广东省深圳市光明区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份广东省深圳市光明区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了已知，则的值为，矩形具有而菱形不具有的性质是，如图，△OAB∽△OCD，OA等内容，欢迎下载使用。
光明区2021-2022学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． 已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．

2． 如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）





A
B
C
D

3． 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对角分别相等

4． 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．6

5． 已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大 D．该图象关于原点成中心对称

6． 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）

7． 近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）2＝3600
C．2500（1+x%）＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600

8． 如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝

9． 如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1
B．x＜﹣2
C．0＜x＜1
D．﹣2＜x＜0或x＞1


10．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，点M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DE＝DF；②∠CME＝∠CDE；③DG2＝GN·GE；④若BF＝2，则MC＝；正确的结论有（　　）个
A．4
B．3
C．2
D．1


二．填空题（每题3分，共15分）
11．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的一个根是﹣2，则另一个根是________．

12．已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的面积为________．

13．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为________m．




14．如图，在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，点C为斜边BD的中点，点P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝________．






15．如图，直线y＝2x与双曲线y＝（x＞0）交于点A，将直线y＝2x向右平移3个单位后，与双曲线y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若BC＝OA，则k的值为________．





三．解答题（共55分）
16．（10分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0；
（2）计算：(﹣)﹣2－(3.14﹣π)0﹣2tan60°+|1－2|．





17．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．
（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是________；
（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．


18．（7分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）









19．（7分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF．
（1）求证：四边形AOBF是矩形；
（2）若AD＝5，sin∠AFO＝，求AC的长．









20．（7分）某商店销售一款进价为80元的童装，每件售价为120元时，每天可售出20件．为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件．
（1）每件童装售价定为多少元时，该商店每天销售这款童装的总利润为1200元？
（2）该商店每天销售这款童装的总利润能达到1300元吗？若能，求出此时的售价，若不能，请说明理由．









21．（9分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．
（1）当BE＝EF时．
①求证：FH＝AE；
②当△DEF的面积是时，求线段DE的长；
（2）如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，线段FH长为________．









22．（9分）在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，点G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，点H为线段EF的中点，连接DG，HG，请问∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，线段BG长度的最大值为________．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知，则的值为（　　）
A．2.5 B． C． D．
【解答】解：∵，
∴b＝a，
∴＝＝．
故选：B．
2．如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，
故选：D．
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．6
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：C．
5．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
【解答】解：A．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入y＝﹣得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
【解答】解：点A为（4，2），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，
则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故选：D．
7．近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）2＝3600
C．2500（1+x%）＝3600
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
【解答】解：依题意得：2500（1+x）2＝3600．
故选：B．
8．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
9．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DE＝DF；②∠CME＝∠CDE；③DG2＝GN•GE；④若BF＝2，则MC＝；正确的结论有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，故①正确；
∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠DEF＝45°，
连接BM、DM．
∵M是EF的中点，
∴MD＝EF，BM＝EF，
∴MD＝MB，
在△DCM与△BCM中，，
∴△DCM≌△BCM（SSS），
∴∠BCM＝∠DCM＝BCD＝45°，
∴∠MCN＝∠DEN＝45°，
∵∠CNM＝∠END，
∴∠CME＝∠CDE，故②正确；
∵∠GDN＝∠DEG＝45°，∠DGN＝∠EGD，
∴△DGN∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝GN•GE；故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴CM＝MH＝故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：A．

二．填空题（共5小题）
11．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的一个根是﹣2，则另一个根是　﹣1　．
【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的两个根，
则x1+x2＝﹣（k+3），x1•x2＝2，
∴﹣2x2＝2，
解得，x2＝﹣1．
∴﹣2﹣1＝﹣（k+3），
∴k＝0，
即方程的另一个根是﹣1，k＝0．
故答案为﹣1．
12．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的面积为　120　．
【解答】解：如图，BD＝10，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13；
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×10×24＝120．
故答案为：120．

13．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为　　m．

【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
故答案为．
14．如图，在Rt△ABD中，AB＝6，tan∠ADB＝，点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝　　．

【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠ADB＝＝，
∴AD＝×6＝8，
∴BD＝＝10，
∴sinD＝＝，
∵点C为斜边BD的中点，
∴AC＝BC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
在Rt△APE中，sin∠EAP＝＝，
∴PE＝AP，
在Rt△DPF中，sin∠D＝＝，
∴PF＝PD，
∴PE+PF＝（AP+PD）＝AD＝×8＝．
故答案为．
15．如图，直线y＝2x与双曲线y＝（x＞0）交于点A，将直线y＝2x向右平移3个单位后，与双曲线y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若BC＝OA，则k的值为　8　．

【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵直线y＝2x向右平移3个单位得到直线BC，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝2x+b，
把B（3，0）代入得6+b＝0，解得b＝﹣6，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
设A（m，2m），B（n，2n﹣6），
∵OA∥BC，
∴∠AOD＝∠BCE，
∴Rt△AOD∽Rt△BCE，
∴＝＝2，即m＝2（n﹣3），
∴A（2n﹣6，4n﹣12）
∵点A（2n﹣6，4n﹣12），点B（n，2n﹣6）在y＝的图象上，
∴k＝（2n﹣6）（4n﹣12）＝n（2n﹣6），解得n1＝3（舍去），n2＝4，
∴k＝4×（8﹣6）＝8．
故答案为8．

三．解答题（共7小题）
16．解答】解：（1）分解因式得：（x﹣6）（x+1）＝0，
可得x﹣6＝0或x+1＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣1；
（2）原式＝2．
17．2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．
（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是　　；
（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．

【解答】解：（1）小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，
∴小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率为．
18．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，
AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝5+26﹣28
＝5﹣2
≈6.7（米）＜7米，
∴符合要求，
答：该公司的广告牌符合要求．

19．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF．
（1）求证：四边形AOBF是矩形；
（2）若AD＝5，sin∠AFO＝，求AC的长．

【解答】解：（1）证明：∵点E为AB的中点，EF＝EO，
∴四边形AOBF是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形；
（2）∵四边形AOBF是矩形，
∴AB＝OF，∠FAO＝90°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝5，
∴OF＝5，
在Rt△AFO中，OF＝5，
∵sin∠AFO＝，
∴OA＝3，
∴AC＝6．
20．【解答】解：（1）设每件童装降价x元，依题意得：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵为了增加利润，减少库存，
∴x＝20．
答：每件童装售价为60元时，每天盈利1200元．
（2）该专卖店每天盈利不能等于1300元，理由如下：
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1300，
整理得：x2﹣30x+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程没有实数根，
即该专卖店每天盈利不能等于1300元．
21．在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．
（1）当BE＝EF时．
①求证：FH＝AE；
②当△DEF的面积是时，求线段DE的长；
（2）如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．

【解答】解：（1）①∵FH⊥AE，
∴∠FEH+∠HFE＝90°，
∵矩形BEFG，
∴∠FEH+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠HFE，
在△FHE与△EAB中，
，
∴△FHE≌△EAB（AAS），
∴FH＝AE；
②∵△FHE≌△EAB，
∴AE＝FH，
∵AD＝6，
设DE＝x，AE＝6﹣x，
∵△DEF的面积＝，
可得：，
解得：，
即线段DE的长为或；
（2）∵FH⊥AE，
∴∠FEH+∠HFE＝90°，
∵矩形BEFG，
∴∠FEH+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠HFE，
∴△FHE∽△EAB，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∴HE＝2，
延长FE交DC于点Q，

∵Q是CD的中点，
∴DQ＝，
设FH为x，则AE＝x，
则DE＝6﹣x，
∵∠DEQ＝∠FEH，∠FHE＝∠QDE＝90°，
∴△EDQ∽△EHF，
∴，
即，
解得：，，
∴线段FH长为+1或﹣1．
22．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．

【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．

∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴BC＝AB＝12，BD＝CD＝6，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝DC＝6，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF
∵∠DAH＝∠FAH＝45°，
∴EH＝HF，
∵AE：DE＝2：1，
∴AE＝4，DE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EG＝CG，EH＝FH，
∴GH＝CF＝．

（2）结论：∠DGH＝90°是定值．

理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠AJB＝∠CJO，
∴∠COJ＝∠BAJ＝90°，
∴CF⊥BE，
∵EH＝HF，EG＝GC，
∴GH∥CF，
∵CD＝DB，CG＝GE，
∴DG∥BE，
∴DG⊥GH，
∴∠DGH＝90°．

（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．

由题意AJ＝JC＝3，AB＝6，
∵∠BAJ＝90°，
∴BJ＝＝＝3，
∵AJ＝JC，EG＝CG，
∴JG＝AE＝2，
∵BG≤BJ+JG，
∴BG≤3+2，
∴BG的最大值为3+2．