江苏省扬州市广陵区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案）

2021～2022学年第一学期九年级数学期中试卷

                       （满分：150分   考试时间：120分钟）             2021.11.18

友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．方程的解为

A．x＝2          B．x1＝，x2＝0   C．x＝0       D．x1＝2，x2＝0

2．下列一元二次方程中，有实数根的是

A．x2－x＋1＝0    B．x2－2x+3＝0　　  C．x2+x－1＝0    D．x2＋4＝0

3．以下各组数据中，众数、中位数、平均数都相等的是

A．4，9，3，3  B．12，9，9，6   C．9，9，4，4   D．8，8，4，5

4．小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差

A．不变       B．增大        C．减小      D．无法确定

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的度数等于

A．30°            B．40°              C．50°           D．60°

6．已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是

A．1.5cm          B．3cm              C．4cm           D．6cm

7．已知，则的值为

   A．－5或1           B．5或－1          C．5              D．1

8. 已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：

将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…．在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是

1. 1.4            B.  1.1              C.  0.8             D.  0.5

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9. 将一元二次方程(2x-1)(x+1)=1化成一般形式ax2+bx+c=0为  ▲  .

10. 某招聘考试分笔试和面试两轮，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是  ▲  分．

11. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于  ▲  ．

12. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为   ▲   .

13．如图，在一幅长80cm、宽50 cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则宽x需满足的方程是  ▲  .（方程可以不化简）

14. 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是  ▲  ．

15．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D＝  ▲  °．

16．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．

连接AC，则∠A=   ▲   °．

17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是  ▲  ．

18. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为     ▲    ．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本题满分8分）解方程：

（1）；           

（2）．

20.（本题满分8分）判断关于x的一元二次方程的根的个数．

21.（本题满分8分）如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图，墙长9 m），面积是30 m2．求生物园的长和宽．

22.（本题满分8分）如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．

23.（本题满分10分）某中学开展歌咏比赛，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，复赛成绩（满分为100分）如图所示.

（1）根据图示填写下表：

（2）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩稳定.

24.（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

25.（本题满分10分）阅读下面的例题：解方程x2－∣x∣－2=0．

解：当x≥0时，原方程化为x2－x－2=0，解得：x1=2，x2=－1（不合题意，舍去）；

当x＜0时，原方程化为x2+ x－2=0，解得：x1=1，（不合题意，舍去）x2=－2；

∴原方程的根是x1=2，x2=－2．

请参照例题解方程x2－∣x－1∣－1=0.

26.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE ．

   （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC=BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．

27.（本题满分12分）

问题探究：

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由；
（2）请在图②的正方形ABCD内（含正方形ABCD的边），画出使∠APB＝60°的所有

的点P，并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等、面积最大的△APB和△CP'D钢板，且∠APB＝∠CP'D＝60°．请你在图③中画出符合要求的点和P和P'．
     

28．（本题12分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：

AB＋AC＝2AD＋2BD．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：

解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB＝AE＋BE，

同理可得：AC＝AE＋CE，AD＝AE＋DE，

为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，

∴AB＋AC＝AE＋BE＋AE＋CE＝……

（1）请你完成小明剩余的证明过程；

理解运用：

（2） ① 在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝  ▲  ；

② 如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为  ▲  ；

拓展延伸：

（3）小明解决上述问题后，联想下题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A(−3，4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．

       请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

2021～2022学年第一学期九年级数学期中试卷

参考答案及评分建议

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9．2x2+x-2=0   10．    11．   12．   13．

14．   15．     16．    17．      18．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．(1) 解：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，         …………………………………………2分

（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，

所以x1=2，x2=5；                …………………………………………4分

 (2) 解：移项配方，得，，    ………………………2分

∴，∴．    ………………………4分

20．解：                          …………………………………2分

                                …………………………………6分

        所以方程有两个不相等的实数根．         …………………………………8分

21．解：设宽为x m，则长为 m．     …………………………………………1分

由题意，得 ，           …………………………………………3分

解得 ，．                    …………………………………………5分

当，舍去   …………………………………………6分

当．      …………………………………………7分

答：围成矩形的长为6 m、宽为5m．        …………………………………………8分

22. 解：连结OA、OB。∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点

 ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠，   ∠APO＝∠APB＝300…………………2分

在Rt△PAO中，OA＝PO＝2，∴PB =AP＝…………………4分

∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠

∴∠AOB＝1200，∴…………………6分

∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋＝＝cm…8分

23．（1）九（1）平均数85，众数85，九（2）中位数80  ………………………………6分

   （2）                                     ………………………………8分

九（1）班的方差小，成绩更稳定些.           ………………………………10分

24．解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，……2分

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；   ……5分

（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，    ……7分

∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；          ……10分

25．解：当x－1≥0即 x≥1时，原方程化为x2－（x－1）－1=0   即x2－x=0，…………2分
          解得x1=0，x2=1, ∵x≥1，∴x=1；        …………………………………………4分
          当x－1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x－1）－1=0   即x2+x－2=0，………6分
          解得x1=－2，x2=1 ∵x＜1，∴x=－2,     …………………………………………8分

       ∴原方程的根为x1=1，x2=－2          …………………………………………10分

26．解：（1）如图，连接OD、CD．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，……1分

∵AC为⊙O的直径，∴∠CDB＝90°．

∵E为BC的中点，∴DE＝CE，∴∠ECD＝∠EDC，        …………3分

∴∠OCD＋∠ECD＝∠ODC＋∠EDC＝90°，

∴∠ODE=∠ACB=90°，     …………4分

即OD⊥DE，又∵D在圆O上

∴DE与圆O相切．   …………………5分

（2）若AC=BC，四边形ODEC为正方形．……6分

理由： ∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A＝45°．

∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝45°．

∴∠COD＝∠A+∠ODA＝90°．     …………………8分

∵四边形ODEC中，∠COD＝∠ODE=∠ACB=90°，且OC＝OD 

∴四边形ODEC为正方形．        …………………10分

27. 解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°.

∴点P为所求                       …………………………………………4分

（2）如图②，画法如下：

①以AB为边在正方形内作等边△ABP；

②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F。   ………………………6分

∵在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°,

∴弧EF上的所有点均为所求的点P     …………………………………………8分

（3）如图③，画法如下：①连接AC；

②以AB为边作等边△ABE；

③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；

④在AC上截取AP′＝CP。则点P、P′为所求             ………………………12分

（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）

28．解：（1）证明（略）…………4分

（2）…………6分

            4    …………8分

（3）10  …………12分