅有电阻，导体棒以一定初速度垂直切割磁感线，除安培力外不受其他外力．如图所示．
(1)动力学
根据右手定则确定电流方向，左手定则确定安培力方向，画出受力分析图，这种情况下安培力方向与速度方向相反．
某时刻下导体棒的速度为v，则感应电动势，感应电流，安培力大小．
根据牛顿定律：，可知导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终减速到零．
在的情况下，上式还可写成：；整理得：
由于，，则上式求和可得：
以整个过程为研究过程，则有：
(2)电路
根据法拉第电磁感应定律，整个过程平均感应电动势为；根据闭合电路欧姆定律，整个过程平均电流．则整个过程中通过任一横截面的电荷量.
实际上也可通过牛顿定律求解电荷量：;整理得：
由于，则上式求和可得：;解得
(3)能量
安培力瞬时功率，整个回路某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功等于整个回路产生的热量．从能量守恒的角度出发，即导体棒减少的动能转化成整个回路产生的热量．
2.恒力单杆（发电式）
整个回路仅有电阻，导体棒在恒力F作用下从静止出发垂直切割磁感线．如图所示．
(1)动力学
根据右手定则确定电流方向，左手定则确定安培力方向，画出受力分析图，这种情况下安培力方向与速度方向相反．
某时刻下导体棒的速度为v，则感应电动势，感应电流，安培力大小．
据牛顿定律：
可知导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，当时有最大速度，
(2)电路
这种情况下仍有
或从牛顿定律出发：；整理得：
等式两边同时求和，利用得：
若知道研究过程的位移或时间均能得到通过回路任一横截面的电荷量．
(3)能量
安培力瞬时功率，整个回路某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功仍然等于整个回路产生的热量．从功能关系的角度出发，外力所做的功一部分转化为导体棒的动能，另一部分转化为整个回路产生的热量．
3.含容单杆
电容器、电阻与导体棒通过光滑导轨连成回路，导体棒以一定初速度垂直切割磁感线，除安培力外不受其他外力，如图所示．
当导体棒向右运动时，切割磁感线产生感应电动势，根据右手定则知回路存在逆时针的充电电流，电容器两端电压逐渐增大；而又根据左手定则知导体棒受向左的安培力，因此导体棒做减速运动，又因可知产生的感应电动势逐渐减小，当感应电动势减小至与电容器两端相同时，不再向电容器充电，充电电流为零，导体不受安培力，做匀速直线运动．
(1)动力学
设导体棒做匀速直线运动的速度为v，则根据终态感应电动势与电容器两端电压相等：
又根据牛顿定律：
由于充电电流逐渐减小，故导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，直至匀速．
在的情况下可写作：；整理得：
利用和，等式两边同时求和：
又根据电容器的定义式代入可解得：
(2)能量
从能量守恒的角度出发，导体棒减少的动能一部分转化为回路产生的热量，另一部分以电场能的形式储存在电容器中；这种情况下导体棒克服安培力所做的功并不等于回路产生的热量．
4.含源单杆
电源提供电流，使导体棒受到安培力作用，根据左手定则，导体棒所受安培力向右，因此导体棒在安培力作用下向右做加速运动．导体棒运动时切割磁感线产生感应电动势，根据右手定则，感应电动势产生的感应电流与电源提供电流方向相反，相互抵消．当导体棒速度增大至所产生的感应电动势与电源电动势相等时，回路中没有电流，导体棒不受安培力，做匀速直线运动．
当导体棒速度为v时，回路中电动势应为，回路电流
根据牛顿定律：
可知导体棒向右做加速度减小的加速运动，当时有最大速度，
在的情况下牛顿定律表达式可写作：；整理得：
利用和，等式两边同时求和：
解得整个过程通过任一横截面的电荷量
又根据能量守恒，电源提供的电能转化为导体棒的动能和回路产生的热量：
解得整个过程回路产生的热量
5.等距双杆模型
光滑导轨上两根金属棒连成闭合回路，不受其他外力，且初始时刻其中一根金属棒处于静止状态．如图所示．
两金属棒所处的区域磁感应强度不相同，设导轨无限长，金属棒不会脱离原先所处的磁场区域．
当L1向右切割磁感线时，产生感应电动势和感应电流，感应电流使L2受安培力作用而运动，也切割磁感线产生感应电动势和感应电流，根据右手定则，L1和L2产生的感应电流方向相反，相互抵消．当两金属棒产生感应电动势相等时，回路无电流，金属棒做匀速直线运动．
(1)动力学
设某时刻L1的速度为v1，L2的速度为v2，则回路的电动势为，产生的感应电流为.
根据牛顿定律，对L1：，对L2：
由于L1做减速运动而L2做加速运动，因此电动势E逐渐减小，I逐渐减小，因此L1和L2的加速度也逐渐减小，最终减小到零，此时L1速度达到最小，而L2速度达到最大：
在在的情况下可将牛顿运动定律的表达式写作：，
利用和，等式两边同时求和：，
联立即可求解最终的速度vm1和vm2以及整个过程通过回路的电荷量q．
特殊地，当两侧导轨宽度相同，即，且所处区域磁感应强度相同，即时有：
，
(2)能量
根据能量守恒定律，金属棒L1减少的动能一部分转化为L2的动能，另一部分转化为整个回路产生的热量，即：
6.不等距双杆模型
光滑导轨上两长度相同的金属棒组成闭合回路，整个区域磁感应强度不变，初始时刻两棒静止，L1受恒定外力F的作用．如图所示．
L1受外力作用向右运动切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，感应电流使L2受安培力作用而运动，也切割磁感线产生感应电动势和感应电流，两金属棒产生的感应电流方向相反，相互抵消．由于整体受一个恒定外力，因此系统不可能达到平衡状态．
(1)动力学
设某时刻L1的速度为v1，L2的速度为v2，则回路的电动势为，产生的感应电流为:
根据牛顿运动定律，对L1：；对L2：
由于最开始安培力较小，因此
则L1的速度增量Δv1大于L2的速度增量Δv2，故逐渐增大，则感应电动势和感应电流也逐渐增大，两棒所受安培力也逐渐增大，因此L1做加速度逐渐减小的加速运动，L2做加速度逐渐增大的加速运动，最终当时，达到最大，回路中电动势和感应电流保持不变，安培力保持不变，L1和L2一起向右做匀加速直线运动．
因此有，
解得共同加速度为，此时回路中电流，对应速度差值．
(2)能量
根据能量守恒定律，外力所做的功一部分转化为两棒增加的动能，另一部分转化为回路产生的热量．
三、考查方向
题型1：无力单杆（阻尼式）
典例一：（2020•海淀区校级模拟）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻均可忽略不计。在和之间接有阻值为的定值电阻，导体杆电阻为并与导轨接触良好。整个装置处于磁感应强度为、方向竖直向上的匀强磁场中。现给杆一个瞬时冲量，使它获得水平向右的初速度．下列图象中，关于杆的速度、通过电阻中的电流、电阻的电功率、通过的磁通量随时间变化的规律，可能正确的是
A． B． C． D．
题型2：恒力单杆（发电式）
典例二：（2009•福建•多选）如图所示，固定放置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为，其右端接有阻值为的电阻，整个装置处在竖直向上的磁感应强度大小为的匀强磁场中。一质量为（质量分布均匀）的导体杆垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为．现杆在水平向左、垂直于杆的恒力作用下从静止开始沿导轨运动距离时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为，导轨电阻不计，重力加速度大小为。则此过程
A．杆的速度最大值为
B．流过电阻的电荷量为
C．恒力做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
D．恒力做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量
题型3：含容单杆
典例三：（2019•赣榆区校级三模）如图所示，两光滑平行金属导轨间距为，直导线垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为．电容器的电容为，除电阻外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线一初速度，使导线向右运动，当电路稳定后，以速度向右做匀速运动时
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为
C．电容器所带电荷量为
D．为保持匀速运动，需对其施加的拉力大小为
题型4：含源单杆
典例四：（2020春•市中区校级期中•多选）如图，水平固定放置的足够长的光滑平行导轨，电阻不计，间距为，左端连接的电源电动势为，内阻为，质量为的金属杆垂直静止放在导轨上，金属杆处于导轨间部分的电阻为，整个装置处在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场中，闭合开关，金属杆沿导轨运动直至达到最大速度过程中，则下列说法正确的是
A．金属杆做匀加速直线运动
B．此过程中通过金属杆的电荷量为
C．此过程中电源提供的电能为
D．此过程中金属杆产生的热量为
题型5：等距双杆模型
典例五：（2019•新课标Ⅲ•多选）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒、静止在导轨上。时，棒..以初速度向右滑动。运动过程中，、始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用、表示，回路中的电流用表示。下列图象中可能正确的是
A． B． C．D．
题型6：不等距双杆模型
典例六：（2015•赣州二模•多选）如图所示，虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，下方存在竖直向下的匀强磁场，两处磁场磁感应强度大小均为．足够长的不等间距金属导轨竖直放置，导轨电阻不计。两根金属棒通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，其中光滑金属棒质量为，长为，电阻为；金属棒质量为、长为、电阻为，与导轨之间的动摩擦因数为．若棒在外力的作用下向上做匀速运动，棒向下做匀速运动，下列说法正确的是
A．棒中电流方向从到 B．棒匀速运动的速度
C．时间内棒上的焦耳热为 D．杆所受拉力
四、模拟训练
一、基础练习
1.如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻均可忽略不计。在和之间接有阻值为的定值电阻，导体杆质量为、电阻为，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中。现给杆一个初速度，使杆向右运动。
（1）当杆刚好具有初速度时，求此时杆两端的电压，、端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻的电流随时间变化规律的图象。
2.许多电磁现象可以用力的观点来分析，也可以用动量、能量等观点来分析和解释．
（1）如图1所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为，一端连接阻值为的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为．质量为、电阻为的导体棒放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好．在平行于导轨、大小为的水平恒力作用下，导体棒从静止开始沿导轨向右运动．
．当导体棒运动的速度为时，求其加速度的大小；
．已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为，求这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量．
（2）在如图2所示的闭合电路中，设电源的电动势为，内阻为，外电阻为，其余电阻不计，电路中的电流为．请你根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律证明：．
3.如图所示，在磁感应强度为的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑的平行金属导轨，导轨足够长，导轨平面与磁场垂直，导轨间距为，顶端接有阻值为的电阻．将一根金属棒从导轨上的处由静止释放．已知棒的长度为，质量为，电阻为．金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻．重力加速度为．
（1）分析金属棒的运动情况，并求出运动过程的最大速度和整个电路产生的最大电热功率
（2）若导体棒下落时间为时，其速度为，求其下落高度．
4.如图1所示，固定于水平面的形导线框处于竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为，左端接一电动势为、内阻不计的电源。一质量为、电阻为的导体棒垂直导线框放置并接触良好。闭合开关，导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻，平行轨道足够长。请分析说明导体棒的运动情况，在图2中画出速度随时间变化的示意图；并推导证明导体棒达到的最大速度为；
5.（2019春•石景山区期末）如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻均可忽略不计．在和之间接有阻值为的定值电阻，导体杆质量为、电阻为，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中．现给杆一个初速度，使杆向右运动．
（1）当杆刚好具有初速度时，求此时杆两端的电压，、两端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻的电流随时间变化规律的图象；
（3）若将和之间的电阻改为接一电容为的电容器，如图3所示．同样给杆一个初速度，使杆向右运动．请分析说明杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为．
6.（2019•天津一模）如图所示，在磁感应强度为的匀强磁场中，竖直放置两根平行金属导轨（电阻不计），磁场方向垂直于导轨所在平面向里，导轨上端接一阻值为的电阻。两金属棒和的电阻均为，质量分别为和，它们与导轨接触良好并可沿导轨无摩擦滑动。闭合开关，先固定，用一恒力向上拉，稳定后以的速度匀速运动，此时再释放，恰好保持静止，设导轨足够长，取，求：
（1）拉力的大小；
（2）若将金属棒固定，让金属棒自由滑下（开关仍闭合），求滑行的最大速度；
（3）若断开开关，将金属棒和都固定，使磁感应强度大小经由随时间均匀增加到时，棒受到的安培力正好等于棒的重力，求两金属棒间的距离。
7.（2018•天津二模）虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在竖直向上的匀强磁场，两处磁场磁感应强度大小均为，足够长的不等间距金属导轨竖直放置，导轨电阻不计。两根金属棒水平地靠在金属导轨上，其中金属棒光滑且质量为，长为，电阻为，金属棒质量为、长为、电阻为，与导轨之间的动摩擦因数为．若棒在拉力的作用下沿导轨由静止向上做加速度为的匀加速直线运动，同时由静止释放棒，如图所示。已知运动过程中棒与导轨接触良好，重力加速度为，求：
（1）棒哪端电势高，两端的电压的大小随时间变化的规律；
（2）作用在金属棒上的拉力需要满足的条件；
（3）棒下滑达到最大速度所需时间
二、提升练习
1.（2020•新课标Ⅰ•多选）如图，形光滑金属框置于水平绝缘平台上，和边平行，和边垂直。、足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒置于金属框上，用水平恒力向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，与金属框保持良好接触，且与边保持平行。经过一段时间后
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框边的距离趋于恒定值
2.（2016•新课标Ⅱ）如图，水平面（纸面）内间距为的平行金属导轨间接一电阻，质量为、长度为的金属杆置于导轨上时，金属杆在水平向右、大小为的恒定拉力作用下由静止开始运动，时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为．重力加速度大小为。求：
（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
（2）电阻的阻值。
3.（2014•江苏） 如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为，长为，导轨平面与水平面的夹角为，在导轨的中部刷有一段长为的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向与导轨平面垂直，质量为的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为，其他部分的电阻均不计，重力加速度为，求：
（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数；
（2）导体棒匀速运动的速度大小；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热。
4.（2018•江苏）如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为，间距为。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向与导轨平面垂直。质量为的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为。求下滑到底端的过程中，金属棒
（1）末速度的大小；
（2）通过的电流大小；
（3）通过的电荷量。
5.（2019•海南）如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨间距为；两根相同的导体棒、置于导轨上并与导轨垂直，长度均为；棒与导轨间的动摩擦因数为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向竖直向下。从时开始，对棒施加一外力，使棒从静止开始向右做匀加速运动，直到时刻撤去外力，此时棒中的感应电流为；已知棒在时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒的质量均为，电阻均为，导轨的电阻不计。重力加速度大小为。
（1）求棒做匀加速运动的加速度大小；
（2）求撤去外力时棒的速度大小；
（3）撤去外力后，棒在时刻静止，求此时棒的速度大小。
典例一
【答案】：B
【解析】：、杆获得水平向右的初速度后切割磁感线，产生感应电流，受到水平向左的安培力而做减速运动，根据安培力的表达式，知安培力随着速度的减小而减小，加速度也减小，图象的斜率逐渐减小，因此图象应曲线，故错误。
、根据知随着的减小而减小，图象切线的斜率减小，则图象切线的斜率也减小，故正确。
、根据知，减小，也减小，故错误。
、根据知，杆向右运动时，磁通量不断增大，故错误。
故选：。
典例二
【答案】：BD
【解析】：、设杆的速度最大值为，此时杆所受的安培力为，而且杆受力平衡，则有，解得，．故错误。
、流过电阻的电荷量为．故正确。
、根据动能定理得：恒力做的功、摩擦力做的功、安培力做的功之和等于杆动能的变化量，而摩擦力做负功，安培力也做负功，则知恒力做的功与摩擦力做的功之和大于杆动能的变化量，恒力做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量。故错误，正确。故选：。
典例三
【答案】：C
【解析】：、当导线匀速向右运动时，导线所受的合力为零，说明导线不受安培力，电路中电流为零，故电阻两端没有电压。此时导线产生的感应电动势恒定，根据闭合电路欧姆定律得知，电容器两板间的电压为．故错误。
、电容器两板间的电压为，则电容器所带电荷量，故正确；
、因匀速运动后所受合力为0，而此时无电流，不受安培力，则无需拉力便可做匀速运动，故错误。
故选：。
典例四
【答案】：BC
【解析】：、金属杆向右运动时切割磁感应线产生的感应电流与通电电流方向相反，随着速度增大，感应电流增大，则金属杆中的实际电流减小、安培力减小，金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速运动，故错误；
、金属杆速度最大时，产生的感应电动势为，根据，最大速度为，
从开始到速度最大的过程中，以向右为正方向，对金属杆根据动量定理，有：△，
其中：△，联立解得此过程中通过金属杆的电荷量为，故正确；
、此过程中电源提供的电能为：，故正确；
、金属杆最后的动能为：，根据能量守恒定律，系统产生的焦耳热为：，
此过程中金属杆产生的热量为：，故错误；
故选：。
典例五
【答案】：AC
【解析】：、金属棒滑动过程中，系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可得：，则，所以的速度逐渐减小， 的速度逐渐增大，相对速度越来越小，最后为零，则安培力逐渐减小、加速度逐渐减小到零，故正确、错误；
、设两根导体棒的总电阻为，由于，二者的速度之差越来越小，最后速度之差为0，则感应电流越来越小，最后为零，故正确、错误。
故选：。
典例六
【答案】：BD
【解析】：、根据右手定则可知，棒中电流方向由到，故错误；
、令棒的速度为，则电路中的电流，对于棒的匀速运动有：，联立上式可解得，故正确；
、棒上的焦耳热．故错误。
、由棒匀速上升，故有，，，联立可得，故正确；
故选：。
五、模拟训练
一、基础练习
1.【答案】：（1）此时杆两端的电压是，端电势高。
（2）如图所示。
【解析】：（1）杆切割磁感线产生的感应电动势为：
根据全电路欧姆定律有：；杆两端电压即路端电压为：；联立解得：
根据右手定则判断知，杆中感应电流方向由到，则端电势较高；
（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻的电流随时间变化规律的图象如图所示：
2.【答案】：（1）．当导体棒运动的速度为时，加速度为；
．已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为，这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量为．
（2）根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律可证：．
【解析】：（1）．当导体棒运动的速度为时，电路中的感应电动势为：①
电流为：②，导体棒所受的安培力为③
根据牛顿第二定律可得：④，联立①②③④式可得：⑤
．设导体棒运动稳定的速度为，令⑤式中的，，可得：⑥
设某段极短的时间△内，电路的电流为，则安培力在这段时间内的冲量为△，在时间内，根据动量定理有：△⑦；其中，⑧；联立⑥⑦⑧式可得：
（2）根据电动势的定义有：⑨，在时间内通过电路的电荷量为：⑩
根据能量守恒定律，非静电力做的功应该等于内外电路产生焦耳热的总和．
即：；在时间内：
联立⑨⑩式可得：；整理后可得：
3.【答案】：（1）金属棒的运动情况是先做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动．运动过程的最大速度为，．整个电路产生的最大电热功率是．
（2）其下落高度为．
【解析】：（1）金属棒向下运动切割磁感线，产生感应电流，受到向上的安培力，开始阶段，感应电流较小，金属棒所受的安培力较小，合力向下，随着速度的增大，感应电流增大，安培力增大，合力减小，则金属棒的加速度减小，金属棒做加速度减小的变加速运动；当安培力和重力相等时，金属棒做匀速运动．
由法拉第电磁感应定律；由闭合电路欧姆定律
由安培力表达式；联立得，当时，速度达到最大，则得
速度达到最大时，感应电动势达到最大，感应电流达到最大，电路消耗的电功率达到最大；则得；解得
（2）金属棒从开始下落到速度达到的过程中，由动量定理得
将整个运动过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为△．则安培力的冲量△△△△△△；下落高度△△△；解得：
4.【答案】：见解析
【解析】：闭合开关后，线框与导体棒组成的回路中产生电流，导体棒受到安培力开始加速运动，假设某一时刻的速度为，此时导体棒切割产生的感应电动势为
初始阶段，；回路中的电流为
导体棒受到的安培力为，方向水平向右
因此，导体棒的加速度为，方向水平向右，即与方向相同
随速度的增加，减速度减小，但仍与同方向，因此，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动
达到最大速度时，加速度，解得解得
图象为：
5.【答案】：（1）当杆刚好具有初速度时，此时杆两端的电压为，端电势高；
（2）通过电阻的电流随时间变化规律的图象如图所示；
（3）杆先做加速度减小的减速运动，最后匀速运动，稳定后的速度为，证明见解析．
【解析】：（1）杆切割磁感线产生感应电动势为：
根据全电路欧姆定律有：
杆两端电压即路端电压为：
联立解得：，根据右手定则可得端电势高；
（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻的电流随时间变化规律的图象如图所示：
（3）分析：当杆以初速度开始切割磁感线时，产生感应电动势，电路开始给电容器充电，有电流通过杆，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，杆做加速度减小的减速运动．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动．
推导证明：当电容器两端电压与感应电动势相等时有
根据电容器电容
以杆为研究对象，在很短的一段时间△内，杆受到的冲量大小为△
从杆开始运动至速度达到稳定的过程，根据动量定理：△
联立可得．
6.【答案】：（1）拉力的大小为；
（2）滑行的最大速度为；
（3）两金属棒间的距离为。
【解析】：（1）棒匀速运动，根据平衡条件得：，棒静止，根据平衡条件得：，
且：，代入数据解得：；
（2）当棒以的速度匀速运动时，棒的电流：，棒恰好保持静止，有：，
又：，当棒静止棒下滑至匀速时，有：，
由平衡条件得：，代入数据解得：；
（3）由法拉第电磁感应定律得：，感应电流：，由题意可知：，
联立解得：，代入数据解得：；
7.【答案】：（1）两端的电压的大小随时间变化的规律为：；
（2）作用在金属棒上的拉力；
（3）棒下滑达到最大速度所需时间。
【解析】：（1）根据右手定则可知，棒中电流方向由指向，故点的电势高；由闭合电路欧姆定律得：，再由法拉第电磁感应定律得：，由速度公式的：，而两端的电压是外电压，即：，联立以上公式可解得：。
（2）对金属棒进行受力分析，运用牛顿第二定律可列方程：，把已知条件代入，解得：。
（3）由于棒中电流方向由指向充当电源，棒是外电路，电流方向由指向，根据左手定则可知，棒所受的安培力方向垂直纸面向里，当棒的下滑速度达到最大时，根据力的平衡条件可得：，又因为，代入可解得：。
二、提升练习
1.【答案】：BC
【解析】：、当金属框在恒力作用下向右加速时，边产生从向的感应电流，线框的加速度为，对线框，由牛顿第二定律得：，导体棒中感应电流从向，在感应电流安培力作用下向右加速，加速度为，对导体棒，由牛顿第二定律得：，当线框和导体棒都运动后，线框速度为，速度为，感应电流为：，感应电流从0开始增大，则从零开始增加，从开始减小，加速度差值为：，感应电流从零增加，则加速度差值减小，当差值为零时，，故有：，联立解得：，此后金属框与的速度差维持不变，感应电流不变，受到的安培力不变，加速度不变，图象如图所示：
故错误；正确；
、与金属框的速度差不变，但的速度小于金属框速，到金属框边的距离越来越大，故错误。故选：。
2.【答案】：（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小为；
（2）电阻的阻值为。
【解析】：（1）根据牛顿第二定律：① 刚进磁场时的速度：②
感应电动势为：③ 解得：④
（2）根据右手定则，导体棒中的电流向上，由左手定则知安培力水平向左
匀速运动受力平衡：⑤
回路电流为：⑥ 得：⑦
3.【答案】：（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数为；
（2）导体棒匀速运的速度大小为；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热为。
【解析】：（1）在绝缘涂层上，导体棒做匀速直线运动，受力平衡，如图所示，则有：
，解得：
（2）导体棒在光滑导轨上滑动时：感应电动势为：，感应电流为：，安培力为：
联立得：，受力平衡，有：，解得：
（3）导体棒在滑上涂层滑动时摩擦生热为：
整个运动过程中，根据能量守恒定律得：
解得：。
4.【答案】：（1）末速度的大小是；
（2）通过的电流大小是；
（3）通过的电荷量是。
【解析】：（1）金属棒沿导轨做匀加速运动，则有；解得
（2）金属棒受到的安培力大小
金属棒所受的合力
根据牛顿第二定律得
联立解得
（3）金属棒运动时间；通过金属棒的电荷量
结合，，解得
5.【答案】：（1）棒做匀加速运动的加速度大小是；
（2）撤去外力时棒的速度大小是；
（3）此时棒的速度大小是。
【解析】：（1）当棒开始刚运动时，设棒中电流为．则有：；得：
设此时棒的速度为．则有：；得：
故棒做匀加速运动的加速度大小为：
（2）设撤去外力时棒的速度大小为，棒的速度大小为．则有：。
根据欧姆定律得：；联立解得：
（3）设棒在时刻静止时棒的速度大小为．对两棒整体，安培力的冲量为0，由动量定理得：
；联立解得：
专题5 单双杆模型（教师版）
一、目标要求
目标要求
重、难点
无力单杆（阻尼式）
重点、难点
恒力单杆（发电式）
重点、难点
含容单杆
重点、难点
含源单杆
重点、难点
双杆模型
重点、难点
二、知识点解析
1.无力单杆（阻尼式）
整个回路仅有电阻，导体棒以一定初速度垂直切割磁感线，除安培力外不受其他外力．如图所示．
(1)动力学
根据右手定则确定电流方向，左手定则确定安培力方向，画出受力分析图，这种情况下安培力方向与速度方向相反．
某时刻下导体棒的速度为v，则感应电动势，感应电流，安培力大小．
根据牛顿定律：，可知导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终减速到零．
在的情况下，上式还可写成：；整理得：
由于，，则上式求和可得：
以整个过程为研究过程，则有：
(2)电路
根据法拉第电磁感应定律，整个过程平均感应电动势为；根据闭合电路欧姆定律，整个过程平均电流．则整个过程中通过任一横截面的电荷量.
实际上也可通过牛顿定律求解电荷量：;整理得：
由于，则上式求和可得：;解得
(3)能量
安培力瞬时功率，整个回路某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功等于整个回路产生的热量．从能量守恒的角度出发，即导体棒减少的动能转化成整个回路产生的热量．
2.恒力单杆（发电式）
整个回路仅有电阻，导体棒在恒力F作用下从静止出发垂直切割磁感线．如图所示．
(1)动力学
根据右手定则确定电流方向，左手定则确定安培力方向，画出受力分析图，这种情况下安培力方向与速度方向相反．
某时刻下导体棒的速度为v，则感应电动势，感应电流，安培力大小．
据牛顿定律：
可知导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，当时有最大速度，
(2)电路
这种情况下仍有
或从牛顿定律出发：；整理得：
等式两边同时求和，利用得：
若知道研究过程的位移或时间均能得到通过回路任一横截面的电荷量．
(3)能量
安培力瞬时功率，整个回路某时刻的热功率，因此克服安培力所做的功仍然等于整个回路产生的热量．从功能关系的角度出发，外力所做的功一部分转化为导体棒的动能，另一部分转化为整个回路产生的热量．
3.含容单杆
电容器、电阻与导体棒通过光滑导轨连成回路，导体棒以一定初速度垂直切割磁感线，除安培力外不受其他外力，如图所示．
当导体棒向右运动时，切割磁感线产生感应电动势，根据右手定则知回路存在逆时针的充电电流，电容器两端电压逐渐增大；而又根据左手定则知导体棒受向左的安培力，因此导体棒做减速运动，又因可知产生的感应电动势逐渐减小，当感应电动势减小至与电容器两端相同时，不再向电容器充电，充电电流为零，导体不受安培力，做匀速直线运动．
(1)动力学
设导体棒做匀速直线运动的速度为v，则根据终态感应电动势与电容器两端电压相等：
又根据牛顿定律：
由于充电电流逐渐减小，故导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，直至匀速．
在的情况下可写作：；整理得：
利用和，等式两边同时求和：
又根据电容器的定义式代入可解得：
(2)能量
从能量守恒的角度出发，导体棒减少的动能一部分转化为回路产生的热量，另一部分以电场能的形式储存在电容器中；这种情况下导体棒克服安培力所做的功并不等于回路产生的热量．
4.含源单杆
电源提供电流，使导体棒受到安培力作用，根据左手定则，导体棒所受安培力向右，因此导体棒在安培力作用下向右做加速运动．导体棒运动时切割磁感线产生感应电动势，根据右手定则，感应电动势产生的感应电流与电源提供电流方向相反，相互抵消．当导体棒速度增大至所产生的感应电动势与电源电动势相等时，回路中没有电流，导体棒不受安培力，做匀速直线运动．
当导体棒速度为v时，回路中电动势应为，回路电流
根据牛顿定律：
可知导体棒向右做加速度减小的加速运动，当时有最大速度，
在的情况下牛顿定律表达式可写作：；整理得：
利用和，等式两边同时求和：
解得整个过程通过任一横截面的电荷量
又根据能量守恒，电源提供的电能转化为导体棒的动能和回路产生的热量：
解得整个过程回路产生的热量
5.等距双杆模型
光滑导轨上两根金属棒连成闭合回路，不受其他外力，且初始时刻其中一根金属棒处于静止状态．如图所示．
两金属棒所处的区域磁感应强度不相同，设导轨无限长，金属棒不会脱离原先所处的磁场区域．
当L1向右切割磁感线时，产生感应电动势和感应电流，感应电流使L2受安培力作用而运动，也切割磁感线产生感应电动势和感应电流，根据右手定则，L1和L2产生的感应电流方向相反，相互抵消．当两金属棒产生感应电动势相等时，回路无电流，金属棒做匀速直线运动．
(1)动力学
设某时刻L1的速度为v1，L2的速度为v2，则回路的电动势为，产生的感应电流为.
根据牛顿定律，对L1：，对L2：
由于L1做减速运动而L2做加速运动，因此电动势E逐渐减小，I逐渐减小，因此L1和L2的加速度也逐渐减小，最终减小到零，此时L1速度达到最小，而L2速度达到最大：
在在的情况下可将牛顿运动定律的表达式写作：，
利用和，等式两边同时求和：，
联立即可求解最终的速度vm1和vm2以及整个过程通过回路的电荷量q．
特殊地，当两侧导轨宽度相同，即，且所处区域磁感应强度相同，即时有：
，
(2)能量
根据能量守恒定律，金属棒L1减少的动能一部分转化为L2的动能，另一部分转化为整个回路产生的热量，即：
6.不等距双杆模型
光滑导轨上两长度相同的金属棒组成闭合回路，整个区域磁感应强度不变，初始时刻两棒静止，L1受恒定外力F的作用．如图所示．
L1受外力作用向右运动切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，感应电流使L2受安培力作用而运动，也切割磁感线产生感应电动势和感应电流，两金属棒产生的感应电流方向相反，相互抵消．由于整体受一个恒定外力，因此系统不可能达到平衡状态．
(1)动力学
设某时刻L1的速度为v1，L2的速度为v2，则回路的电动势为，产生的感应电流为:
根据牛顿运动定律，对L1：；对L2：
由于最开始安培力较小，因此
则L1的速度增量Δv1大于L2的速度增量Δv2，故逐渐增大，则感应电动势和感应电流也逐渐增大，两棒所受安培力也逐渐增大，因此L1做加速度逐渐减小的加速运动，L2做加速度逐渐增大的加速运动，最终当时，达到最大，回路中电动势和感应电流保持不变，安培力保持不变，L1和L2一起向右做匀加速直线运动．
因此有，
解得共同加速度为，此时回路中电流，对应速度差值．
(2)能量
根据能量守恒定律，外力所做的功一部分转化为两棒增加的动能，另一部分转化为回路产生的热量．
三、考查方向
题型1：无力单杆（阻尼式）
典例一：（2020•海淀区校级模拟）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻均可忽略不计。在和之间接有阻值为的定值电阻，导体杆电阻为并与导轨接触良好。整个装置处于磁感应强度为、方向竖直向上的匀强磁场中。现给杆一个瞬时冲量，使它获得水平向右的初速度．下列图象中，关于杆的速度、通过电阻中的电流、电阻的电功率、通过的磁通量随时间变化的规律，可能正确的是
A． B． C． D．
题型2：恒力单杆（发电式）
典例二：（2009•福建•多选）如图所示，固定放置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为，其右端接有阻值为的电阻，整个装置处在竖直向上的磁感应强度大小为的匀强磁场中。一质量为（质量分布均匀）的导体杆垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为．现杆在水平向左、垂直于杆的恒力作用下从静止开始沿导轨运动距离时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为，导轨电阻不计，重力加速度大小为。则此过程
A．杆的速度最大值为
B．流过电阻的电荷量为
C．恒力做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
D．恒力做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量
题型3：含容单杆
典例三：（2019•赣榆区校级三模）如图所示，两光滑平行金属导轨间距为，直导线垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为．电容器的电容为，除电阻外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线一初速度，使导线向右运动，当电路稳定后，以速度向右做匀速运动时
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为
C．电容器所带电荷量为
D．为保持匀速运动，需对其施加的拉力大小为
题型4：含源单杆
典例四：（2020春•市中区校级期中•多选）如图，水平固定放置的足够长的光滑平行导轨，电阻不计，间距为，左端连接的电源电动势为，内阻为，质量为的金属杆垂直静止放在导轨上，金属杆处于导轨间部分的电阻为，整个装置处在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场中，闭合开关，金属杆沿导轨运动直至达到最大速度过程中，则下列说法正确的是
A．金属杆做匀加速直线运动
B．此过程中通过金属杆的电荷量为
C．此过程中电源提供的电能为
D．此过程中金属杆产生的热量为
题型5：等距双杆模型
典例五：（2019•新课标Ⅲ•多选）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒、静止在导轨上。时，棒..以初速度向右滑动。运动过程中，、始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用、表示，回路中的电流用表示。下列图象中可能正确的是
A． B． C．D．
题型6：不等距双杆模型
典例六：（2015•赣州二模•多选）如图所示，虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，下方存在竖直向下的匀强磁场，两处磁场磁感应强度大小均为．足够长的不等间距金属导轨竖直放置，导轨电阻不计。两根金属棒通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，其中光滑金属棒质量为，长为，电阻为；金属棒质量为、长为、电阻为，与导轨之间的动摩擦因数为．若棒在外力的作用下向上做匀速运动，棒向下做匀速运动，下列说法正确的是
A．棒中电流方向从到 B．棒匀速运动的速度
C．时间内棒上的焦耳热为 D．杆所受拉力
四、模拟训练
一、基础练习
1.如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻均可忽略不计。在和之间接有阻值为的定值电阻，导体杆质量为、电阻为，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中。现给杆一个初速度，使杆向右运动。
（1）当杆刚好具有初速度时，求此时杆两端的电压，、端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻的电流随时间变化规律的图象。
2.许多电磁现象可以用力的观点来分析，也可以用动量、能量等观点来分析和解释．
（1）如图1所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为，一端连接阻值为的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为．质量为、电阻为的导体棒放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好．在平行于导轨、大小为的水平恒力作用下，导体棒从静止开始沿导轨向右运动．
．当导体棒运动的速度为时，求其加速度的大小；
．已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为，求这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量．
（2）在如图2所示的闭合电路中，设电源的电动势为，内阻为，外电阻为，其余电阻不计，电路中的电流为．请你根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律证明：．
3.如图所示，在磁感应强度为的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑的平行金属导轨，导轨足够长，导轨平面与磁场垂直，导轨间距为，顶端接有阻值为的电阻．将一根金属棒从导轨上的处由静止释放．已知棒的长度为，质量为，电阻为．金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻．重力加速度为．
（1）分析金属棒的运动情况，并求出运动过程的最大速度和整个电路产生的最大电热功率
（2）若导体棒下落时间为时，其速度为，求其下落高度．
4.如图1所示，固定于水平面的形导线框处于竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为，左端接一电动势为、内阻不计的电源。一质量为、电阻为的导体棒垂直导线框放置并接触良好。闭合开关，导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻，平行轨道足够长。请分析说明导体棒的运动情况，在图2中画出速度随时间变化的示意图；并推导证明导体棒达到的最大速度为；
5.（2019春•石景山区期末）如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻均可忽略不计．在和之间接有阻值为的定值电阻，导体杆质量为、电阻为，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中．现给杆一个初速度，使杆向右运动．
（1）当杆刚好具有初速度时，求此时杆两端的电压，、两端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻的电流随时间变化规律的图象；
（3）若将和之间的电阻改为接一电容为的电容器，如图3所示．同样给杆一个初速度，使杆向右运动．请分析说明杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为．
6.（2019•天津一模）如图所示，在磁感应强度为的匀强磁场中，竖直放置两根平行金属导轨（电阻不计），磁场方向垂直于导轨所在平面向里，导轨上端接一阻值为的电阻。两金属棒和的电阻均为，质量分别为和，它们与导轨接触良好并可沿导轨无摩擦滑动。闭合开关，先固定，用一恒力向上拉，稳定后以的速度匀速运动，此时再释放，恰好保持静止，设导轨足够长，取，求：
（1）拉力的大小；
（2）若将金属棒固定，让金属棒自由滑下（开关仍闭合），求滑行的最大速度；
（3）若断开开关，将金属棒和都固定，使磁感应强度大小经由随时间均匀增加到时，棒受到的安培力正好等于棒的重力，求两金属棒间的距离。
7.（2018•天津二模）虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在竖直向上的匀强磁场，两处磁场磁感应强度大小均为，足够长的不等间距金属导轨竖直放置，导轨电阻不计。两根金属棒水平地靠在金属导轨上，其中金属棒光滑且质量为，长为，电阻为，金属棒质量为、长为、电阻为，与导轨之间的动摩擦因数为．若棒在拉力的作用下沿导轨由静止向上做加速度为的匀加速直线运动，同时由静止释放棒，如图所示。已知运动过程中棒与导轨接触良好，重力加速度为，求：
（1）棒哪端电势高，两端的电压的大小随时间变化的规律；
（2）作用在金属棒上的拉力需要满足的条件；
（3）棒下滑达到最大速度所需时间
二、提升练习
1.（2020•新课标Ⅰ•多选）如图，形光滑金属框置于水平绝缘平台上，和边平行，和边垂直。、足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒置于金属框上，用水平恒力向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，与金属框保持良好接触，且与边保持平行。经过一段时间后
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框边的距离趋于恒定值
2.（2016•新课标Ⅱ）如图，水平面（纸面）内间距为的平行金属导轨间接一电阻，质量为、长度为的金属杆置于导轨上时，金属杆在水平向右、大小为的恒定拉力作用下由静止开始运动，时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为．重力加速度大小为。求：
（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
（2）电阻的阻值。
3.（2014•江苏） 如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为，长为，导轨平面与水平面的夹角为，在导轨的中部刷有一段长为的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向与导轨平面垂直，质量为的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为，其他部分的电阻均不计，重力加速度为，求：
（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数；
（2）导体棒匀速运动的速度大小；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热。
4.（2018•江苏）如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为，间距为。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向与导轨平面垂直。质量为的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为。求下滑到底端的过程中，金属棒
（1）末速度的大小；
（2）通过的电流大小；
（3）通过的电荷量。
5.（2019•海南）如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨间距为；两根相同的导体棒、置于导轨上并与导轨垂直，长度均为；棒与导轨间的动摩擦因数为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向竖直向下。从时开始，对棒施加一外力，使棒从静止开始向右做匀加速运动，直到时刻撤去外力，此时棒中的感应电流为；已知棒在时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒的质量均为，电阻均为，导轨的电阻不计。重力加速度大小为。
（1）求棒做匀加速运动的加速度大小；
（2）求撤去外力时棒的速度大小；
（3）撤去外力后，棒在时刻静止，求此时棒的速度大小。
典例一
【答案】：B
【解析】：、杆获得水平向右的初速度后切割磁感线，产生感应电流，受到水平向左的安培力而做减速运动，根据安培力的表达式，知安培力随着速度的减小而减小，加速度也减小，图象的斜率逐渐减小，因此图象应曲线，故错误。
、根据知随着的减小而减小，图象切线的斜率减小，则图象切线的斜率也减小，故正确。
、根据知，减小，也减小，故错误。
、根据知，杆向右运动时，磁通量不断增大，故错误。
故选：。
典例二
【答案】：BD
【解析】：、设杆的速度最大值为，此时杆所受的安培力为，而且杆受力平衡，则有，解得，．故错误。
、流过电阻的电荷量为．故正确。
、根据动能定理得：恒力做的功、摩擦力做的功、安培力做的功之和等于杆动能的变化量，而摩擦力做负功，安培力也做负功，则知恒力做的功与摩擦力做的功之和大于杆动能的变化量，恒力做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量。故错误，正确。故选：。
典例三
【答案】：C
【解析】：、当导线匀速向右运动时，导线所受的合力为零，说明导线不受安培力，电路中电流为零，故电阻两端没有电压。此时导线产生的感应电动势恒定，根据闭合电路欧姆定律得知，电容器两板间的电压为．故错误。
、电容器两板间的电压为，则电容器所带电荷量，故正确；
、因匀速运动后所受合力为0，而此时无电流，不受安培力，则无需拉力便可做匀速运动，故错误。
故选：。
典例四
【答案】：BC
【解析】：、金属杆向右运动时切割磁感应线产生的感应电流与通电电流方向相反，随着速度增大，感应电流增大，则金属杆中的实际电流减小、安培力减小，金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速运动，故错误；
、金属杆速度最大时，产生的感应电动势为，根据，最大速度为，
从开始到速度最大的过程中，以向右为正方向，对金属杆根据动量定理，有：△，
其中：△，联立解得此过程中通过金属杆的电荷量为，故正确；
、此过程中电源提供的电能为：，故正确；
、金属杆最后的动能为：，根据能量守恒定律，系统产生的焦耳热为：，
此过程中金属杆产生的热量为：，故错误；
故选：。
典例五
【答案】：AC
【解析】：、金属棒滑动过程中，系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可得：，则，所以的速度逐渐减小， 的速度逐渐增大，相对速度越来越小，最后为零，则安培力逐渐减小、加速度逐渐减小到零，故正确、错误；
、设两根导体棒的总电阻为，由于，二者的速度之差越来越小，最后速度之差为0，则感应电流越来越小，最后为零，故正确、错误。
故选：。
典例六
【答案】：BD
【解析】：、根据右手定则可知，棒中电流方向由到，故错误；
、令棒的速度为，则电路中的电流，对于棒的匀速运动有：，联立上式可解得，故正确；
、棒上的焦耳热．故错误。
、由棒匀速上升，故有，，，联立可得，故正确；
故选：。
五、模拟训练
一、基础练习
1.【答案】：（1）此时杆两端的电压是，端电势高。
（2）如图所示。
【解析】：（1）杆切割磁感线产生的感应电动势为：
根据全电路欧姆定律有：；杆两端电压即路端电压为：；联立解得：
根据右手定则判断知，杆中感应电流方向由到，则端电势较高；
（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻的电流随时间变化规律的图象如图所示：
2.【答案】：（1）．当导体棒运动的速度为时，加速度为；
．已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为，这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量为．
（2）根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律可证：．
【解析】：（1）．当导体棒运动的速度为时，电路中的感应电动势为：①
电流为：②，导体棒所受的安培力为③
根据牛顿第二定律可得：④，联立①②③④式可得：⑤
．设导体棒运动稳定的速度为，令⑤式中的，，可得：⑥
设某段极短的时间△内，电路的电流为，则安培力在这段时间内的冲量为△，在时间内，根据动量定理有：△⑦；其中，⑧；联立⑥⑦⑧式可得：
（2）根据电动势的定义有：⑨，在时间内通过电路的电荷量为：⑩
根据能量守恒定律，非静电力做的功应该等于内外电路产生焦耳热的总和．
即：；在时间内：
联立⑨⑩式可得：；整理后可得：
3.【答案】：（1）金属棒的运动情况是先做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动．运动过程的最大速度为，．整个电路产生的最大电热功率是．
（2）其下落高度为．
【解析】：（1）金属棒向下运动切割磁感线，产生感应电流，受到向上的安培力，开始阶段，感应电流较小，金属棒所受的安培力较小，合力向下，随着速度的增大，感应电流增大，安培力增大，合力减小，则金属棒的加速度减小，金属棒做加速度减小的变加速运动；当安培力和重力相等时，金属棒做匀速运动．
由法拉第电磁感应定律；由闭合电路欧姆定律
由安培力表达式；联立得，当时，速度达到最大，则得
速度达到最大时，感应电动势达到最大，感应电流达到最大，电路消耗的电功率达到最大；则得；解得
（2）金属棒从开始下落到速度达到的过程中，由动量定理得
将整个运动过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为△．则安培力的冲量△△△△△△；下落高度△△△；解得：
4.【答案】：见解析
【解析】：闭合开关后，线框与导体棒组成的回路中产生电流，导体棒受到安培力开始加速运动，假设某一时刻的速度为，此时导体棒切割产生的感应电动势为
初始阶段，；回路中的电流为
导体棒受到的安培力为，方向水平向右
因此，导体棒的加速度为，方向水平向右，即与方向相同
随速度的增加，减速度减小，但仍与同方向，因此，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动
达到最大速度时，加速度，解得解得
图象为：
5.【答案】：（1）当杆刚好具有初速度时，此时杆两端的电压为，端电势高；
（2）通过电阻的电流随时间变化规律的图象如图所示；
（3）杆先做加速度减小的减速运动，最后匀速运动，稳定后的速度为，证明见解析．
【解析】：（1）杆切割磁感线产生感应电动势为：
根据全电路欧姆定律有：
杆两端电压即路端电压为：
联立解得：，根据右手定则可得端电势高；
（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻的电流随时间变化规律的图象如图所示：
（3）分析：当杆以初速度开始切割磁感线时，产生感应电动势，电路开始给电容器充电，有电流通过杆，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，杆做加速度减小的减速运动．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动．
推导证明：当电容器两端电压与感应电动势相等时有
根据电容器电容
以杆为研究对象，在很短的一段时间△内，杆受到的冲量大小为△
从杆开始运动至速度达到稳定的过程，根据动量定理：△
联立可得．
6.【答案】：（1）拉力的大小为；
（2）滑行的最大速度为；
（3）两金属棒间的距离为。
【解析】：（1）棒匀速运动，根据平衡条件得：，棒静止，根据平衡条件得：，
且：，代入数据解得：；
（2）当棒以的速度匀速运动时，棒的电流：，棒恰好保持静止，有：，
又：，当棒静止棒下滑至匀速时，有：，
由平衡条件得：，代入数据解得：；
（3）由法拉第电磁感应定律得：，感应电流：，由题意可知：，
联立解得：，代入数据解得：；
7.【答案】：（1）两端的电压的大小随时间变化的规律为：；
（2）作用在金属棒上的拉力；
（3）棒下滑达到最大速度所需时间。
【解析】：（1）根据右手定则可知，棒中电流方向由指向，故点的电势高；由闭合电路欧姆定律得：，再由法拉第电磁感应定律得：，由速度公式的：，而两端的电压是外电压，即：，联立以上公式可解得：。
（2）对金属棒进行受力分析，运用牛顿第二定律可列方程：，把已知条件代入，解得：。
（3）由于棒中电流方向由指向充当电源，棒是外电路，电流方向由指向，根据左手定则可知，棒所受的安培力方向垂直纸面向里，当棒的下滑速度达到最大时，根据力的平衡条件可得：，又因为，代入可解得：。
二、提升练习
1.【答案】：BC
【解析】：、当金属框在恒力作用下向右加速时，边产生从向的感应电流，线框的加速度为，对线框，由牛顿第二定律得：，导体棒中感应电流从向，在感应电流安培力作用下向右加速，加速度为，对导体棒，由牛顿第二定律得：，当线框和导体棒都运动后，线框速度为，速度为，感应电流为：，感应电流从0开始增大，则从零开始增加，从开始减小，加速度差值为：，感应电流从零增加，则加速度差值减小，当差值为零时，，故有：，联立解得：，此后金属框与的速度差维持不变，感应电流不变，受到的安培力不变，加速度不变，图象如图所示：
故错误；正确；
、与金属框的速度差不变，但的速度小于金属框速，到金属框边的距离越来越大，故错误。故选：。
2.【答案】：（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小为；
（2）电阻的阻值为。
【解析】：（1）根据牛顿第二定律：① 刚进磁场时的速度：②
感应电动势为：③ 解得：④
（2）根据右手定则，导体棒中的电流向上，由左手定则知安培力水平向左
匀速运动受力平衡：⑤
回路电流为：⑥ 得：⑦
3.【答案】：（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数为；
（2）导体棒匀速运的速度大小为；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热为。
【解析】：（1）在绝缘涂层上，导体棒做匀速直线运动，受力平衡，如图所示，则有：
，解得：
（2）导体棒在光滑导轨上滑动时：感应电动势为：，感应电流为：，安培力为：
联立得：，受力平衡，有：，解得：
（3）导体棒在滑上涂层滑动时摩擦生热为：
整个运动过程中，根据能量守恒定律得：
解得：。
4.【答案】：（1）末速度的大小是；
（2）通过的电流大小是；
（3）通过的电荷量是。
【解析】：（1）金属棒沿导轨做匀加速运动，则有；解得
（2）金属棒受到的安培力大小
金属棒所受的合力
根据牛顿第二定律得
联立解得
（3）金属棒运动时间；通过金属棒的电荷量
结合，，解得
5.【答案】：（1）棒做匀加速运动的加速度大小是；
（2）撤去外力时棒的速度大小是；
（3）此时棒的速度大小是。
【解析】：（1）当棒开始刚运动时，设棒中电流为．则有：；得：
设此时棒的速度为．则有：；得：
故棒做匀加速运动的加速度大小为：
（2）设撤去外力时棒的速度大小为，棒的速度大小为．则有：。
根据欧姆定律得：；联立解得：
（3）设棒在时刻静止时棒的速度大小为．对两棒整体，安培力的冲量为0，由动量定理得：
；联立解得：
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