专题9不等式（组）及应用（共38题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

这是一份专题9不等式（组）及应用（共38题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·山东临沂市·中考真题）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵a＞b，则
①当a=0时，，故错误；
②当a＜0，b＜0时，，故错误；
③若，则，即，故错误；
④若，则，则，故正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化．
2．（2021·湖南衡阳市·中考真题）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择．
【详解】
解不等式x+1＜0，得x＜-1，
解不等式，得，
所以这个不等式组的解集为，在数轴上表示如选项A所示，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键．
3．（2021·山东临沂市·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来．
【详解】
解：解不等式，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：，
表示在数轴上如图：
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（2021·四川遂宁市·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可．
【详解】
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，准确在数轴上表示解集．
5．（2021·重庆中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】
解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有A选项符合；
故选A．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等．
6．（2021·重庆中考真题）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在数轴上即可．
【详解】
解：不等式在数轴上表示为：
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．
7．（2021·浙江金华市·中考真题）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
逐项解不等式，选择符合题意的一项．
【详解】
图中数轴表示的解集是x<2．
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，主要是要细心．
8．（2021·四川南充市·中考真题）满足的最大整数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
逐项分析，求出满足题意的最大整数即可．
【详解】
A选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项，，满足的最大整数，故该选项符合题意，
D选项，，不满足，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．
9．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．
【答案】C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
10．（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．8C．12D．15
【答案】B
【分析】
先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得
整理得，
则

分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，
，且是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5,

故选：．
【点睛】
本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
11．（2021·浙江中考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以3即可求解．
【详解】
解：，
移项、合并同类项得：，
不等号两边同时除以3，得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
12．（2021·浙江丽水市·中考真题）若，两边都除以，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】
解：，
两边都除以，得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．（2021·湖南邵阳市·中考真题）不等式组的整数解的和为（ ）
A．1B．0C．-1D．-2
【答案】A
【分析】
先求出不等式组的解集，再从中找出整数求和即可.
【详解】
，
解①得
，
解②得
x≤1,
∴,
∴整数解有：0，1，
∴0+1=1.
故选A.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
14．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】
解：,
两边同时乘以（)，
,
,
由于该分式方程的解为正数，
∴，其中;
∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，
由①得：;
由②得：;
∴，
∴
综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；
∴它们的和为；
故选B．
【点睛】
本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．
15．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知点在直线上，且（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【详解】
解：点在直线上，
，
将上式代入中，
得：，
解得：，
由，得：，
（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
16．（2021·上海中考真题）不等式的解集是_______．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可求解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
17．（2021·甘肃武威市·中考真题）关于的不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】
先去分母，再移项，最后把未知数的系数化“”，即可得到不等式的解集．
【详解】
解：
去分母得：＞
移项得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解题的关键．
18．（2021·浙江温州市·中考真题）不等式组的解为______．
【答案】
【分析】
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【详解】
解：，
由①得，x＜7；
由②得，x≥；
根据小大大小中间找的原则，不等式组的解集为．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（2021·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．
【答案】2
【分析】
根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得：，
∴整数m的值为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
20．（2021·浙江丽水市·中考真题）要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【分析】
根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】
解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，．
【点睛】
本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
21．（2021·四川眉山市·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】
解：解不等式，
得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
22．（2021·陕西中考真题）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）
【答案】<
【分析】
先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．
【详解】
解：∵
∴
即
∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大
∵1<3
∴<
故答案为：<．
【点睛】
本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．
23．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】
解：
解①得，
解②得，
不等式组的解集是．
∵不等式组只有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则,
∴
故答案是：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
24．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
【答案】．
【分析】
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
三、解答题
25．（2021·陕西中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】
根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．
【详解】
解：，
由，得；
由，得；
∴原不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
26．（2021·四川成都市·中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）原式第一项利用二次根式的化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）原式＝2+1-
＝2；
（2），
由①得：x＞2.5，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握零指数幂、三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及不等式的性质．
27．（2021·浙江宁波市·中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到，再解出②，得到，由大小小大中间取得到解集．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
28．（2021·山东泰安市·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；；（2）
【分析】
（1）先根据分式混合运算法则化简，然后代入条件求值即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可．
【详解】
解：（1）原式
当时，
原式；
（2）
．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式等，掌握相应的运算法则，注意分母有理化是解题关键．
29．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）解不等式．
【答案】
【分析】
不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行变形，注意：移项要变号．
30．（2021·安徽）解不等式：．
【答案】
【分析】
利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
【详解】
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练运用一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
31．（2021·四川乐山市·中考真题）当取何正整数时，代数式与的值的差大于1
【答案】1，2，3，4
【分析】
根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到的取值范围；结合为正整数，通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：，
解得：
∵为正整数，
∴为1，2，3，4时，代数式与的值的差大于1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．
32．（2021·江苏连云港市·中考真题）解不等式组：．
【答案】x2
【分析】
按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．
【详解】
解：解不等式3x﹣1x+1，得：x1，
解不等式x+44x﹣2，得：x2，
∴不等式组的解集为x2．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法”是解答本题的关键.
33．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）每个足球60元，每个篮球90元；（2）最多购进篮球116个
【分析】
（1）设一个足球的单价x元，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，则一个篮球的单价为（2x-30）元，根据“用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍”列方程求解即可；
（2）设买篮球m个，则买足球（200-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过15500元建立不等式求出解即可．
【详解】
解：（1）设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元，
根据题意得：，
解得x=60，
经检验x=60是方程的根且符合题意，
2x-30=90，
答：每个足球60元，每个篮球90元．
（2）设设买篮球m个，则买足球（200-m）个，
由题意得：，
解得．
∵ m为正整数，∴ 最多购进篮球116个．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
34．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】
解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
35．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【答案】（1）38吨；（2）3个
【分析】
（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活垃圾920吨列出方程求解即可；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【点睛】
本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键．
36．（2021·江苏扬州市·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）
【分析】
（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．
【详解】
解：（1）=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲=，
y乙=，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y甲-y乙=
=，
当x==18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y乙-y甲=
=，
∵对称轴为直线x==18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为=，
对称轴为直线x=，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
37．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1）种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）购进种消毒液67瓶，购进种23瓶，最少费用为676元
【分析】
（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】
解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．
由题意得：，解之得，，
答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．
（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．
则，
∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．
又，∴．
由于是整数，最大值为67，
即当时，最省钱，最少费用为元．
此时，．
最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．
【点睛】
本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
38．（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【分析】
（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案；
（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】
（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，
∴，
解得：，
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．
（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，
∵需甲、乙两种奖品共60件，
∴购买乙种奖品为（60-m）件，
∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，
∴w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，
∴m≥（60-m），
∴20≤m≤60，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），
∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．