初中数学冀教版八年级上册16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案教学设计
展开图形的变换——平移、旋转、轴对称
阳胜中学 王学凤
一、复习检测：
1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
答案：B
2、已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转后得到图2，则旋转的牌是（ ）
答案：A
3、如图，以点为为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到．若，则= 度．
答案：40
4.如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的，如果图①中△ABC上点P的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
5.下列四个图形中不是轴对称图形的是( )
答案：A
6.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
答案：C
7.在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图中的△ABC称为格点△ABC．现将图中△ABC绕点A顺时针旋转，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B的对应点所在的位置是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案：C
8.如图2，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）.
（A）60° （B）67.5° （C）72° （D）75°
答案：B
9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
答案：B
10.如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为 ．
答案：
二、知识点再现：
1、平移：在平面内，将一个图形沿 移动 ，这样的图形运动称为平移。
2、平移的性质：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应角 ，图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 。
3、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线 后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做 。
4、轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做它的 。
5、轴对称的性质：对应线段 ，对应角 ，对应点的连线被对称轴 。
6、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为 ，这个定点称为 ，转动的角度称为 。
7、旋转的性质：旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离 ；旋转角 ；旋转不改变图形的 和 。
8、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做 。
9、中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°能与自身 ，我们把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做 。
10、中心对称的性质：关于某点成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过 ，并且被对称中心 。
三、重点讲解：
1、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【关键词】坐标和旋转变换
【答案】D
2、图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝6cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O’A’C’ ．如图2，其中O’是OB的中点．O’C’交于点F，则的长为_______cm．
答案：
3. (本题6分) 山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美。图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的。图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图。
(1) 根据图2将图3补充完整；
(2) 在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形。
4．（本题10分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
答：AEGC。
[证明] 延长GC交AE于点H。在正方形ABCD与正方形
DEFG中，AD=DC，ADE=CDG=90，DE=DG，
∴△ADE△CDG，∴1=2，∵23=90，
∴13=90，∴AHG=180(13)=18090
=90，∴AEGC。
(2) 答：成立。
[证明] 延长AE和GC相交于点H。在正方形ABCD与
正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，
ADC=DCB=B=BAD=EDG=90，
∴1=2=903，∴△ADE△CDG，
∴5=4，又∵56=90，
47=180DCE=18090=90，6=7，
又∵6AEB=90∴AEB=CEH，
∴CEH7=90，∴EHC=90，∴AEGC。
四、真题选作：
知识点一、轴对称图形的定义
1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )
① ② ③ ④
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
答案：B 说明：根据轴对称图形的概念，不难看出只有第一个标志的图案不是轴对称图形，其它三个都是轴对称图形，所以答案是B．
知识点二、平移的定义
2．所给的图形中，只用其中最基本的一个图形，经过平移可以得到的有（ ）
(1) (2) (3) (4)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B 用图(2)中的六边形、图(4)中的菱形，分别经过一次和三次平移，可得到相应的图形．
知识点三、轴对称的性质——折叠问题
3、（2010年浙江省东阳县）如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 __ __度．
【关键词】折叠问题
【答案】80°
知识点四、旋转的定义及性质
4．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（ ）
A．顺时针旋转60°得到
B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到
D．逆时针旋转120°得到
答案：D
5.(2010年山东聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，RtA可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段的长为_________________．
【关键词】旋转
【答案】 过点B`作B`D⊥AC于D，在Rt△DB`C中思考可得的长.
知识点五、利用平移旋转轴对称设计图案
6.（2008山西省）如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）。
五、目标检测：
1．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 = 5cm，则ΔPMN的周长是( )
A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm
答案：C
说明：∵点P1是点P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分PP1，则P1M = PM，
同样道理P2N = PN，
这样ΔPMN的周长PM+MN+NP = P1M+MN+NP2 = P1P2 = 5cm
2．（2010年山东省青岛市）下列图形中，中心对称图形有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【关键词】中心对称图形
【答案】C
3、（2010盐城）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形
关键词：轴对称、中心对称
答案：B
4、（2010年山东省济南市）如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为 （ ）
A．50° B．30° C．100° D．90°
【关键词】轴对称
【答案】C
5、（2010年宁波）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：C
6、（2010年重庆市潼南县）如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF ( )
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【关键词】图形的平移变换
【答案】C
7. (2010年兰州市) 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【关键词】中心对称图形
【答案】B
8．（2010山东德州）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【关键词】轴对称、中心对称
【答案】B
9、2010年广东省广州市）从图2的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是（ ）
图2
A． B． C． D．1
【关键词】中心对称图形 概率
【答案】A
10．如右上图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则ΔAEF的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：C
11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后，得到矩形AB′C ′D′，如果CD=2DA=2，那么CC′=_________．
答案：
12．直线y=x+3上有一点P(3,2m)，则P点关于原点的对称点P′为______．
答案：（-3，-6）
13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°
后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为______。
答案：
14、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形
将纸片展开，得到的图形是（ ）
答案：C
15.（2008四川自贡）如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案：C
16．已知如图11－25所示：四边形AECF中AE＝AF，∠EAF＝9O°，∠C＝90°，AB⊥FC于B，且AB＝BC，若FC＝10，EC＝6，求四边形AECF的面积．
解析：把△ABF绕A点逆时针旋转90º到△AF’E的位置，则S四边形AECF=S正方形ABCF′；
设正方形的长为x，则x+BF＝10，x-BF＝6；
所以x＝8，所以S正方形ABCF＝64．
17.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．
（1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点重合，画出平移后的三角形．
（2）将平移后的三角形绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形．
（3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．
18. （2010年安徽中考）在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形的位置如图所示。
⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900，画出相应的图形，
⑵若四边形ABCD平移后，与四边形成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形
【关键词】平移、旋转
【答案】（1）旋转后得到的图形如图所示；
（2）将四边形ABCD先向右平移四个单位，再向下平移6个单位，如图所示。
19、（2010年四川省眉山）如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
【关键词】三角形旋转、相似、探索型问题
【答案】 （1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB ……（1分）
∴∠CAC =∠BAB
∴∠ACC =∠ABB …………………（3分）
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE ………………（4分）
（2）解：当时，△ACE≌△FBE． …（5分）
在△ACC中，∵AC=AC ，
∴ ………（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分）
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）
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