数学沪科版23.1 锐角的三角函数教学设计

　锐角的三角函数

教学目标

1．理解锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)的定义．

2．会求直角三角形中各锐角的三角函数值．

3．了解坡度、坡角的定义，掌握坡度、坡角与三角函数之间的关系．

教学重难点

正切、正弦、余弦函数的概念及其应用；使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是固定值．

教学过程

导入新课

杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5 m的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m，而且还以每年倾斜1 cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.

根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？

这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！

推进新课

一、合作探究

1．问题引入

梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

学生交流：如可用角的大小，梯子斜靠墙的高度等．给学生以发表意见的机会，教师予以引导．

【问题1】 探究梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？请说出你的判断方法？

学生可由铅直高度相等，水平长度不同进行判断．

【问题2】 当水平长度和铅直高度都不相等时，又如何判断呢？

设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？

【问题3】 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？

【问题4】 如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到Rt△AB1C1……，这样，我们可以得到无数个直角三角形．在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比，，……有怎样的关系？

引导学生独立证明：易知，BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，

∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，

∴＝＝＝….

因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值是一个固定值．

通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到教学目标，同时培养学生的能力，进行了德育渗透．

2．正切函数概念的提出

在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的．为了叙述方便，作出如下规定：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A=.

注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．

3．坡度和坡角

对于问题2中“当水平长度和铅直高度都不相等时，判断坡度的大小”，你现在能判断了吗？

结合图形，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i表示，即i＝，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角(或称倾斜角)．

引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

答：i＝＝tan α.

4．正弦、余弦的概念

我们知道，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定了．

问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上面证明对边比邻边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．

学生证明过后教师进行总结：类似于正切的情况，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比、∠A的邻边与斜边的比也分别是确定的．

正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝.

余弦：我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝＝.

锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数．同样地，cos A，tan A也是A的函数．

二、巩固提高

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A，tan B的值．

分析：我们已经知道了直角三角形中一条直角边的值，要求余弦值、正切值，就要求斜边与另一条直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．

解：sin A＝，

∴AB＝＝6×＝10.

又∵AC＝＝＝8，

∴cos A＝＝，tan B＝＝.

三、达标训练

1．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则下列结论中正确的是(　　)．

A．sin α＝    B．cos α＝

C．tan α＝    D．tan α＝

2．在Rt△ABC中，各边长度都同时缩小为原来的一半，则锐角A的余弦值和正切值(　　)．

A．都扩大2倍

B．都缩小一半

C．都不变

D．正切值扩大2倍，余弦值缩小一半

3．一段坡面的坡角为60°，则坡度i＝_____________________.

4．已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对角的余弦值为，则此三角形的周长为__________，面积为__________．

本课小结

1．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

2．能利用锐角三角函数的概念求锐角三角函数值，或利用锐角三角函数值求边的长度．

3．对锐角三角函数概念的理解要准确，不要混淆正弦函数、余弦函数和正切函数，特别是正弦函数和余弦函数易混淆，正弦函数是对边比斜边，而不是邻边比斜边(余弦).

1．对三角函数概念的理解

(1)正切、正弦、余弦的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．

(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：tan A＞0,0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.

(3)“tan A”“sin A”“cos A”都是整体符号，不能写成“tan ·A”“sin ·A”“cos ·A”，对于用三个大写字母，如∠AOB，应写成“tan∠AOB”“sin∠AOB”“cos∠AOB”．

(4)由tan A＝，sin A＝，cos A＝，变形可以得到a＝b·tan A，a＝c·sin A，b＝c·cos A，或者b＝，c＝，c＝.

(5)(sin A)2常写成sin2A，不能写成sin A2.

2．三角函数的产生和发展

三角学开创之初，希腊人思考的是定圆各中心角所对应的弦长．如托勒密把圆心角分成360份，把直径分为120份，然后对圆心角求对应弦的长．而印度人则不同，他们研究一个角的倍角所对弦的一半，即角对应的半弦长.1631年邓玉函、汤若望和徐光启编译的《大测》一书，将sinus译成正半弦或前半弦，简称正弦，此即为我国正弦一词的来源．正弦、余弦的现代定义起源于欧拉．

正弦和余弦的符号也是经过长期的发展才成为我们现在所看到的这样．数学家毛罗利科早在1558年就已采用三角函数符号，但当时并无函数的概念，于是只称作三角线.1753年，生于瑞士的欧拉开始使用sin 和cos 表示正弦和余弦，这两个符号才算基本定型．

公元727年，唐朝卓越的天文学家、高僧一行受唐玄宗之命撰写《大衍历》．为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切函数．希腊科学家海伦在计算正多边形面积时，就已经用到了余切三角函数值了．

3．一般三角形中正弦函数的应用

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.过A作AD⊥BC于D，如图，则sin B=，sin C=，即AD=c sin B，AD=b sin C．于是c sin B=b sin C，即.

同理有，.

所以.(*)

即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

解决以下问题：

在锐角三角形中，若已知三个元素a，b，∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，∠B，∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：

第一步：由条件a，b，∠A__________∠B；

第二步：由条件∠A，∠B__________∠C；

第三步：由条件____________________c.

分析：灵活运用结论＝＝.

解：第一步：∵＝，∴sin B＝.

第二步：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)．

第三步：a，∠A，∠C或b，∠B，∠C，＝或＝.

奥赛链接

如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为(　　)．

A．　　　B．　　　C．　　　D．

解析：AF＝AD＝10，

∴BF＝＝6.

又∵∠AFE＝∠D＝90°，

∴∠AFB＋∠EFC＝90°.

∴∠BAF＝∠EFC．

∴tan∠EFC＝tan∠BAF＝＝＝.

答案：A