题型三 一次函数与反比例函数综合-2021年中考数学二轮复习重点题型专项训练（word含解析）

这是一份题型三 一次函数与反比例函数综合-2021年中考数学二轮复习重点题型专项训练（word含解析），共9页。试卷主要包含了当y1＜y2时，x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
如图，反比例函数y=与一次函数y=x-2在第三象限交于点A，点B的坐标为（-3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为______．
如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为______．
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如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+1和双曲线y=-，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2020=______．
如图，函数y=和y=-的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为______．
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，2），B（n，-1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=ax+b相交于点A（-2，3），B（1，m）．（1）求出直线y=ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y=（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2-S1．
如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是-4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y=的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．
​
如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A（-2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D．若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx＋b-＜0的解集．
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
答案
1.【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．
∴B点的横坐标为：-1，
故当y1＜y2时，x的取值范围是：x＜-1或0＜x＜1．
故选：D．
直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．
此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出B点横坐标是解题关键．
2.【答案】（-4，-3），（-2，3）
【解析】解：由题意得，解得或，
∵反比例函数y=与一次函数y=x-2在第三象限交于点A，
∴A（-1，-3）．
当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（-2，-1.5），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴M为OP中点，
设P点坐标为（x，y），
则=-2，=-1.5，
解得x=-4，y=-3，
∴P（-4，-3）．
当OB为对角线时，
由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（-，0），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为AP的中点，
结合中点坐标公式可得=-，=0，解得x=-2，y=3，
∴P（-2，3）；
当以OA为对角线时，
由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（-，-），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为BP中点，
结合中点坐标公式可得=-，=-，解得x=2，y=-3，
∴P（2，-3）（舍去）．
综上所述，P点的坐标为（-4，-3），（-2，3）．
故答案为：（-4，-3），（-2，3）．
联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．
3.【答案】-6＜x＜-2
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
求出k、m，再利用图象法即可解决问题.
【解答】
解：∵A（-2，3）在y=上，
∴k=-6．
∵点B（m，1）在y=上，
∴m=-6，
∵点C在双曲线上，∴S2=3，
观察图象可知：当S1＞S2时，点P在线段AB上（不与A、B重合），
∴点P的横坐标x的取值范围为-6＜x＜-2．
故答案为-6＜x＜-2．
4.【答案】2
【解析】解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1=2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2=-=-，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═-，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3=-=，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3=-，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4=-=3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4=2=a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2020÷3=673…1，
∴a2020=a1=2，
故答案为：2．
根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
5.【答案】8
【解析】解：方法一：∵点P在y=上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=-上，
∴A的坐标是（a，-），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=-上，
∴代入得：=-，
解得：x=-3a，
∴B的坐标是（-3a，），
∴PA=|-（-）|=，
PB=|a-（-3a）|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．
故答案为：8．
方法二：∵函数y=和y=-的图象分别是l1和l2．点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，
∴==，
∴==，
由矩形DOPC∽矩形BEAP，
故S矩形BEAP=16S矩形DOPC，
=16×1
=16，
则S△APC=8．
设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
6.【答案】解：（1）由C的坐标为（1，），得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴，
∴B（3，），
设反比例函数解析式为y=，
把B坐标代入得：k=3，
则反比例解析式为y=；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（2，0），B（3，）代入得：，
解得：，
则直线AB解析式为y=x-2；
（3）联立得：，
解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（-1，-3），
则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为2＜x＜3．
【解析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
7.【答案】解：（1）将点A（1，2）代入y=，得：m=2，
∴y=，
当y=-1时，x=-2，
∴B（-2，-1），
将A（1，2）、B（-2，-1）代入y=kx+b，
得：，
解得，
∴y=x+1；
∴一次函数解析式为y=x+1，反比例函数解析式为y=；
（2）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
解得x=-1，
∴C（-1，0），
设P（m，0），
则PC=|-1-m|，
∵S△ACP=•PC•yA=4，
∴×|-1-m|×2=4，
解得m=3或m=-5，
∴点P的坐标为（3，0）或（-5，0）．
【解析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC=|-1-m|，根据S△ACP=•PC•yA=4求出m的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．
8.【答案】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k=-2×3=-6，
故反比例函数表达式为：y=-，
将点B的坐标代入上式并解得：m=-6，故点B（1，-6），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，
故直线的表达式为：y=-3x-3；
（2）设直线与x轴的交点为E，当y=0时，x=-1，故点E（-1，0），
分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，
则S△PAB=PE•CA+PE•BD=PEPE=PE=18，解得：PE=4，
故点P的坐标为（3，0）或（-5，0）．
【解析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S△PAB=PE•CA+PE•BD=PEPE=PE=18，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
9.【答案】解：（1）由点A（，4），B（3，m）在反比例函数y=（x＞0）图象上
∴4=
∴n=6
∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）
将点B（3，m）代入y=（x＞0）得m=2
∴B（3，2）
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴
解得
∴直线AB的表达式为y=-；
（2）由点A、B坐标得AC=4，点B到AC的距离为3-=
∴S1=×4×=3
设AB与y轴的交点为E，可得E（0，6），如图：
∴DE=6-1=5
由点A（，4），B（3，2）知点A，B到DE的距离分别为，3
∴S2=S△BDE-S△ACD=×5×3-×5×=
∴S2-S1=-3=．
【解析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出S2-S1．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型．
10.【答案】解：（1）∵顶点A的坐标是（0，2），顶点C的纵坐标是-4，
∴AE=6，
又▱ABCD的面积是24，
∴AD=BC=4，
则D（4，2）
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）由题意知B的纵坐标为-4，
∴其横坐标为-2，
则B（-2，-4），
设AB所在直线解析式为y=kx+b，
将A（0，2）、B（-2，-4）代入，得：，
解得：，
所以AB所在直线解析式为y=3x+2．
【解析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．
（1）根据题意得出AE=6，结合平行四边形的面积得出AD=BC=4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．
11.【答案】解：（1）∵直线y=mx与双曲线y=相交于A（-2，a）、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B（2，-a），
∴C（2，0）；
∵S△AOC=2，
∴×2×a=2，解得a=2，
∴A（-2，2），
把A（-2，2）代入y=mx和y=得-2m=2，2=，解得m=-1，n=-4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线AC经过A、C，
∴，解得
∴直线AC的解析式为y=-x+1．
【解析】（1）根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，-a），由于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到×2×a=2，解得a=2，则可确定A（-2，2），然后把A点坐标代入y=mx和y=中即可求出m，n；
（2）根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，熟悉相关知识点是解题的关键．
12.【答案】解：（1）∵S△AOB=3，OB=3，
∴OA=2，
∴B（3，0），A（0，-2），
代入y=kx+b得：，
解得：k=，b=-2，
∴一次函数y=x-2，
∵OD=6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x=6时，y=×6-2=2
∴C（6，2），
∴n=6×2=12，
∴反比例函数的解析式是y=；
（2）当x＞0时，kx+b-＜0的解集是0＜x＜6．
【解析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x=6代入求出D的坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．
13.【答案】解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，
∴CE=BE•tan∠ABO=6×=3，
结合函数图象可知点C的坐标为（-2，3）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴m=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-．
（2）∵点D在反比例函数y=-第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为（n，-）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，
∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2．
∵S△BAF=AF•OB=（OA+OF）•OB=（2+）×4=4+．
∵点D在反比例函数y=-第四象限的图象上，
∴S△DFO=×|-6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+=4×3，
解得：n=，
经验证，n=是分式方程4+=4×3的解，
∴点D的坐标为（，-4）．
【解析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，-）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键．
14.【答案】（1）证明：∵点P在函数y=上，
∴设P点坐标为（，m）．
∵点D在函数y=上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（，m），
由题意，得
BD=，BP==2BD，
∴D是BP的中点．
（2）解：S四边形OAPB=•m=6，
设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y），
S△OBD=•y•=，
S△OAC=•x•=，
S四边形OCPD=S四边形PBOA-S△OBD-S△OAC=6--=3．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．