初中数学湘教版九年级下册第2章 圆2.1 圆的对称性教案设计

  3．1．1 圆的对称性（第二课时）

教学内容

1．圆心角、弧的有关定义．   

2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

    3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

    在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

    教学目标

    了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．

    通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．

    重难点、关键

    1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

    2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．

教学过程

Ⅰ．知识回顾，引入新课

 昨天我们学了圆的哪些知识？

Ⅱ．讲授新课

下面，我们在昨天的基础上来认识一下弧、圆心角这些与圆有关的概念．

圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．

如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”

注意：

1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧用三个大写字母表示⌒ACD(记作)，劣弧用两个大写字母表示AD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆也用三个大写字母表示．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

2．认识 圆心角：观察教室内的石英钟的时针、分针、秒针所成的角度的特点。

3、圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？

[生]大小一样．

[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？

[生]重合．

[师]通过旋转的方法我们知道：圆是旋转对称图形．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

 [师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以和重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇．

[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？

[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

下面，我们一起来看一看命题的证明．

教师板书

如上图所示，已知：⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇．

求证：，AB＝A＇B＇．

证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，

∴半径OB与O＇B＇重合．

∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，

∴与重合，弦AB与弦A＇B＇重合．

∴，AB＝A＇B＇．

于是得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

（用因为、所以的几何语言来表达）

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．

[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．

[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，

下面我们共同想一想．

[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)

[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．

[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．

[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？

[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

（用因为、所以的几何语言来表达）

注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．

例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．

4、回顾：

问：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

    （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

    （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

    （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

    （2）AM=BM，即直径CD平分弦AB．

    这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分这条弦．

   还有什么相等？

垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧

（用因为、所以的几何语言来表达）

5、证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．

符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．

Ⅲ．课时小结

[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)

Ⅳ．课后作业