沪科版七年级上册3.1 一元一次方程及其解法教学设计

一元一次方程及其解法

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

一、理解一元一次方程的概念。

二、掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程。

三、体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系。

【教学重难点】

一、理解一元一次方程的概念。

二、掌握等式的基本性质。

三、灵活运用等式的性质解一元一次方程。

【教学过程】

一、导入新课

上一章我们学习了整式的加减，从本节课开始我们一起来学习一次方程与方程组，首先让我们来认识一下：一元一次方程（板书课题）

二、推进新课

（一）问题1：在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人。参加奥运会的跳水运动员有多少人？

分析：此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如(19＋1)÷2当然上述学生比较少，因为这个算式的建立是不容易的。这样大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程，他们也会设出x，建立方程。

解：设跳水运动员有x人，则依据题意，得2x－1=19

注意：此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路。

（二）问题2：王玲今年12岁，王玲的爸爸今年36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？

分析：一般情况下，我们是问什么设什么，我们这儿设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍。这样用这儿的两倍关系建立等式，即x年后她爸爸的年龄=x年后王玲的年龄×2。

解：设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍，则依题意，得：

36＋x=2(12＋x)

教学策略：此处父女两人x年后的年龄可以请学生表示出来，以加强互动。

（三）一元一次方程

观察以上两个方程，找出其特点：

1．有几个未知数？

2．未知数的次数是几？

教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

回顾一元一次方程的解：使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根。

（四）等式性质

为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？这就是等式的性质。（方程是一个等式）

等式的性质：

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即：

如果a=b，那么a＋c=b＋c，a－c=b－c。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）所得结果仍是等式。即：

如果a＝b，那么ac=bc，=（c≠0）。

（3）（对称性）如果a=b，那么b=a。

（4）（传递性）如果a=b，b=c，那么a=c。

（五）等式性质的应用

例题：利用等式的基本性质解方程：2x－4=18

分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？”，因此我们需要把方程转化为“x=a”（a为常数）的形式。

问题：怎样才能把方程2x－4=18转化为x=a的形式？（学生回答，教师板书）

解：两边都加上4（等式性质1），得：

2x=18＋4；

即2x=22。

两边都除以2，得：

x=11。（等式性质2）

检验：把x=11分别代入原方程两边，得：

左边=2×11－4=18；

右边=18；

即左边=右边；

所以x=11是原方程的解。

（六）巩固训练

1．下列各式是一元一次方程的是（    ）。

A．x＋3y=4；B．x2－2x=6；C．－6x=0；D．x－1=

2．课本练习

三、本课小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解。同学们还有什么困惑吗？

【第二课时】

【教学目标】

一、灵活掌握解一元一次方程的一般步骤。

二、通过对解一元一次方程的步骤的归纳，培养学生灵活解决数学问题的能力。

【教学重难点】

一、会熟练地求出一元一次方程的解。

二、理解一元一次方程解法的每一步的依据。

【教学过程】

一、导入新课

想一想：图中两架天平平衡，请算出一个香蕉的质量。如果设一个香蕉的质量为x g，你会根据题意列出方程吗？

学生交流思考：200＋3x=440

同学们已学会了用等式的性质解简单的一元一次方程，你会解此方程吗？（学生独立快速解出结果）对于复杂的方程应怎样求解呢？

二、推进新课

（一）解一元一次方程——移项、合并同类项

1．问题1：用等式的性质解方程：2x－4=17（学生独立快速解出结果）

2x－4=17 ①

2x=17＋4 ②

学生观察：①，②这两步其实只相差一个数的变化，－4从左边到了右边后变成了＋4。

教师总结：根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项。

提问：把方程的一项从一边移到另一边需要把这项的________改变。（符号）

2．问题2：例1：解方程：3x＋5=5x－7

解：移项，得3x－5x＝－7－5（我们把未知项放在一边，把已知项放在另一边，以便求解，而且习惯上是未知项放在左边）

合并同类项，得－2x=－12；

两边都除以－2，得x=6。

（二）解一元一次方程——去括号

问题3：例2：解方程：2（x－2）－3（4x－1）=9（1－x）

解：去括号，得2x－4－12x＋3=9－9x；

移项，得2x－12＋9x=9＋4－3；

合并同类项，得－x=10；

两边同除以－1，得x=－10。

注意：

（1）方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简。

（2）去括号时不要漏乘括号内的任何一项。

（3）若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号。

（4）－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程。

（三）解一元一次方程——去分母

问题4：例3：解方程：－2=－

思考：

（1）为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？

（2）在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？

解：－2=－。

去分母（方程两边同乘以各分母的最小公倍数），得5（3x＋1）－20=（3x－2）－2（2x＋3）；

去括号，得15x＋5－20=3x－2－4x－6；

移项，得15x－3x＋4x=－2－6－5＋20；

合并同类项，得16x=7；

系数化为1，得x=。

解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据。解方程就是要求出其中未知数的值，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的性质和运算律等。

三、本课小结

（一）本节课你学习了什么？

一元一次方程解法的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

（二）本节课应该注意什么问题？

1．去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时去掉分母要加括号；

2．去括号时，不要漏乘括号内的任何一项，若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号；

3．移项要变号。

四、补充内容

（一）关于一元一次方程

1．一元一次方程的标准形式：ax＋b=0（a≠0），一元一次方程的最简形式：ax=b（a≠0），在解方程时，总是将方程化为最简形式，然后化系数为1。

2．一般地，如果不设定a≠0，则关于x的方程ax=b的解有如下的讨论。

当a≠0时，方程有唯一解x=；

当a=0，b=0时，方程的解有无数个；

当a=0，b≠0时，方程无解。

关于绝对值方程|x|=a的解：当a≥0时，x=±a；当a<0时，无解。

（二）构造一元一次方程解题七法

一元一次方程是七年级教材的重点内容之一，是学习其他方程或方程组的“基石”，构造一元一次方程可解决许多问题，其构造方法主要有以下七种：

1．根据一元一次方程的定义构造

例：当m=________时，5x6－4m－3=0是关于x的一元一次方程。

解析：由一元一次方程的定义，可知6－4m=1，解得m=。

答案：。

2．根据代数式的值相等构造

例：当x=________时，代数式5x＋10与4x＋14的值相等。

解析：由题意，得5x＋10=4x＋14；

解得x=4。

答案：4。

3．根据同类项定义构造

例：当n为________时，3x2n－1与－xn＋2是同类项。

解析：由同类项定义，得2n－1=n＋2；

解得n=3。

答案：3。

4．根据相反数概念构造

例：如果2（x＋3）的值与3（1－x）的值互为相反数，那么x等于（    ）。

A．－8；B．8；C．－9；D．9

解析：和为0的两个数互为相反数，即2（x＋3）＋3（1－x）=0，解得x=9，故选D。

答案：D。

5．根据倒数概念构造

例：当x=________时，代数式2x－5与互为倒数。

解析：积为1的两个数互为倒数，即（2x－5）=1，解得x=4。

答案：4。

6．根据方程的解或同解构造

（1）例：若x=－2是方程ax－6=15＋a的解，则a＝________。

解析：将x=－2代入原方程，得－2a－6=15＋a，解得a=－7。

答案：－7。

（2）例：方程2x－1=3与方程=2的解相同，则m=________。

解析：由方程2x－1=3，解得x=2，因为两方程的解相同，可将x=2代入=2，解得m=2。

答案：2。

7．根据非负性构造

例：若|2a－1|＋（b＋2）2=0，则方程ax－b=1的解为________。

解析：因为|2a－1|，（b＋2）2都是非负数，且它们的和为0，则意味着2a－1=0，b＋2=0，解得a=，b=－2，将其代入方程，得x＋2＝1，解得x=－2。

答案：x=－2。