北师大版数学五年级上册 总复习_ 教案

这是一份数学五年级上册本册综合教案设计，共10页。

（一）倍数与因数
1．自然数与整数
正整数：像1、2、3、4…
整数：0
负整数：像-1、-2、-3、-4…
2．倍数与因数
倍数和因数是相互依存的，不能单独地说谁是倍数，谁是因数，只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
如：4×5=20（或20÷4=5）
4和5是20的因数，20是4和5的倍数。但不能说4和5是因数，20是倍数。
3．找倍数
找一个数倍数的方法：就是用这个数乘1、乘2、乘3……依次去找。
一个数倍数的个数是无限的，一个数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
4．2、3、5倍数的特征
个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0、5的数是5的倍数；
各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；同时是2、5的倍数的数个位一定是0；各个数位上数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
5．奇数和偶数
一个自然数按是不是2的倍数可分为奇数和偶数。
是2的倍数的就是偶数；不是2的倍数的就是奇数。
6．质数与合数
一个自然数（除0外）按因数的个数可分为质数、1、合数。
1只有一个因数；只有1和它本身两个因数的数叫质数；有三个或三个以上因数的数叫合数。
7．找因数
（1）找一个合数的因数的方法：把一个合数分解成两个自然数的积，可按乘法口诀从1开始一一成对找；还可以把这个合数依次除以自然数1、2、3、……所得商如果也是自然数，那么这个商和除数都是合数的因数。
（2）一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
特别注意：一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。一个数的倍数都是大于它的因数。（╳）
（3）找因数的应用：
把50个苹果分成堆，每堆苹果的个数相同，有几种分法？运用列表法。
50=1×50=2×25=5×10
8．数的奇偶性
同性相加减结果是偶数；异性相加减结果是奇数。
用数的奇偶性解决生活中问题时要注意：（1）开始的状态。（2）变化奇数次和偶数次的规律。
教室里的灯是亮着的，突然停电，小明连续按了10下开关，那么来电时灯是（ ）的。灯开始是亮的，按奇数次开关，灯是关的；按偶数次开关，灯是亮的。所以按10下开关，来电时灯应是亮。
（二）分数
1．分数的认识
把整体1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
一本书已看了 EQ \F(1,4) ，刚好看了20页，这本书有（ ）页。
（ EQ \F(1,4) 表示整体1一本书平均分成4份，已看了这样的1份。已看了20页即1份是20页，那么这本书是4份，也就是80页。）
同一个分数对应的整体1不同，所表示的具体数量也不同。只有整体1和其对应的分率都相同，所表示的具体数量才相同，否则不会相同。
①甲的 EQ \F(1,4) 和乙的 EQ \F(1,4) 一定相同吗？（甲和乙不一定相同，那么他们的 EQ \F(1,4) 也不一定相同。）
②甲的 EQ \F(1,5) 和乙的 EQ \F(1,4) 一定不同吗？（甲和乙不知道，甲的 EQ \F(1,5) 和乙的 EQ \F(1,4) 不一定不同。）
③如果甲的 EQ \F(1,4) 和乙的 EQ \F(1,5) 相同，那么甲和乙哪个大？（甲的 EQ \F(1,4) 是表示把甲平均分成4份，取这样的1份，乙的 EQ \F(1,5) 是表示把乙平均分成5份，取这样的1份。要使甲的1份和乙的1份相等，那么甲一定小于乙。）
2．真分数和假分数
分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1；
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数大于或等于1．带分数是假分数的另一种表现形式，带分数大于1．
（1）把整数化成指定分母的假分数：a= EQ \F(ab,a) ；（2）把假分数化成带分数或整数：用假分数的分子除以分母，所得的整数商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分数部分的分子，分母不变。 EQ \F(a,b) =a÷b=c……d=c EQ \F(d,b) ；（3）带分数化成假分数，用整数乘分母加分子作为假分数的分子，分母不变，a EQ \F(c,b) = EQ \F(ab+c,b) 。
3．分数与除法：a÷b= EQ \F(a,b)
分数的分子相当于除法中被除数，分数线相当于除号，分母相当于除数。
（1）把3米长绳子平均分成7段，每段是（ ）米，每段是全长的 EQ \F(（ ）,（ ）) 。
每份的数量=总数量÷平均分的份数；每份的分数=整体1÷平均分的份数。
即每段长=3÷7= EQ \F(3,7) 米，每段是全长的 EQ \F(（）,（）) =1÷7= EQ \F(1,7) 。
（2）小明30分钟走了2千米路。
①每分钟走了（）千米（求每分钟走的千米就用总路程÷时间，即2÷30= EQ \F(1,15) 千米）；
②走1千米需（）分钟（求每千米需要的时间就用总时间÷路程，即30÷2=15分钟）。
（3）求一个数是另一个数的几分之几，用一个数÷另个数。
一种盐水中盐10克，水100克。盐是水的 EQ \F(（ ）,（ ）) ，盐是盐水的 EQ \F(（ ）,（ ）) ，水是盐水的 EQ \F(（ ）,（ ）) 。
盐÷水
=10÷100 （用除法）
= EQ \F(10,100) （写成分数）
= EQ \F(1,10) （化成最简分数）
4．分数的基本性质
分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数的分母（分子）扩大或缩小几倍，要使分数的大小不变，分子（分母）也应该扩大或缩小相同的倍数。 EQ \F(3, 5) = EQ \F(9, （）) = EQ \F(（）, 20) =（）÷25
5．找最大公因数
方法：（1）列表法
先找几个数的因数，再找几个数的公因数，最后找几个数的最大公因数。
（2）图示法
A的因数÷
B的因数÷

A、B的公因数
A、B的最大公因数是
6．找最小公倍数
（1）列表法
先找几个数的倍数，再找几个数的公倍数，最后找几个数的最小公倍数。
B的倍数÷
A的倍数÷
（2）图示法

A、B的公倍数
A、B的最小公倍数是
用短除法
求两个数的最大公因数和最小公倍数，连续用这两个数的公因数去除，除到最后的商只有公因数1为止。两个数最大公因数是所有除数的积，两个数最小公倍数是所有除数的积×所有商的积。
18、24的最大公因数=2×3=6；
18、24的最小公倍数=2×3×3×4=72。
求两个数最大公因数和最小公倍数的特例：
（1）两个数如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大数，它们的最大公因数就是较小数。
（2）两个数如果只有公因数1，那么它们的最小公倍数就是这两个数乘积，它们的最大公因数就是1。
求三个数的最小公倍数。
（1）如果三个数中最大数是另外两个数的倍数，那么最大数就是这三个数的最小公倍数。
如：3、5和15的最小公倍数。15同时是3和5的倍数，所以它们的最小公倍数是15。
（2）如果三个数中每两个数都只有公因数1，那么这三个数的乘积就是它们的最小公倍数。
如：求3、4和5的最小公倍数。我们发现3和4，4和5
3和5都只有公因数1，所以它们的最小公倍数就是3×4×5=60
（3）找三个数最小公倍数，可以先找最大数的倍数，再看看这个最大数的倍数是不是同时是另外两个数的倍数。
如：求9、15和30的最小公倍数。可先找30的倍数，30的1倍是30，30是15的倍数但不是9的倍数；30的2倍是60，60是15的倍数但不是9的倍数；30的3倍是90，90同时9和15的倍数。所以90就是它们的最小公倍数。
7．最大公因数和最小公倍数的实际应用。
（1）把长30厘米，宽24厘米的长方形木板锯成大小相等的小正方形，每个小正方形的边长最长是几厘米？能锯成多少块？
（分析：每个小正方形的边长既是长方形长的因数也宽的因数，即是长和宽的公因数，每个小正方形的最长边长就是长和宽的最大公因数。因为30和24的最大公因数是6，所以每个小正方形的最长边长是6厘米；能锯成（30×24）÷（6×6）=20块。）
（2）、人民公园是1路、3路汽车的起点站。1路汽车每3分钟发车1次，3路汽车每5分钟发车1次，这两路汽车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？
（分析：这两路车同时发车的时间既是3的倍数又是5的倍数，即是3和5的公倍数，再次同时发车的最小时间是3和5的最小公倍数。因为3 和5的最小公倍数是3×5=15，所以至少再经过15分钟又同时发车。）
（3）有一盒铅笔，平均分给4个小朋友余1支，平均分给5个小朋友也余下1支，如果平均分给6个小朋友还余下1支。这盒铅笔至少有多少支？
（分析：把这盒铅笔平均分给4、5、6个小朋友都是余下1支，那么把这盒铅笔的总数减1支，就刚好是4、5、6的公
倍数，这盒铅笔的最少支数就是4、5、6的最小公倍数。
因为4、5、6的最小公倍数是60，所以这盒铅笔最少有 60+1=61支。）
8．约分
（1）先观察分数的分子、分母，找出它们的公因数，用分子、分母同时除以公因数，一次一次地约，一直约到最简分数为止。
（2）找出分子、分母的最大公因数，用分子、分母同时除以最大公因数，一次得到最简分数。
（3）如果分数的分子和分母具有倍数关系，就用分数的分子和分母同时除以分子和分母中较小的那个数，就能得到最简分数。
9．最简分数：分子和分母只有公因数1。
判断：分子和分母没有公因数的分数就是最简分数。（）分子和分母都是偶数的分数，一定不是最简分数。（） 分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数。（） 分子和分母都是质数的分数，一定是最简分数。（） 分子和分母都是合数的分数，一定不是最简分数。（）
10．分数的大小：同分母分数，分子越大，分数越大。同分子分数，分母越小，分数越大。
11通分
意义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等，并且分母相同的分数，这个过程叫做通分。通分时要根据分数的基本性质运算。通分的一般方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，也可用几个分母的公倍数，但一般用最小公倍数。然后把各分母分别化成用这个最小公倍数作公分母的分数。
12．做同一件事，时间用得少，速度就快。
王师傅加工一个零件用36秒，李师傅加工同一个零件用 EQ \F(4,7) 分，谁的速度快？
化：36秒=36÷60= EQ \F(36,60) = EQ \F(3,5) 分 通分： EQ \F(3,5) = EQ \F(21,35) EQ \F(4,7) = EQ \F(20,35) 比较： ∵ EQ \F(20,35) < EQ \F(21,35) ∴ EQ \F(4,7) < EQ \F(3,5)
（三）分数的加减法
1．计算同分母分数加减法的方法：分母不变，分子相加减。
2．计算异分母分数加减法的方法：先通分，化成相同的分母，再按照同分母分数相加减的方法进行计算。
3．分数加减法对计算结果的要求：能约分的要约成最简分数。
4．分数加减法混合运算的顺序与整数加减法混合运算的顺序相同。
（1）只有加减法，按照从左往右的顺序进行计算。（2）有小括号的，先算小括号里面的。
5．在一个没有括号的算式中，分数连加、连减或加减混合，可一次通分。
6．分数加减法的简算：
（1）分数连加，同分母的，能凑整的可运用加法的交换律和结合律进行简算。
EQ \F(3,8) + EQ \F(3,5) + EQ \F(5,8) + EQ \F(2,5) =（ EQ \F(3,8) + EQ \F(5,8) ）+（ EQ \F(3,5) + EQ \F(2,5) ）
（2）分数连减，如果几个减数的和能凑整，可运用减法的性质进行简算。
A-B-C=A-（B+C） 2- EQ \F(3,8) - EQ \F(5,8)
（3）分数加减混合，交换运算顺序结果不变；注意连运算符号一起交换。
EQ \F(5,8) + EQ \F(3,5) - EQ \F(3,8) = EQ \F(5,8) - EQ \F(3,8) + EQ \F(3,5)
7．在进行分数加减法混合运算时，有时为了简便需要加括号或去括号，在加括号或去括号时要注意运算符号的变化。
加括号或去括号时，括号外面是减号里面的符号要改变，加变减，减变加。
EQ \F(3,8) -（ EQ \F(3,5) - EQ \F(5,8) ）= EQ \F(3,8) - EQ \F(3,5) + EQ \F(5,8) = EQ \F(3,8) + EQ \F(5,8) - EQ \F(3,5) EQ \F(3,5) - EQ \F(5,8) + EQ \F(3,8) = EQ \F(3,5) -（ EQ \F(5,8) - EQ \F(3,8) ）
8．分数化小数的方法：利用分数和除法的关系，用分子除以分母化成小数。除不尽时，可按要求保留一定位数的小数，没要求时一般保留两位小数。（带分数化小数，先把带分数化成假分数，再用分子除以分母。）
9．小数化成分数的方法：小数化分数，原来小数有几位小数，就在1后面写几个0作分母，小数的小数点去掉作分子。化成分数后，能约分的要约分。
10．分数与小数比较大小，先把它们都化成小数或都化成分数，再比较大小。
（四）图形的面积
1．比较图形的面积：数方格的方法；分割平移法；重叠法；直接计算面积比较。
2．较复杂图形面积的计算方法：数方格的方法；分割法；大面积减小面积的方法。
3．画高：注意底和高相互垂直。
4．平行四边形面积的推导过程：把平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。
平行四边形面积的计算公式：平行四边形面积 = 底×高 S=a×h
等底等高的两个平行四边形面积相等，但面积相等的两个平行四边形不一定是等底等高的。
5．三角形面积公式的推导过程：把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。一个三角形的面积=拼成的平行四边形面积÷2=底×高÷2．
三角形的面积等于与等底等高的平行四边形面积的一半。
三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2 S=a×h÷2
两个完全一样的三角形一定才能拼成一个平行四边形；
两个面积相等的三角形或等底等高的三角形，不一定能拼成一个平行四边形。
等底等高的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是等底等高的。
6．梯形面积公式推导过程：两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。一个梯形面积=拼成的平行四边形面积÷2=（上底+下底）×高÷2．
梯形面积的计算公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（ a + b ）×h÷2
7．已知面积求底或高：
先写出对应图形的面积公式，再找出已知条件和未知条件，设未知数量为X，然后把它们都代入公式中列出方程，最后解方程。
例：一个三角形的面积为32平方厘米，底是8厘米，这个三角形的高是多少？
分析：
（1）写出三角形的面积公式。ah÷2=S
（2）找出条件和问题。S=32平方厘米 a=8厘米 h=x厘米
（3）把已知数和未知数代入面积公式列出方程。8x÷2=32
（4）解方程。4x=32 x=8
（5）检验、写答语。
练习：
（1）一个三角形的面积是12平方分米，高是3分米，这个三角形的底是多少分米？
（2）一块梯形地的面积是45平方米，上底是5米，下底是10米，它的高是多少米？
8．求组合图形面积的方法：
（1）分割法：根据图形和所给条件的关系，将图形进行合理分割，形成几个规则图形，几个规则图形的面积和就是组合图形的面积。
（2）添补法：将图形所缺的部分进行添补，组成几个基本图形。几个基本图形的面积减去添补图形的面积就是组合图形的面积。
9．不规则图形面积的估计与计算：
（1）数方格（边长1厘米的方格）的方法，数格子时，不满一格的可按半格一数。
（2）根据图形的形状确立一个近似的基本图形。
（五）统计与可能性
1．确定事件的表示方法：一般情况下，用“1”和“0”表示事件一定出现和一定不出现。一定出现的事件可能性是1，一定不出现的事件可能性是0。
2．可能出现的事件的表示方法：可能出现的事件用分数表示，把事件可能出现的所有情况作为分母，把某种情况可能出现的结果作为分子。要求什么可能性，就要看要求的数据的个数是范围中总个数的几分之几。
3．根据表示可能性大小的分数设计方案时，要充分理解该分数的实际意义，即该分数的分母表示可能出现的所有情况，分子表示某种情况可能出现的结果；根据表示可能性大小的分数设计出的方案，无论设计中的数据如何变换，最终都可以用同一个分数的形式表示出来。
（六）综合应用。
1．相遇问题。（速度×时间=路程）
两个人或物或车同时从两地出发，相向而行，相遇时所行的路程和就是两地的距离。
甲行路程 + 乙行路程 = 总路程
甲的速度 × 相遇时间 乙的速度× 相遇时间
（甲的速度+乙的速度）× 相遇时间 = 总路程
速度和 × 相遇时间 = 总路程
总路程 ÷ 速度和 = 相遇时间
总路程 ÷ 相遇时间 = 速度和
相遇问题的基本等量关系式：
（1）甲乙的速度和×相遇时间=甲乙两地距离
（2）甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地距离
2．旅游费用：选择合理的租车方案，可以用列表的方法把各种租车方案列出，再选择其中人数分配最合理、最省钱的一种。
3．看图找关系。
（1）速度和时间的关系图：用折线图表示速度和时间的关系时，随着时间的变化，折线呈上升趋势时，速度在增加；呈一条直线时，速度保持不变；呈下降趋势时，速度在减少。
（2）距离与时间的关系图：用折线图表示距离与时间的关系时，从出发点到目的地，随着时间的变化，折线是上升趋势，距离在增加；从目的地到出发点，随着时间的变化，折线呈下降趋势，距离在减少。在原地停留阶段，虽然时间发生变化，但距离不变，所以呈一条直线
（3）行为或事件变化的关系图：用折线图表示行为或事件的变化的关系时，楼层变高时，折线呈上升趋势；楼层变低时，折线呈下降趋势；楼层不变，但时间发生变化时，呈一条直线。
4．鸡兔同笼问题：解题方法（1）列表举例法。（2）画图凑数法。（3）假设法。假设全是鸡或全是兔，然后算出腿的确条数，并与实际相比较。假设全是鸡时，腿的条数比实际少，原因是把四条腿的兔当成二条腿的鸡算了；假设全是兔时，腿的条数比实际多，原因是把二条腿的鸡当成四条腿的兔算了。最后根据剩余或超出腿的数量，求出鸡、兔各自的数量来。
（4）方程法。根据题意，设鸡或兔为未知数，然后根据相等关系：鸡腿的条数+兔子腿的条数=总条数，列出方程。
5．点阵中的规律：（1）数与数之间的变化规律：根据已知数的前后（或上下）之间的关系，找出其中的规律，求出相应的数。（2）图形与图形之间的变化规律：观察图形的变化，可以从图形的形状、数量、大小等方面入手，从中找出规律，推导出后面的图形。
6．铺地砖：（1）长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。（2）面积单位间的关系：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米。（3）求地面铺地砖总块数的方法：
房间地面总面积÷每块地砖的面积=所铺地砖的块数；单位面积铺的块数×房间总面积=所铺地砖的块数。堆数
每堆的个数
1
50
50
1
2
25
25
2
5
10
10
5