湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用教案

2.5 一元二次方程的应用

第1课时 一元二次方程的应用（1）

教学目标

【知识与技能】

使学生会用列一元二次方程的方法解应用题.

【过程与方法】

让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.

【情感态度】

在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力.

【教学重点】

建立一元二次方程模型解决一些代数问题.

【教学难点】

把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题.

教学过程

一、情景导入，初步认知

列方程解应用问题的步骤是什么？

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答

【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.

二、思考探究，获取新知

1.某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40％，计划后年的使用率达到90％，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假设该省每年产生的秸秆总量不变）

分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：

今年的使用率×（1+年平均增长率）2=后年的使用率

解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：

40％（1+x）2=90％

解得：x1=50％,x2=-2.5

根据题意可知：x=50％

答：这两年秸秆使用率的年增长率为50％.

2.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.

分析：问题中涉及的等量关系是：

原价×（1-平均每次降价的百分率）2=现在的售价

解：设平均每次降价的百分率x，则根据等量关系，可列出方程：

100（1-x)2=81

解得：x1=10％,x2=1.9

根据题意可知：x=10％

答：平均每次降价的百分率为10％.

3.“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？

【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.

【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P50例2.

2.一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得.

【答案】 121（1-x）2=100

3.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？

分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

解：设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1+x）2=2880

解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）

故答案为：20%．

4.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？

解：设每年经营总收入的年增长率为a.

列方程，600÷40%×(1+a)2=2160

解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)

∴每年经营总收入的年增长率为0.2

则2013年预计经营总收入为：

600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800

答：2013年预计经营总收入为1800万元.

5.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润.

（1）写出x与y之间的关系式；

（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？

解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000.

（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000.

整理，得x2-40x+300=0.

解得x1=10,x2=30.

所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）.

当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）.

6.“国运兴衰，系于教育”图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．

(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出趋势；

(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元，增加到2004年7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？

解：（1）上升或增长．

（2）设平均每年增长率为x．依题意，

5500（1+x）2=7920

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．

答：这两年的教育经费平均年增长率为20%．

【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

课后作业

布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.

教学反思

《一元二次方程的应用——增长率及利润问题》与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容.

本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果.