还剩10页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 2022年高中数学（新教材）新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.1.1 空间向量的线性运算 学案 4 次下载
- 2022年高中数学（新教材）新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.1.3 共面向量定理 学案 2 次下载
- 2022年高中数学（新教材）新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.2.1 空间向量基本定理 学案 2 次下载
- 2022年高中数学（新教材）新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 学案 2 次下载
- 2022年高中数学（新教材）新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 学案 2 次下载
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算学案
展开
这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算学案，共13页。学案主要包含了空间向量的夹角，空间向量的数量积，空间向量的投影向量等内容，欢迎下载使用。
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角
问题1 平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？
提示 在平面中任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是两向量的夹角．
知识梳理
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq \(AC,\s\up6(→))分别与向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))，eq \(B′A′,\s\up6(———→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))的夹角．
解 连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(A′B′,\s\up6(———→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′A′,\s\up6(———→))〉＝180°－〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝90°.
反思感悟 (1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟踪训练1 在正四面体ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积
知识梳理
1．定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cs〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的运算律
3.数量积的性质
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)×1×1·cs 60°＝eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 0°＝eq \f(1,2)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 120°＝－eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)[eq \(BD,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BA,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)[－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq \f(1,8).
反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(BA1,\s\up6(→))与向量eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．60° B．150°
C．90° D．120°
答案 D
解析 eq \(BA1,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))，|eq \(BA,\s\up6(→))1|＝eq \r(2)a，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)a.
∴eq \(BA,\s\up6(→))1·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA,\s\up6(→))1·eq \(AD,\s\up6(→))＝－a2.
∴cs〈eq \(BA,\s\up6(→))1，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq \f(1,2).
∴〈eq \(BA,\s\up6(→))1，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝120°.
三、空间向量的投影向量
问题2 平面向量中向量a同向量b的投影是如何定义的？
提示 设a，b是两个非零向量，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量．
知识梳理
1．空间投影向量的定义
如图，设向量m＝eq \(CD,\s\up6(→))，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量eq \(C1D1,\s\up6(——→)).向量eq \(C1D1,\s\up6(——→))称为向量m在平面α上的投影向量．
2．空间向量数量积的几何意义
空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积．
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点．
(1)确定向量eq \(A1P,\s\up6(→))在平面BCC1上的投影向量，并求eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(A1P,\s\up6(→))；
(2)确定向量eq \(A1P,\s\up6(→))在直线B1C1上的投影向量，并求eq \(B1C1,\s\up6(———→))·eq \(A1P,\s\up6(→)).
解 (1)因为A1B1⊥平面BCC1,PC1⊥平面BCC1，
所以向量eq \(A1P,\s\up6(→))在平面BCC1上的投影向量为eq \(B1C1,\s\up6(———→)).
所以eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(B1C1,\s\up6(———→))＝eq \r(2)×1×cs 45°＝1.
(2)因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量eq \(A1P,\s\up6(→))在直线B1C1上的投影向量为eq \(B1C1,\s\up6(———→))，
故 eq \(B1C1,\s\up6(———→))·eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(B1C1,\s\up6(———→))·eq \(B1C1,\s\up6(———→))＝1.
反思感悟 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在．
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，求eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→)).
解 方法一 ∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC＝AB＝eq \r(2)，BC＝2，
∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
∵AA1＝eq \r(2)，
∴A1C＝2.
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AA,\s\up6(→))1)＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2＝1.
方法二 ∵A1A⊥平面ABC，
∴eq \(A1C,\s\up6(→))在平面ABC上的投影向量为eq \(AC,\s\up6(→)).
又AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝1×eq \r(2)×cs 45°＝1.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角．
(2)空间向量的数量积．
(3)空间向量的投影向量．
2．方法归纳：数形结合、转化化归．
3．常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(———→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(———→))
C.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(C1B,\s\up6(→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AD1,\s\up6(→))
答案 AD
2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________．
答案 eq \f(3,2)e1
解析 (e1＋e2)·e1＝eeq \\al(2,1)＋e1·e2
＝1＋1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为
eq \f(e1＋e2·e1,|e1|)·eq \f(e1,|e1|)＝eq \f(3,2)e1.
4．已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案 －eq \f(3,2)
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·3eq \r(2)×4cs 135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝－eq \f(3,2).
课时对点练
1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(EF,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 由题意，可得eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
所以〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
4．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) B．2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
C．2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) D．2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
答案 BC
解析 2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2a2cs 120°＝－a2，
2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝2a2cs 60°＝a2，
2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝a2，
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a2.
5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(2)－1
C.eq \r(3－\r(2)) D.eq \r(3)－eq \r(2)
答案 C
解析 如图，因为eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(AA1,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))
＝1＋1＋1－2×1×1×cs 45°－2×1×1×cs 60°＋2×1×1×cs 60°＝3－eq \r(2)，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(———→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0
C.eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°
D．正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
答案 AB
解析 如图所示，(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(———→))＋eq \(D1C1,\s\up6(———→)))2＝eq \(AC1,\s\up6(→))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2，故A为真命题；
eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(———→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))
＝eq \(A1C,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，故B为真命题；eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是eq \(D1C,\s\up6(→))与eq \(D1A,\s\up6(→))夹角的补角，而eq \(D1C,\s\up6(→))与eq \(D1A,\s\up6(→))的夹角为60°，故eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AA1,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|，故D为假命题．
7．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为________．
答案 eq \f(1,2)a
解析 ∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
＝2×22－2×6×eq \f(1,2)＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为eq \f(2a－b·a,|a|)·eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,2)a.
8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，
所以〈a，b〉＝60°.
9．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解 因为CA⊥AB，BD⊥AB，
所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
因为eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
且eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝68，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(17)，故CD的长为2eq \r(17).
10．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))；
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→)).
解 (1)取AB的中点H，连接DH，易知EH⊥平面ABCD, 又DD1⊥平面ABCD，所以向量eq \(ED1,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影向量为eq \(HD,\s\up6(→)).
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(HD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝16.
(2)向量eq \(BF,\s\up6(→))在平面ABB1A1上的投影向量为eq \(BA1,\s\up6(→)).
又eq \(BA1,\s\up6(→))⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0.
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \r(3－\r(2))
答案 D
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2).
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
12．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________.
答案 7
解析 |eq \(PC,\s\up6(→))|2＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝49，所以|eq \(PC,\s\up6(→))|＝7.
13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝________.
答案 eq \f(14,3)
解析 ∵OA，OB，OC两两垂直，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
且eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),3)，
故eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))2＝eq \f(1,3)(|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＋|eq \(OC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,3)×(1＋4＋9)＝eq \f(14,3).
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是______．
答案 [0,1]
解析 依题意，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BD1,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD1,\s\up6(→))＝1＋λ×1×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝1－λ∈[0,1]．因此eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是[0,1]．
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BPi,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离．
解 在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
∴〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉，
∴当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝4，
此时B，D两点间的距离为2，
当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝2，
此时B，D两点间的距离为eq \r(2).定义
a，b是空间两个非零向量，过空间任一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
特殊夹角
(1)如果〈a，b〉＝0，a与b同向；
(2)如果〈a，b〉＝π，a与b反向；
(3)如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，a与b互相垂直，记作a⊥b.
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
结合律
(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a||b|；
若反向，则a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)
③若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角
问题1 平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？
提示 在平面中任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是两向量的夹角．
知识梳理
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq \(AC,\s\up6(→))分别与向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))，eq \(B′A′,\s\up6(———→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))的夹角．
解 连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(A′B′,\s\up6(———→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′A′,\s\up6(———→))〉＝180°－〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝90°.
反思感悟 (1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟踪训练1 在正四面体ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积
知识梳理
1．定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cs〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的运算律
3.数量积的性质
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)×1×1·cs 60°＝eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 0°＝eq \f(1,2)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1·cs 120°＝－eq \f(1,4)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)[eq \(BD,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BA,\s\up6(→))·(－eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)[－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))]
＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq \f(1,8).
反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(BA1,\s\up6(→))与向量eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．60° B．150°
C．90° D．120°
答案 D
解析 eq \(BA1,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))，|eq \(BA,\s\up6(→))1|＝eq \r(2)a，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)a.
∴eq \(BA,\s\up6(→))1·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA,\s\up6(→))1·eq \(AD,\s\up6(→))＝－a2.
∴cs〈eq \(BA,\s\up6(→))1，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq \f(1,2).
∴〈eq \(BA,\s\up6(→))1，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝120°.
三、空间向量的投影向量
问题2 平面向量中向量a同向量b的投影是如何定义的？
提示 设a，b是两个非零向量，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量．
知识梳理
1．空间投影向量的定义
如图，设向量m＝eq \(CD,\s\up6(→))，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量eq \(C1D1,\s\up6(——→)).向量eq \(C1D1,\s\up6(——→))称为向量m在平面α上的投影向量．
2．空间向量数量积的几何意义
空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积．
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点．
(1)确定向量eq \(A1P,\s\up6(→))在平面BCC1上的投影向量，并求eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(A1P,\s\up6(→))；
(2)确定向量eq \(A1P,\s\up6(→))在直线B1C1上的投影向量，并求eq \(B1C1,\s\up6(———→))·eq \(A1P,\s\up6(→)).
解 (1)因为A1B1⊥平面BCC1,PC1⊥平面BCC1，
所以向量eq \(A1P,\s\up6(→))在平面BCC1上的投影向量为eq \(B1C1,\s\up6(———→)).
所以eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(B1C1,\s\up6(———→))＝eq \r(2)×1×cs 45°＝1.
(2)因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量eq \(A1P,\s\up6(→))在直线B1C1上的投影向量为eq \(B1C1,\s\up6(———→))，
故 eq \(B1C1,\s\up6(———→))·eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(B1C1,\s\up6(———→))·eq \(B1C1,\s\up6(———→))＝1.
反思感悟 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在．
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，求eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→)).
解 方法一 ∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC＝AB＝eq \r(2)，BC＝2，
∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
∵AA1＝eq \r(2)，
∴A1C＝2.
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AA,\s\up6(→))1)＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2＝1.
方法二 ∵A1A⊥平面ABC，
∴eq \(A1C,\s\up6(→))在平面ABC上的投影向量为eq \(AC,\s\up6(→)).
又AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝1×eq \r(2)×cs 45°＝1.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角．
(2)空间向量的数量积．
(3)空间向量的投影向量．
2．方法归纳：数形结合、转化化归．
3．常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(———→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(———→))
C.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(C1B,\s\up6(→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AD1,\s\up6(→))
答案 AD
2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________．
答案 eq \f(3,2)e1
解析 (e1＋e2)·e1＝eeq \\al(2,1)＋e1·e2
＝1＋1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为
eq \f(e1＋e2·e1,|e1|)·eq \f(e1,|e1|)＝eq \f(3,2)e1.
4．已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案 －eq \f(3,2)
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·3eq \r(2)×4cs 135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝－eq \f(3,2).
课时对点练
1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(EF,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 由题意，可得eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
所以〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
4．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) B．2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
C．2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) D．2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
答案 BC
解析 2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2a2cs 120°＝－a2，
2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝2a2cs 60°＝a2，
2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝a2，
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a2.
5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(2)－1
C.eq \r(3－\r(2)) D.eq \r(3)－eq \r(2)
答案 C
解析 如图，因为eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(AA1,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))
＝1＋1＋1－2×1×1×cs 45°－2×1×1×cs 60°＋2×1×1×cs 60°＝3－eq \r(2)，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(———→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0
C.eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°
D．正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
答案 AB
解析 如图所示，(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(———→))＋eq \(D1C1,\s\up6(———→)))2＝eq \(AC1,\s\up6(→))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2，故A为真命题；
eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(———→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))
＝eq \(A1C,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，故B为真命题；eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是eq \(D1C,\s\up6(→))与eq \(D1A,\s\up6(→))夹角的补角，而eq \(D1C,\s\up6(→))与eq \(D1A,\s\up6(→))的夹角为60°，故eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AA1,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|，故D为假命题．
7．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为________．
答案 eq \f(1,2)a
解析 ∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
＝2×22－2×6×eq \f(1,2)＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为eq \f(2a－b·a,|a|)·eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,2)a.
8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，
所以〈a，b〉＝60°.
9．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解 因为CA⊥AB，BD⊥AB，
所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
因为eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
且eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝68，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(17)，故CD的长为2eq \r(17).
10．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))；
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→)).
解 (1)取AB的中点H，连接DH，易知EH⊥平面ABCD, 又DD1⊥平面ABCD，所以向量eq \(ED1,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影向量为eq \(HD,\s\up6(→)).
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(HD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝16.
(2)向量eq \(BF,\s\up6(→))在平面ABB1A1上的投影向量为eq \(BA1,\s\up6(→)).
又eq \(BA1,\s\up6(→))⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0.
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \r(3－\r(2))
答案 D
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2).
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
12．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________.
答案 7
解析 |eq \(PC,\s\up6(→))|2＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝49，所以|eq \(PC,\s\up6(→))|＝7.
13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝________.
答案 eq \f(14,3)
解析 ∵OA，OB，OC两两垂直，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
且eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),3)，
故eq \(OG,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))2＝eq \f(1,3)(|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＋|eq \(OC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,3)×(1＋4＋9)＝eq \f(14,3).
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是______．
答案 [0,1]
解析 依题意，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BD1,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD1,\s\up6(→))＝1＋λ×1×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝1－λ∈[0,1]．因此eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是[0,1]．
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BPi,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离．
解 在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
∴〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉，
∴当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝4，
此时B，D两点间的距离为2，
当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝2，
此时B，D两点间的距离为eq \r(2).定义
a，b是空间两个非零向量，过空间任一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
特殊夹角
(1)如果〈a，b〉＝0，a与b同向；
(2)如果〈a，b〉＝π，a与b反向；
(3)如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，a与b互相垂直，记作a⊥b.
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
结合律
(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a||b|；
若反向，则a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)
③若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
相关学案
高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案： 这是一份高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案，共15页。学案主要包含了空间向量的概念，空间向量及其线性运算，共线向量等内容，欢迎下载使用。
苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用第1课时导学案： 这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用第1课时导学案，共17页。学案主要包含了直线和直线平行，直线与平面的平行，平面和平面平行等内容，欢迎下载使用。
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试学案： 这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试学案，共17页。学案主要包含了利用空间向量求空间角，利用空间向量求距离，利用空间向量解决探索性问题等内容，欢迎下载使用。
