冀教版八年级上册17.3 勾股定理教学设计

第十六章 勾股定理的综合应用

勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一，它的应用极其广泛，现将常见的应用例析如下，供同学们参考。

一、利用勾股定理进行计算

1．求面积

例1：如图1，在等腰△ABC中，腰长AB=10cm，底BC=16cm，试求这个三角形面积。

析解：若能求出这个等腰三角形底边上的高，就可以求出

这个三角形面积。而由等腰三角形“三线合一”性质，可联想

作底边上的高AD，此时D也为底边的中点，这样在Rt△ABD

中，由勾股定理得AD2=AB2－BD2=102－82=36，所以AD=6

cm，所以这个三角形面积为×BC×AD=×16×6=48 cm2。

2．求边长

例2：如图2，在△ABC中，∠C=135º，BC=，AC=2，试求AB的长。

析解：题中没有直角三角形，不能直接用勾股定理，可考

虑过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D点，构成Rt△CBD

和Rt△ABD。在Rt△CBD中，因为∠ACB=135º，所以∠BCB=45º，

所以BD=CD，由BC=，根据勾股定理得BD2+CD2=BC2，得

BD=CD=1，所以AD= AC+ CD=3。在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2= AD2+BD2=32+12=10，所以AB=。

点评：这两道题有一个共同的特征，都没有现成的直角三角形，都是通过添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，借助勾股定理来解决问题的，这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想，请同学们要留心。

二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

例3：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状。

析解：由于所给条件是关于a，b，c的一个等式，要判断△ABC的形状，设法求出式中的a，b，c的值或找出它们之间的关系（相等与否）等，因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，所以a2－10a+ b2－24b+c2－26c+338=0，所以a2－10a+25+ b2－24b+144+ c2－26c+169=0，所以(a－5)2+ (b－12)2+ (c－13)2=0。因为(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0，所以a－5=0，b－12=0，c－13=0，即a=5，b=12，c=13。因为52+122=132，所以a2+ b2= c2，即△ABC是直角三角形。

点评：用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的“数形结合思想”的重要体现。

三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系

例4：如图3，在△ABC中，∠C=90º，D是AC的中点，DE⊥AB于E点，试说明：BC2=BE2－AE2。

析解：由于要说明的是线段平方差问题，故可考虑利用勾

股定理，注意到∠C=∠BED=∠AED=90º及CD=AD，可连结

BD来解决。因为∠C=90º，所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB，

所以∠BED=∠AED=90º，在Rt△BED中，有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中，有AD2= DE2+AE2。又D是AC的中点，所以AD=CD。故BC2+CD2= BC2+ A D2= BC2+ DE2+AE2= BE2+ DE2，所以BE2= BC2+ AE2，所以BC2=BE2－AE2。

点评：若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时，则可考虑构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。