苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第一课时学案及答案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第一课时学案及答案，

第一课时　双曲线的定义与标准方程如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．[问题]　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．定义中“小于F1F2的正数”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？提示：不一定是．知识点二　双曲线的标准方程eq \a\vs4\al()双曲线焦点位置与方程的关系焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)方程eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1表示双曲线．(　　)(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　　)(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则a2＞b2.(　　)(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)A．(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)　　　 B．(－5，0)，(5，0)C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－eq \r(7))，(0，eq \r(7))答案：B3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．答案：eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1[例1]　如图，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解]　双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5.(1)由双曲线的定义得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|))＝2a＝6，又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，假设点P到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点P到另一个焦点的距离为10或22.(2)将eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF2|－|PF1|))＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.[母题探究]1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．解：由双曲线的标准方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，∴|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.2．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(6)＝8eq \r(6).3．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解：由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝64，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3).eq \a\vs4\al()在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　　　 [跟踪训练]1．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)A．11　　　　　　　 B．9C．5 D．3解析：选B　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.2．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4eq \r(2) B．8eq \r(3)C．24 D．48解析：选C　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6.))又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)·|PF1|·|PF2|＝24.故选C.[例2]　(链接教科书第90页例2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)；(3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　①∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.法二：设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．故双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.∵点P，Q在双曲线上，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.eq \a\vs4\al()1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；(2)待定系数法：　　　　 [跟踪训练]求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4；(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．解：(1)由题设知，a＝3，c＝4，所以b2＝c2－a2＝42－32＝7.故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|eq \r(（－5－0）2＋（6＋6）2)－eq \r(（－5－0）2＋（6－6）2)|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1.[例3]　若方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m2－4)＝3表示双曲线，求实数m的取值范围．[解]　由方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m2－4)＝3表示双曲线，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（m2－4）>0，,3（m－1）<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（m2－4）<0，,3（m－1）>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－4>0，,m－1<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－4<0，,m－1>0，))解得m<－2或10，,m2－4>0，,m2－4≠m－1，))即m>2且m≠eq \f(1＋\r(13),2).eq \a\vs4\al()双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　　　 [跟踪训练]1．已知双曲线eq \f(x2,a－3)＋eq \f(y2,2－a)＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)A.eq \f(3,2)　　　　　　　　　 B．5C．7 D.eq \f(1,2)解析：选D　根据题意可知，双曲线的标准方程为eq \f(y2,2－a)－eq \f(x2,3－a)＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝eq \f(1,2).2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆解析：选C　方程mx2－my2＝n可化为eq \f(x2,\f(n,m))－eq \f(y2,\f(n,m))＝1.由mn<0知eq \f(n,m)<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．1．双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是(　　)A．(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B．(－2，0)，(2，0)C．(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D．(0，－2)，(0，2)解析：选B　由双曲线的标准方程得，其焦点在x轴上，且a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，c＝2，所以焦点坐标为(±2，0)，故选B.2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是(　　)A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上解析：选B　原方程可化为eq \f(x2,\f(b,a))＋y2＝1，因为ab<0，所以eq \f(b,a)<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.3．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线 D．双曲线右支解析：选C　因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C.4．求以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，∵A(4，－5)在双曲线上，∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|eq \r(20)－eq \r(80)|＝2eq \r(5)，∴a＝eq \r(5)，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.故双曲线的标准方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程直观想象焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝c2－a2双曲线定义的应用求双曲线的标准方程双曲线标准方程的应用