初中数学冀教版八年级上册13.1 命题与证明教案

13.2　命题与证明

第1课时　命题与证明(一)

教学目标

【知识与技能】

1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.

2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题.

3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性.

【过程与方法】

1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力.

2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数学语言的能力.

【情感、态度与价值观】

1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.

2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性.

重点难点

【重点】

学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.

【难点】

严密完整地写出推理过程.

教学过程

一、创设情境,导入新知

教师多媒体出示:

有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗?

学生交流讨论后回答.

生甲:都放不进去.

生乙:枣能放进,苹果放不进.

生丙:都能放进.

师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是-=≈0.26(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发?

生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析.

师:对,我们要做到有理有据.

上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问:

在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值;

度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180°.

这两种情况怎么解释呢?

学生思考、交流、讨论.

师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信其结果一定正确.因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命题的真假,需要做必要的逻辑推理.

二、共同探究,获取新知

师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.

教师多媒体出示:

(1)长江是中国第一大河;

(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;

(3)2+3≠5;

(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.

教师找一名学生回答,然后集体订正.

师:在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1)、(2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、祈使句等.

教师多媒体出示:

(1)请关上窗户;

(2)你明天骑车来上学吗?

(3)天真冷啊!

(4)今天晚上不会下雨.

(5)昨天我们去旅游了.

师:请同学们判断一下哪些语句是命题?

学生讨论后回答,然后集体订正.

师:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果”、“那么”,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,可以写成“对顶角相等”.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断).

三、边讲边练

教师多媒体出示:

【例1】　指出下列命题的条件与结论:

(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;

(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.

生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.

生乙:“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.

四、层层推进,深入探究

师:将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.我们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗?

学生交流讨论后发表意见.

师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的逆命题是什么?

生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角”.

师:它是真命题还是假命题呢?

生:假命题.

师:你是怎么判断它是假命题的呢?

学生交流讨论后回答.

教师多媒体出示下图.

师:对.我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.若要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.

五、练习新知,加深讨论

师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题.

教师找学生回答,然后集体订正得到:

(1)假命题.

反例:|-1|=|1|,但-1≠1.

(2)假命题.

反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数.

(3)真命题.

(4)假命题.

若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等.

师:我们来看第3题.

教师找学生回答,然后集体订正得到:

(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.

师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证,在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一下,我们学过哪些公理?

生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.

生乙:两点之间的所有连线中,线段最短.

生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,

师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子?

生甲:对顶角相等.

生乙:三角形的三个内角和等于180°.

生丙:等角的补角相等.

师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,两直线平行”.

教师多媒体出示:

【例2】　已知:如图所示,直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2.

求证:a∥b.

师:若已知“同位角相等,两直线平行”这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平行”这个结论?

学生交流讨论,教师巡视指导.

学生口述,教师板书推理过程.

证明:∵∠1=∠2,(已知)

又∵∠1=∠3,(对顶角相等)

∴∠2=∠3.(等量代换)

∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)

教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理.

【例3】　已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.

求证:OE⊥OF.

证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC(已知)

∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义)

又∵∠AOB+∠BOC=180°,(已知)

∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)

=90°.(等式性质)

∴OE⊥OF.(垂直的定义)

六、课堂小结

师:我们今天学习了什么内容?

学生回答,教师补充完善.

教学反思

在这节课上,通过举反例判定一个命题是假命题,培养学生学会从反面思考问题的方法.通过强调正面的严密性,让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我主要采用“举一”,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而达到“反三”的目的.尽可能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构,从而准确地判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据.

第2课时　命题与证明(二)

教学目标

【知识与技能】

1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.

2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.

3.探索并理解三角形的内角和定理.

4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.

【过程与方法】

1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程.

2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.

【情感、态度和价值观】

1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.

2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.

3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.

重点难点

【重点】

三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.

【难点】

三角形内角和定理的证明.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗?

学生回答.

师:我们用什么方法证明过这个命题?

生:用折叠、剪拼和度量的方法.

师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗?

生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题的证明,现在我们来证明这个定理.

二、共同探究,获取新知

教师多媒体出示:

【例1】　证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°.

师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论分别是什么?

生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°.

师:这个命题与图形有关吗?

生:有关.

师:那我们要画出什么图形?

生:一个三角形.

教师在黑板上画出一个三角形.

师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写?

生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180°.

教师板书.

师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.

教师边操作边讲解:

在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题?

生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.

教师作图:

师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了?

学生讨论后回答.

生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论.

师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1?

学生交流讨论.

教师提示:∠A和∠1是什么角?

生:内错角.

师:怎么证两个内错角相等?

生:两直线平行,内错角相等.

师:在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行?

生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了.

师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清.

学生口述,教师板书.

师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少?

生:90°.

师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系?

生:互余.

师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.

教师板书:

推论1　直角三角形的两锐角互余.

三、边讲边练

师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路?

生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.

师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.

学生完成练习第1题.

师:第二个练习的思路大家清楚吗?

学生交流讨论后回答.

生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°.

师:很好!请同学们把证明过程补充完整.

学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.

四、层层推进,深化理解

教师多媒体出示:

师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗?

学生小组交流讨论后回答.

生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.

师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系?

生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.

师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.

教师板书:

推论2　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

推论3　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.

【例2】　已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.

求证:∠1+∠2+∠3=360°.

师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题?

学生交流讨论后回答,然后集体订正.

证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,

∠2=∠BAC+∠ACB,

∠3=∠BAC+∠ABC,

(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)

∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)

∴∠1+∠2+∠3=360°.

五、课堂小结

师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获?

学生发言,教师点评.

教学反思

本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.