数学2.2 圆心角、圆周角教案

圆周角和圆心角的关系

教学目标

(一)教学知识点

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角定理的证明．

(二)能力训练要求

经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．

(三)情感与价值观要求

通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．

教学重点

圆周角概念及圆周角定理．

教学难点

认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．

教学方法

指导探索法．

教具准备

投影片两张

第一张：射门游戏(记作§3．3．1A)

第二张：补充练习1(记作§3．3．1B)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．

[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．

[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？

Ⅱ．讲授新课

1．圆周角的概念

[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片3．3．1A)

[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？

[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)

圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．

[师]请同学们考虑两个问题：

(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？

(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？

请同学们画图回答上述问题．

[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：

(1)角的顶点在圆上；

(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．

2．补充练习1(出示投影片§3．3．1B)

答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．

3．研究圆周角和圆心角的关系．

[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？

我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？

[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角．观察所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？

[生] 所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．

[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．

[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．

[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角一边经过圆心．

由下图可知，显然∠ABC＝∠AOC，结论成立．

(学生口述，教师板书)

如上图，已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．

求证：∠ABC＝AOC．

证明：∠AOC是△ABO的外角，

∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO．

∴∠AOC＝2∠ABO．

即∠ABC＝∠AOC．

[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)

[生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．

由刚才的结论可知：

∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，

∴∠ABD＋∠CBD＝(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．

[生乙]在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．

由前面的结果，有

∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．

∴∠ABD－∠CBD＝(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．

[师]还会有其他情况吗？请思考．

[生]不会有．

[师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？

[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

[师]这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？

[生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……

[师]好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．

4．课本P103，随堂练习1、2

Ⅲ．课时小结

[师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？

[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

[师]这节课我们学会了什么定理？是如何进行探索的？

[生]我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法．对定理进行了研究和证明．

[师]好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用．

注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．

(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．

Ⅳ．课后作业

习题3．4

Ⅴ．活动与探究

同学们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角，因为一条弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半，而圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角．如下图中，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧和的度数有什么关系？类似地可定义圆内角及其度量．

(1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号)：________；

(2)证明你的结论．

[过程]让学生通过思考讨论，想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系起来，借助圆周角把∠DPB的度数转化成它所夹的两段弧和的度数差的一半．

[结果](1)圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半．

(2)证明：连结BC．

∵∠DCB＝∠DPB＋∠ABC，

∴∠DPB＝∠DCB－∠ABC．

而∠DCB＝的度数．

∠ABC＝的度数．

∴∠DPB＝(的度数－的度数)．

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