数学选择性必修第一册3.1 椭圆学案

这是一份数学选择性必修第一册3.1 椭圆学案，

椭圆的标准方程“神舟”十一号飞船于北京时间2016年10月19日凌晨与“天宫二号”成功实施自动交会对接．这是一个非常复杂的过程，包含一系列的步骤，要让两个8吨多的“大家伙”在每秒7.9公里左右的飞行速度下完美对接在一起，这个过程仿佛就是在太空中穿针引线．“合体”后，航天员将进驻“天宫二号”，开展空间科学实验．请观察这两个“大家伙”的运行轨道是一个什么图形．[问题]　(1)两个“大家伙”的运行轨迹是什么？(2)椭圆上的任意一点有什么特征？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？提示：不是．知识点二　椭圆的标准方程eq \a\vs4\al()椭圆标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于eq \f(x,a)与eq \f(y,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)与\f(x,b)))的平方和，并且分母为不相等的正值．　　　　 1．若椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为(　　)A．1　　　 B．2　　　　C．4　　　 D．6答案：C2．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)A．4 B．5 C．8 D．10答案：D3．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1[例1]　(1)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；(2)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．[解析]　(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.故△ABF2的周长为4×5＝20.(2)由eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，知a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2eq \r(7)，∴cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝60°.[答案]　(1)20　(2)60°eq \a\vs4\al()椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　　　　 [跟踪训练]1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．解析：设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝12.如图所示，P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．解：由已知a＝2，b＝eq \r(3)，得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1.∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴Seq \a\vs4\al(△PF1F2)＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).[例2]　(链接教科书第77页例1，例2)求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P到两个焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3eq \r(2))．[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知得c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．法一：由椭圆的定义知2a＝eq \r(（4－0）2＋（3\r(2)＋2）2)＋eq \r(（4－0）2＋（3\r(2)－2）2)＝6＋eq \r(2)＋6－eq \r(2)＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2).所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.法二：因为所求椭圆过点(4，3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.eq \a\vs4\al()确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　 [跟踪训练]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4，))所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4，))则a2b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在椭圆上，所以eq \f(（－\r(5)）2,a2)＋eq \f(（\r(3)）2,b2)＝1，即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.[例3]　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．[解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以动点A的轨迹方程是eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(x≠±5)．eq \a\vs4\al()解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可；(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　　　　 [跟踪训练]如图所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．解：由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，即|CM|＋|MA|＝5>2.∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1，0)，A(1，0)，则a＝eq \f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4).∴点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1，即eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1.[例4]　(链接教科书第78页例4)如图，求直线l：y＝－x＋1与椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的公共点坐标．[解]　直线l与椭圆C的公共点坐标就是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1))的解．方程组可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，　　　　　　　　　　①,x2＋3y2＝3. 　　　　　　　　　　②))将①代入②，得x2＋3(－x＋1)2＝3，化简，得2x2－3x＝0.解得，x1＝0，x2＝eq \f(3,2).代入①，得方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝1，))　eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(3,2)，,y2＝－\f(1,2).))所以直线l与椭圆C的公共点的坐标为(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2))).[母题探究](变设问)本例中条件不变，若仅需要判断直线l与椭圆C的交点个数，在不求出交点坐标的情况下，如何判断？理由是什么？解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,x2＋3y2＝3))消去y整理得2x2－3x＝0.因为Δ＝(－3)2－4×2×0＝9>0，所以方程2x2－3x＝0有两个不相等的实数根，即方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,x2＋3y2＝3))有两组不相同的实数解，故直线y＝－x＋1与椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1有两个公共点．eq \a\vs4\al()求直线与椭圆公共点坐标的方法联立直线与椭圆的方程，组成方程组，该方程组的解对应的实数对(x，y)即为直线与椭圆的公共点的坐标．　　　　 [跟踪训练]已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1，直线l：x－y＋eq \r(3)＝0，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标．解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x－y＋\r(3)＝0))得3x2＋4eq \r(3)x＋4＝0.即(eq \r(3)x＋2)2＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))所以直线l与椭圆有一个公共点且公共点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3))).1．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标是(　　)A．(±5，0)　　　　　　 B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12，0)解析：选C　∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)．2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　)A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1解析：选C　设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，令x＝c，得y＝±eq \f(b2,a).由|AB|＝3，得eq \f(2b2,a)＝3.又a2－b2＝c2＝1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)；(2)椭圆的焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵椭圆经过点(2，0)和点(0，1)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＝1，,\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵点P(0，－10)在椭圆上，∴eq \f(100,a2)＝1，∴a2＝100.∵点P到离它较近的一个焦点的距离为2，∴－c－(－10)＝2，∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1.新课程标准解读核心素养1.了解椭圆的实际背景数学抽象2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程直观想象焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)图　形焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2椭圆的定义及其应用求椭圆的标准方程与椭圆有关的轨迹方程问题直线与椭圆的公共点问题