2021年中考九年级数学一轮复习：三角形 综合压轴题练习（Word版 无答案）

2021年中考九年级数学一轮复习：三角形 综合压轴题练习

1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．

（1）求sinB的值；

（2）如果CD＝，求BE的值．

2、如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．

（1）写出旋转角的度数；

（2）求证：∠A1AC＝∠C1．

3、如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．

（1）求证：；

（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．

4、在Rt中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．

（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；

（2）若AC=3,BC=4,当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；

（3）在Rt中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

5、已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8

(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K

① 求的值

② 设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值

(2) 若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长

6、【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．

（1）【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是　   　，位置关系是　   　．

（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．

（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．

7、感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．

探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．

应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=　　（用含a的代数式表示）

8、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3

(1) 求证：EF＋PQ＝BC

(2) 若S1＋S3＝S2，求的值

(3) 若S3－S1＝S2，直接写出的值

9、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

⑴当AB＝AC时，（如图1），

①∠EBF＝_______°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

⑵当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

10、提出问题

⑴如图1，在等边△ABC中，点M是BC上任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，求证：∠ABC=∠CAN；

类比探究

⑵如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其

它条件不变，⑴中的结论∠ABC=∠CAN还成立吗？请说明理由.

拓展延伸

⑶如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，连接CN，试探究∠ABC与∠CAN的数量关系，并说明理由.

11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）

（1）当点M落在AB上时，x=　　　　　　；

（2）当点M落在AD上时，x=　　　　　　；

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

12、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E

(1) 如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB

(2) 如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积

(3) 如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）

13、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝

90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．

（1）当t＝2时，PH=     cm ，DG =     cm；

（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；

（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；

（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．

14、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于        ，线段CE1的长等于        ；（直接填写结果）

（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；

（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为        ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为        ．（直接填写结果）

15、我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．

16、【操作发现】

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=　   　．

【问题解决】

如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

…

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

【灵活运用】

如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

17、如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=，AB=.

填空：当点A位于__________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.

（用含，的式子表示）

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值.

（3）拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2 , 0），点B的坐标为（5 , 0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

18、已知：如图1，图形① 满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）。记AB的长度为，BM的长度为

⑴图形①中∠B=          °，图形②中∠E=          °；

⑵小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”。

①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为的正十边形，需要这种纸片        张；

②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=，IQ=JQ。请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹不。（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）

19、问题提出

（1）如图①是等边三角形，．若点是的内心，则的长为___________；

问题探究

（2）如图②，在矩形中， ，．如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水．于是，他主喷灌龙头的转角正好等于(即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌)，同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交弧于点，又测得．

请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法?为什么?（结果保留根号或精确到0.01米）

20、某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：

  定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.

  结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

        甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形.

        乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

        丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

     （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

     （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明

（如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.