高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.1 圆的方程优秀导学案

第二课时　圆的一般方程

在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

[问题]　如果把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？

知识点　圆的一般方程

1．圆的一般方程

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为_．

圆的一般方程具有的特点

(1)x2，y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F＞0.　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　)

(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2，3)　　　　　　　　　 B．(－2，3)

C．(－2，－3)  D．(2，－3)

解析：选D　圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．

3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________．

解析：该圆的圆心为，半径为，

故其标准方程为＋(y－2)2＝.

化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.

答案：x2＋y2－3x－4y＝0

[例1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解]　(1)据题意知

D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，

即4m2＋4－4m2－20m＞0，

解得m＜，

故m的取值范围为.

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.

判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．　　　　

[跟踪训练]

已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.

求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．

证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，

∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.

又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，

即曲线C是一个圆．

设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上．

[例2]　(链接教科书第54页例3)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆一般的方程．

[解]　法一(待定系数法)：

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P，Q的坐标分别代入上式，

得

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③

由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根．

∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④

联立①②④解得，或

故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

法二(几何法)：

由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.

∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．

又圆C的半径长r＝|CP|＝.　①

由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.

∴r2＝a2＋，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.

故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.

利用待定系数法求圆的方程的解题策略

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　　　

[跟踪训练]

1．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．

解析：将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25

2．过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的方程为________________．　

解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.

答案：x2＋y2－8x＋6y＝0

[例3]　(链接教科书第54页例4)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并指明动点M运动的轨迹是什么图形．

[解]　设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以

x＝，y＝.

于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.①

因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋y＝4.②

把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，

整理，得＋＝1.

这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．这种求轨迹方程的方法不需要特殊的技巧；

(2)代入法：

[跟踪训练]

平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0，λ≠1)的动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆．已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为(　　)

A．2π　　　　　　　　 B．4π

C.π  D.π

解析：选B　设P(x，y)，因为A(0，0)，B(3，0)，所以|PA|＝，|PB|＝.

因为|PA|＝|PB|，

所以＝ ，

整理得(x＋1)2＋y2＝4.

即点P的轨迹是以(－1，0)为圆心，以2为半径的圆，所以S＝4π.

1．圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　　)

A．r＝1，(－2，1)  B．r＝2，(－2，1)

C．r＝2，(2，－1)  D．r＝1，(2，－1)

解析：选D　x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，

所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．

2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)

A．m<  B．m>

C．m<0  D．m≤

解析：选A　因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，

则1＋1－4m>0，所以m<.

3．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5，2)和(3，－2)的圆的一般方程．

解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心为.

∵圆心在直线2x－y－3＝0上，

∴2×－－3＝0.①

又∵点(5，2)和(3，－2)在圆上，

∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.　②

32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0.  ③

解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.

∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.