初中数学青岛版九年级上册4.6 一元二次方程根与系数的关系教学设计

一元二次方程根与系数的关系

教学目标：

1.能正确叙述一元二次方程根与系数的关系。

2.能自主探究一元二次方程根与系数的关系。

3.能利用一元二次方程根与系数的关系

  a. 检验一元二次方程的根

  b. 已知一元二次方程的一个根，求另一个根及未知系数。

  c. 会求一元二次方程的两根平方和以及倒数和等有关代数式的值。

4.能灵活与综合利用。

教学重点：根与系数关系及运用

教学难点：定理的发现及运用。

教学过程：

一、创设情境，激发探究欲望(不解方程，求下列一元二次方程的两根之和与两根之积)。

设计意图：让学生感受到数学里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。

探究规律：

知识回顾：

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.一元二次方程的求根公式是什么？

3.一元二次方程的的解的情况怎样确定？

设计意图：通过回顾前面所学知识，学生能更好的解决本节课的学习内容。

设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

探索得出定理（韦达定理）

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2  求：

x1+x2 =          x1，x2 =

设计意图:通过学生计算一般形式的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透由一般到特殊的思考方法。

特殊的：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则

x1+x2 =-p               x1，x2 =q

证明此处略（师生合作完成）

设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

 运用定理解决问题

1、抢答：求下列方程的两根之和与两根之积.

(1)  x2 - 2x – 1=0               (2) 2x2 - 3x = 3

(3)  2x2 - 6x =0                (4)  3x2  = 4

设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，加深学生对根与系数关系的本质理解, 提高学生的学习兴趣。

2、擦亮慧眼

某同学解出了如下两个根，试用一元二次方程根与系数的关系检验所求答案是否正确

（１）x2+2x-5=0     （x1=-1+  x2=-1-）

（２）y2-3y-10=0　　（y1=-5,y2=2）

设计意图：让学生体会到一元二次方程根与系数的关系的重要作用之一，能快速帮助检验所解的一元二次方程的根是否正确，增强学习兴趣。

3、学以致用

例１、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.

例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1，x2，不解方程，求：

x12+x22    (2)x1-x2    (3)(x1+1)(x2+1)

设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

练习A

已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。

设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各代数式的值。

（1）x12x2+x1x22       （2）(x1-x2)2

设计意图：它是例1、例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。

四、蓦然回首

你今天有什么收获？

设计意图：通过谈收获学生能把本节课的知识点梳理一下，更好地掌握本节课的内容，并能灵活运用处理一些实际问题

冲关检测

第一关：

1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积

（1）3x2-2x=0                  （2）  x22-2=0                                                                         

（3） x2-3x-1=0                  （4）x2 +x=                                

（5） 2x2+3x-5=0                                                               

第二关：

已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k的值。

第三关：

已知a，b是方程x2+x-2009=0的两个实根，则a2+2a+b的值是多少？

冲关检测，三关由易到难，在学习了将近一节课的时间学生有点疲惫，通过冲关，能更好的缓解同学们疲惫的神经，使其放松，本节课知识点再次重现，能够加深学生的记忆和理解、运用。

练习Ｂ　

关于的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1和x2，且x12+x22=7，求(x1-x2)2的值。

中考提升：（2013•荆州）

已知：关于x的方程 kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0

（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且│x1－x2│=2,求k的值.

B组、C组的题目，让学习有余力的同学们在练习一下，同时体验一下中考题

教后反思