初中数学华师大版九年级上册3.公式法同步测试题

22.2.3 公式法

（难点练）

一、单选题

1．（2021·湖北中考真题）如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．

【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，

∴，

∴直线OA的解析式为，

∵，

∴设直线CD的解析式为，

则，

设点B关于直线的对称点，

则①，

且，

即，解得，

代入①可得，

故选：A．

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．

2．若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为(　　)

A．-2 B．-2,3 C．, D．,

【答案】D

【分析】根据题目所给的运算方法，列出一元二次方程，解方程求解即可.

【详解】∵a*b=(a+1)2-ab,，

∴(x+2)*5=(x+2+1)2-5(x+2)= x2+x-1，

 ∵(x+2)*5=0，

 ∴x2+x-1=0，

解得x1=,x2=.

故选D.

【点睛】本题是阅读理解题，根据新运算的规则列出方程是解答此题的关键．

二、填空题

3．如图，两个顶点，在反比例函数图象上，若点P是第一象限内双曲线上一点，且，则P点的坐标为________．

【答案】，或

【分析】先求出，再讨论点在点上方与下方两种情况求解．

【详解】解：设所在直线为，将，代入得：

，解得，

．

当时，，

直线与轴交点为．

，

．

，

反比例函数解析式为，

设点横坐标为，则纵坐标为，即点坐标为．

①当点在点上方时，作平行于轴交于点，

将代入得，

点坐标为，

，

解得或（舍）．

，

点坐标为，．

②延长交双曲线与点，右对称性可知为中点，

，

，

点坐标为．

故答案为：，或．

【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握三角形的水平宽与铅锤高求面积的方法．

4．（2021·福建九年级二模）正方形的顶点在直线上，顶点，在双曲线上，若正方形的面积为32，则的值为______．

【答案】

【分析】如图，连接BD，利用正方形的性质求解由在反比例函数上，设 则 且＞ 利用勾股定理求解的坐标，过作轴于 过作轴于 再证明 可得 从而可得答案．

【详解】解： 正方形的顶点在直线上，

正方形的对角线过原点，

如图，连接BD，正方形的面积为32，

AC×BD=32，

∴

在反比例函数上，

设 则 且＞

或

，，或，

经检验：，，或，都是原方程的根，

＞ 在上，结合正方形的性质可得：

，，不符合题意舍去，

当时，

过作轴于 过作轴于

正方形，

故答案为：

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，二次根式的运算，反比例函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．

5．（2021·浙江）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y＝（k＞0）的图象上有两点A，B（点A在B上方），直线AB的解析式为y＝k'x+18．在第一象限内有一点C（8，12），∠ACB＝90°，若△ABC和△ABO的面积相等．则k的值为_____．

【答案】或．

【分析】分当点C和O在AB的两侧和同侧两种情形分别求解即可．

【详解】解：分两种情形讨论：

（1）当点C和O在AB的两侧时，如图1中，过点C作CE⊥AB于E，连接OC交AB于F．设直线AB交y轴于点M，交x轴于点N，取AB的中点G，连接CG．过O作OD⊥AB于点D．

∵S△ABC＝•AB•CE，S△ABO＝•AB•OD，且△ABC和△ABO的面积相等，

∴CE＝OD

∵∠FEC＝∠FDO＝90°，∠EFC＝∠DFO，

∴△EFC≌△DFO（AAS），

∴CF＝OF，

∵O（0，0），C（8，12），

∴F（4，6），

∵直线AB的解析式为y＝k′x+18，

∴k′＝﹣3，

∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+18，

∴M（0，18），N（6，0），

∵G是AB的中点，

∴GA＝GB，

∵AM＝BN，

（这个一般结论的证明如下：构造如图所示的图形，四边形PQOH是矩形，

∵PQ∥OM，∴，

∵PH∥ON，∴，

如图，∵，（其中S是矩形PQOH的面积），

∴，即，∴n=l，即AM=BN）

∴GM＝GN，

∴G（3，9），

∵∠ACB＝90°，GA＝GC，

∴CG＝AG，

设A（m，﹣3m+18），则有（m﹣3）2+（﹣3m+18﹣9）2＝（8﹣3）2+（12﹣9）2，

解得m＝3﹣或3+（舍弃），

当m＝3﹣时，﹣3m+18＝3（3+），

∴k＝（3﹣）×3（3+）＝．

（2）当点C和点O在AB的同侧时，如图2中，由题意可得OC∥AB，

∵C（8，12），直线AB：y＝k′x＝18，

∴直线AB的解析式为y＝x+18，

∴M（0，18），N（﹣12，0），

∵GA＝GB，AM＝BN，

∴GM＝GN，

∴G（﹣6，9），

∵∠ACB＝90°，GA＝GB，

∴AG＝CG，

设A（m，m+18），则有（m+6）2+（m+18﹣9）2＝（8+6）2+（12﹣9）2，

解得m＝﹣6+或﹣6﹣（舍弃），

∴k＝（﹣6+）×（6+）＝，

∴k的值为或．

故答案为为或．

【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握运用分类讨论的思想解决实际问题成为解答本题的关键．

6．（2020·金华市南苑中学九年级月考）如图，在正方形ABCD中，的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=， AB=______，MN=______

【答案】12       

【分析】连接MG、NG，先证明，同理，得到，，设，在中用勾股定理求出x的值，接着证明，同理，设，在中利用勾股定理求出y的值．

【详解】解：如图，连接MG、NG，

在和中，

，

∴，

同理，

∴，，

∴，

设，则，，

在中，，即，

解得，（舍去），

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

同理，

∴，，

∵，

∴，

∴是直角三角形，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴．

故答案是：12，．

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理的运用，解题的关键是通过做辅助线的方法构造全等三角形，利用勾股定理的方程思想进行求解．

7．（2021·南宁市天桃实验学校九年级开学考试）在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．

【答案】

【分析】设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，先根据运动路程和速度求出的取值范围，再分、和三种情况，然后分别在中，利用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程即可得出答案．

【详解】设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，

由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为秒，

点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为秒，

因此，分以下三种情况：

（1）当点Q到达点C之前，即时，则厘米，厘米，

厘米，

厘米，

则在中，，即，

整理得：，

解得或（不符题设，舍去）；

（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即时，则厘米，

由得：，

整理得：，

解得或（均不符题设，舍去）；

（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即时，

则厘米，不符题意；

综上，经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，依据题意，正确分三种情况讨论，并建立方程是解题关键．

8．（2020·河北九年级二模）王老师设计了一个如图所示的数值转换程序．

（1）当输入时，输出的值为______；

（2）当输出时，输入的值为_______．

【答案】3    -8   

【分析】（1）根据题意把x=-4，代入求值即可；

（2）把M=5分别代入和，再进行检验即可．

【详解】解：（1）∵-4＜3，

∴当，时，，

故答案为：3；

（2）把M=5代入得

解得

∵8＞3

所以不合题意，舍去；

把M=5代入得

解得，

∵-1＜3,2＜3，

∴均不合题意，舍去；

综上所述，x=-8．

故答案为：-8

【点睛】本题考查了实数与运算，解绝对值方程、一元二次方程等知识，理解好运算程序，并根据运算程序结合方程知识求解是解题关键．

9．（2020·安徽九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为_____．

【答案】或1或或．

【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF=OE，DF=BE．设BE=DF=a，则AF=3-a．当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

∴△BEO≌△DFO（AAS），

∴OF＝OE，DF＝BE．

设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．

当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．

①如图（1），当AE＝AF时，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，

解得a=

②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，

∴AF＝2BE，

∴3﹣a＝2a，

解得a＝1．

③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．

又∠FAE＝∠AEB，

∴∠FEA＝∠AEB．

过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，

∴FG＝3﹣2a．

在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，

解得a1＝1-, a2＝1+.

综上所述，DF的长为或1或1-或1+．

故答案为：或1或1-或1+．

【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．当等腰三角形的顶角顶点不确定时，需要列出所有情况进行分类讨论．解题时注意同类型的分类讨论问题还包括旋转方向、直角三角形的直角顶点、全等或相似三角形的对应顶点不明确．

10．（2019·四川成都市·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，当m，n满足mn＝k（k为常数，且m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）为“等积点”．若直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且该直线上有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若△OEF的面积为，则OE=______．

【答案】

【分析】由题意“等积点”在反比例函数的图象上，直线y＝−x＋b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，可得B（0，），A（，0），E（，），F（，），“等积点”M的坐标为（，），根据△OEF的面积＝S正方形AOBC−2S△AOE−S△EFC＝，列方程求出k即可解决问题．

【详解】解：如图，由题意，“等积点”在反比例函数的图象上，

∵直线y＝−x＋b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线上有且只有一个“等积点”，

∴方程即有两个相等的实数根，

∴，即，

∴B（0，），A（，0），E（，），F（，），“等积点”M的坐标为（，），

∵△OEF的面积＝S正方形AOBC−2S△AOE−S△EFC＝，

∴，

解得：k＝2或（舍弃），

∴E（，），

∴OE＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用方程或方程组的思想思考问题，属于中考填空题的压轴题．

11．（2019·湖北黄冈市·九年级三模）某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有_____个．

【答案】39

【分析】设准备客车x辆，每辆客车有座位y个，根据题意可列出xy+14=（x+1）y-x-1，进而求出x和y的关系式，结合全校有900多学生即可得xy＞900，列出x的一元二次不等式，求出x的取值范围，即可求出每辆车的座位数．

【详解】解：设准备客车x辆，每辆客车有座位y个，

根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，

得y＝x+15，

又知xy＞900，

即x（x+15）＞900，

解得：x＞或x＜（舍去）

即x＞23.43，

当x＝24时，y＝39，xy＝936，

当x＝25时，y＝40，xy＝1000（不符合题意）

即这种客车每辆的乘客座位有39个，

故答案为39．

【点睛】本题主要考查了一元二不等式的知识点，解答本题的关键是根据题干条件找出x和y的数量关系，进而列出x的一元二次不等式，此题有一定的难度．

12．（2020·福建省南安国光中学九年级月考）如图，双曲线y=(x>0)经过A、B两点，若点A的横坐标为1，∠OAB=90°，且OA=AB，则k的值为_______．

【答案】.

【解析】分析：设A（1，n），作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=1，BG=AE=n，从而求得B（n+1，n-1），根据k=n×1=（1+n）（n-1）得出方程，解方程即可．

详解：设A（1，n），作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，如图所示：

则AG⊥BC，

∵∠OAB=90°，

∴∠OAE+∠BAG=90°，

∵∠OAE+∠AOE=90°，

∴∠AOE=∠GAB，

在△AOE和△BAG中，

，

∴△AOE≌△BAG（AAS），

∴OE=AG，AE=BG，

∵点A（1，n），

∴AG=OE=1，BG=AE=n，

∴B（1+n，n-1），

∴k=n×1=（1+n）（n-1），

整理得：n2-n-1=0，

解得：n=（负值舍去），

∴n=，

∴k=；

故答案为．

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．

三、解答题

13．（2020·河南九年级其他模拟）如图，在中，斜边交轴于点，反比例函数过点．已知点是边的中点，点的坐标为．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）延长交反比例函数的图象于点，连接，求的面积．

【答案】（1）；（2）30

【分析】（1）过点作轴于点，如解图1所示，则，由点P是BD的中点得到是的中位线，求得，由此得到点D的坐标为（6,4），将其代入解析式即可求出答案；

（2）过点作轴交于点，利用勾股定理求出BD得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，得到线段DF=5，联立与，求出点A的坐标，即可求出三角形的面积.

【详解】解：（1）过点作轴于点，如解图1所示，则．

∵，

∴，

∵点是的中点，

∴是的中位线，

∴，

∴．

将点代入反比例函数，得．

∴反比例函数的解析式为；

（2）过点作轴交于点，如解图2所示．

∵，

∴，

∴，

∴，

设直线的解析式为，

把点代入直线中，

得，解得，

∴直线的解析式为，

∴.

∴，

联立与，化简得，

解得或，

∴，

∴.

【点睛】此题考查三角形中位线的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，解一元二次方程，直角坐标系中三角形面积的求法.

14．（2019·孟津县城关镇第一初级中学九年级月考）按要求解方程：

（1）直接开平方法： 4(t-3)2=9(2t-3)2

（2）配方法：2x2-7x-4=0

（3）公式法：  3x2+5(2x+1)=0  

（4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)

（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)   

（6）用配方法求最值：6x2-x-12

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）时，有最小值

【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；

（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；

（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（6）将原式进行配方变形即可得出答案．

【详解】解：（1）4(t-3)2=9(2t-3)2

开方得：，

∴或，

∴；

（2）2x2-7x-4=0

方程两边同时除以2得：

，

，

，

，

，

∴；

（3）3x2+5(2x+1)=0  

方程整理为一般式为：，

∴，

∴，

∴，

∴

（4）3(x-5)2=2(5-x)

方程变形为：，

∴，

∴，

∴；

（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0    

，

∵，

∴，

∴；

（6）6x2-x-12，

∴当时，原式有最小值．

【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法是解此题的关键．

15．（2019·镇江市丹徒区江心实验学校）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结.

（1）若，求的度数；

（2）设，；

①线段的长度是方程的一个根吗？说明理由.

②若线段，求的值.

【答案】（1）＝；（2）①是；②.

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；
（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；
②根据勾股定理列出算式，计算即可．

【详解】（1）在中，.

∴

，

∵，

∴

.

∴

.

（2）①，

∴

.

在中，，

.

∵，

∴

.

∴线段的长度是方程的一个根.

②∵，

又∵，

∴，

∴.

在中，

，

∴，

，

∴.

∵，

∴，

∴.

【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．