初中数学华师大版九年级上册2.配方法巩固练习

22.2.2 配方法

(难点练）

一、单选题

1．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）

A．0 B．1 C．3 D．不确定

【答案】A

【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．

【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．

∵a2+a+1=（a+）2+＞0，

∴a+b+c=0．

故选A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．

2．如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）

A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）

【答案】D

【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），

则

所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.

3．（2019·河北九年级月考）对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】根据题意则有x2=2x+1和-x2=2x+1，然后解一元一次方程即可．

【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数，

∴当x＞0时，max（x，-x）=x，

方程为x2=2x+1，

x2-2x+1=2，

（x-1）2=2，

∴x-1=±，

∴x=1±，

∴x＞0，

∴x=1+；

当x＜0时，max（x，-x）=-x．

方程为-x2=2x+1

x2+2x+1=0，

（x+1）2=0，

∴x=-1，

故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+

故选C．

【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出x2=2x+1和-x2=2x+1是本题的关键．

4．设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（    ）

A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3

C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β

【答案】B

【分析】解方程得到x=1±，由m＞0，得到＞2，从而得到α= 1－＜－1，β= 1+＞3．

【详解】x2-2x-3=m，（x－1）2=4+m，∴x－1=±，x=1±．

∵m＞0，∴＞2，∴α= 1－＜－1，β= 1+＞3，故α＜-1且β＞3．故选B．

【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程．解题的关键是由m的取值范围得到根的取值范围．

二、填空题

5．（2019·湖北九年级）设实数，，满足，则的最大值为__________．

【答案】

【分析】先将已知等式变形可得，然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．

【详解】解：∵

∴

∴

=

=

=

=

=

=

=

=

∵

∴≤

∴的最大值为

故答案为：．

【点睛】此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．

6．（2019·江苏九年级月考）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．

【答案】4

【分析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.

【详解】∵

∴

∴

∴当x=-1时，x+y有最大值为4

故答案为4

【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.

三、解答题

7．解下列方程（组）：

（1）；

（2）．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】(1)将原方程化为，设，代入即可得出结果；

(2) 设和为一元二次方程的解，此方程可写为，利用配方法即可得出结果．

【详解】解：(1) ，

，

，

设

代入得：，

解得：(舍)，，

即，

解得：或；

(2)设和为一元二次方程的解，

则

此方程可写为：，

解得：，，

∴，，

∴．

【点睛】本题主要考查的是二次根式与一元二次方程的综合，掌握一元二次方程和二次根式的综合是解题的关键．

8．已知：x2+4x+y2－6y+13=0，求的值．

【答案】

试题分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x、y的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零的情形，从而可求得： x=－2和y=3，从而可求出后面代数式的值.

试题解析：

原方程可化为:（x+2）2+（y－3）2=0，

∴（x+2）2=0，且（y－3）2=0，

∴x=－2，且y=3，

∴．

9．（2019·全国九年级单元测试）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如

①选取二次项和一次项配方：；

②选取二次项和常数项配方：，或；

③选取一次项和常数项配方：．

根据上述材料，解决下面问题：

写出的两种不同形式的配方；

若，求的值；

若关于的代数式是完全平方式，求的值；

用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立．

【答案】（1）①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：； ；或；（4）详见解析．

【分析】（1）根据题目中所给的方法解答即可；（2）把化为，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得的值；（3）根据完全平方式的特点，结合根的判别式解答即可；（4）因＞0，由此即可解答.

【详解】

(1)①选取二次项和一次项配方：；

②选取二次项和常数项配方：；

∵，

∴，

∴，，

∴，，

∴；

根据题意得，

解得或；

证明：，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方是解题的关键．

10．（2019·山东九年级期中）阅读材料:若，求m、n的值.

解: ，

，

，

.

根据你的观察，探究下面的问题:

（1）己知，求的值.

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.

（3） 若己知，求的值.

【答案】（1）2（2）6（3）7

【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；

（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；

（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．

【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0

∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0

∴（x+y）2+（y+1）2=0

∴x+y=0  y+1=0

解得：x=1，y=﹣1

∴x﹣y=2；

（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0

∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0

∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0

∴a﹣3=0，b﹣4=0

解得：a=3，b=4

∵三角形两边之和＞第三边

∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；

（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．

故答案为7．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．

11．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．

小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”

（1）小静的解法是从步骤　   　开始出现错误的．

（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）

【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．

【分析】（1）根据移项要变号，可判断；

（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.

【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，

故答案为⑤；

（2）x2+2nx﹣8n2=0，

x2+2nx=8n2，

x2+2nx+n2=8n2+n2，

（x+n）2=9n2，

x+n=±3n，

x1=2n，x2=﹣4n．

12．解方程

（1）x2－10x=96

（2）阅读下面的例题：

解方程x2-|x|－2=0．

解：分两种情况讨论：

①当x≥0时，原方程化为x2－x－2=0．

解得：x1=2，x2=－1(不合题意，舍去)；

②当x＜0时，原方程化为x2＋x－2=0．

解得：x1=－2，x2=1(不合题意，舍去)；

综上所述，原方程的根是x1=2，x2=－2．

请参照前面的例题的解法解方程：x2-|x－1|－1=0

【答案】（1）x1=16，x2=-6．（2）x1=1，x2=-2．

试题分析：（1）移项，配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

（2）解方程x2-|x-1|-1=0．方程中|x-1|的值有两种情况，所以要按两种情况来解方程．

试题解析：（1）x2-10x-96=0．

x2-10x+25=96+25，

配方得：（x-5）2=121，

开方得：x-5=±11，

解得x1=16，x2=-6．

（2）①当x-1≥0即x≥1时，原方程化为x2-（x-1）-1=0

解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）

②当x-1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x-1）-1=0

解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=-2

故原方程的根是x1=1，x2=-2．

考点：（1）解一元二次方程-配方法．（2）解一元二次方程-因式分解法．