苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示导学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示导学案，共16页。学案主要包含了空间向量基本定理及其推论，用基底表示向量，空间向量基本定理的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握空间向量基本定理及其推论.2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量．
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1，e2，e3表示呢？
一、空间向量基本定理及其推论
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝eq \(OP,\s\up6(→))，p 能否用i，j，k表示呢？
提示 如图，设eq \(OQ,\s\up6(→))为eq \(OP,\s\up6(→))在i，j所确定的平面上的投影向量，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→)).
又向量eq \(QP,\s\up6(→))，k共线，因此存在唯一的实数z，使得eq \(QP,\s\up6(→))＝zk，从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OQ,\s\up6(→))＝xi＋yj.
从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题2 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝eq \f(y－y′,x′－x)j＋eq \f(z－z′,x′－x)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
1．空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2．基底的有关概念
3.空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→)).
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．
解 假设eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共面．
则存在实数λ，μ使得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1，))此方程组无解，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．
反思感悟 基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
跟踪训练1 (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
答案 BCD
解析 如图所示，令a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AA1,\s\up6(→))，c＝eq \(AD,\s\up6(→))，
则x＝eq \(AB1,\s\up6(→))，y＝eq \(AD1,\s\up6(→))，z＝eq \(AC,\s\up6(→))，
a＋b＋c＝eq \(AC1,\s\up6(→))，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．
二、用基底表示向量
例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；(2)eq \(A1N,\s\up6(→))；(3)eq \(MP,\s\up6(→)).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(———→))＋eq \(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(———→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴eq \(A1N,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
延伸探究
1．本例的条件不变，试用a，b，c表示向量eq \(PN,\s\up6(→)).
解 因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
所以eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PC1,\s\up6(→))＋eq \(C1C,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋(－eq \(AA1,\s\up6(→)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))＝－a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c.
2．若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且eq \f(C1P,PD1)＝eq \f(1,2)”，其他条件不变，如何表示eq \(AP,\s\up6(→))？
解 eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))1＋eq \(D1P,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(2,3)b.
反思感悟 用基底表示向量时
(1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
跟踪训练2 如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→)).
解 连接BO，则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(c－b－a)
＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(→))
＝－a＋eq \f(1,2)(eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))
＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
三、空间向量基本定理的应用
例3 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC所成角的余弦值．
解 (1)设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，
所以|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC1的长为eq \r(6).
(2)eq \(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
所以cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
所以AC与BD1所成角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
反思感悟 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算．
跟踪训练3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AA1,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EB1,\s\up6(→))＋eq \(B1F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(B1D1,\s\up6(———→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)，
eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝a＋b.
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，即EF⊥AB1.
1．知识清单：
(1)空间向量基本定理及其推论．
(2)基底的概念以及判断．
(3)用基底表示向量．
(4)空间向量基本定理的应用．
2．方法归纳：类比法、转化化归．
3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错．
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(→))
C.eq \(D1A1,\s\up6(———→))，eq \(D1C1,\s\up6(———→))，eq \(D1D,\s\up6(→)) D.eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(A1C,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(→))
答案 C
解析 由题意知，eq \(D1A1,\s\up6(———→))，eq \(D1C1,\s\up6(———→))，eq \(D1D,\s\up6(→))不共面，
可以作为空间向量的一个基底．
2．三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
答案 D
解析 eq \(A1B,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(———→))＋eq \(C1C,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CC1,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝－a＋b－c.
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
答案 x＝y＝z＝0
解析 由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成的角为________．
答案 eq \f(π,2)
解析 设eq \(AA1,\s\up6(→))＝2a，eq \(AB,\s\up6(→))＝2b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
这三个向量不共面且两两垂直，故{a，b，c}为空间的一个单位正交基底．
eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－2a＋c＋a＝－a＋c，
eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝a＋b＋c，
从而eq \(A1E,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝(－a＋c)·(a＋b＋c)＝－a2＋c2＝0，
所以cs〈eq \(A1E,\s\up6(→))，eq \(FG,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1E,\s\up6(→))·\(FG,\s\up6(→)),|\(A1E,\s\up6(→))|·|\(FG,\s\up6(→))|)＝0，
所以异面直线A1E，FG所成的角为eq \f(π,2).
课时对点练
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.
2．(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是( )
A．{a，a－2b,2a＋b}
B．{b，b＋c，b－c}
C．{2a－3b，a＋b，a－b}
D．{a＋b，b－c，c＋2a}
答案 ABC
解析 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面．
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3i，eq \(AD,\s\up6(→))＝2j，eq \(AA1,\s\up6(→))＝5k，则eq \(AC1,\s\up6(→))等于( )
A．i＋j＋k B.eq \f(1,3)i＋eq \f(1,2)j＋eq \f(1,5)k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
答案 C
解析 eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k.
4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.若eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于( )
A．－1 B．0
C.eq \f(1,3) D．1
答案 C
解析 因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BB1,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋
eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝1，z＝eq \f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq \f(1,3).
5．若向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))能作为空间一个基底的关系是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(MA,\s\up6(→))≠eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))
答案 C
解析 若eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))为空间一个基底，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，eq \(MA,\s\up6(→))≠eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))，但可能存在实数λ，μ使得eq \(MA,\s\up6(→))＝λeq \(MB,\s\up6(→))＋μeq \(MC,\s\up6(→))，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面，故选C.
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则|eq \(BM,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(6),3)
C.eq \f(\r(6),4) D.eq \f(\r(6),5)
答案 A
解析 记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AP,\s\up6(→))＝c，
因为AB＝AD＝1，PA＝2，
所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cs 60°＝1.
易得eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)，
所以|eq \(BM,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(－a＋b＋c)2
＝eq \f(1,4)[a2＋b2＋c2＋2×(－a·b－a·c＋b·c)]
＝eq \f(1,4)×[12＋12＋22＋2×(0－1＋1)]
＝eq \f(3,2)，
所以|eq \(BM,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(6),2)，故选A.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(AD1,\s\up6(→))作为基向量，则eq \(AC1,\s\up6(→))＝________________.
答案 eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
解析 ∵2eq \(AC1,\s\up6(→))＝2eq \(AA1,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
8．如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若eq \(AG,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))与eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))同时成立，则实数λ的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(AM,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以1－λ＝eq \f(1,2)，eq \f(λ,2)＝eq \f(1,4)，
解得λ＝eq \f(1,2).
9．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.
求证：AB⊥AC1.
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝b＋c.
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC1,\s\up6(→))＝a·(b＋c)＝a·b＋a·c，
因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC1,\s\up6(→))＝0，故AB⊥AC1.
10．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示向量eq \(DB1,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))；
(2)化简eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果．
解 (1)eq \(DB1,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB1,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)b＋c.
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)(b＋c)
＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
(2)eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))
＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(D1A1,\s\up6(————→))＝eq \(DA1,\s\up6(→)).
如图，连接DA1，则eq \(DA1,\s\up6(→))即为所求．
11．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
eq \(AG1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝3eq \(GG1,\s\up6(→))＝3(eq \(OG1,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→)))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)).∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,4).
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为D1C1的中点，则eq \(A1C1,\s\up6(————→))与eq \(DE,\s\up6(→))夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(5),5)
答案 A
解析 设正方体的棱长为1，
记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0.
因为eq \(A1C1,\s\up6(———→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b，
eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(D1E,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(———→))＝c＋eq \f(1,2)a，
所以eq \(A1C1,\s\up6(————))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a))
＝a·c＋b·c＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)a·b＝eq \f(1,2)a2＝eq \f(1,2).
又因为|eq \(A1C1,\s\up6(————))|＝eq \r(2)，|eq \(DE,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
所以cs〈eq \(A1C1,\s\up6(————))，eq \(DE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1C1,\s\up6(———→))·\(DE,\s\up6(→)),|\(A1C1,\s\up6(———→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10)，
所以eq \(A1C1,\s\up6(————))与eq \(DE,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
13．如图，已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.(用向量a，b，c表示)
答案 3a＋3b－5c
解析 设G为BC的中点，连接EG，FG(图略)，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(a－2c)＋eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.
14．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．
答案 4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)
解析 由题意知，m＝3a＋5b＋9c，
设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝5，,3z＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－1，,z＝3.))
则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为
m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．
15．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(10),5)
解析 设eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(BB1,\s\up6(→))＝c，
则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，
因为eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))＝－a＋c，
eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝b＋c，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→)),|\(AB1,\s\up6(→))|·|\(BC1,\s\up6(→))|)
＝eq \f(－a＋c·b＋c,\r(5)×\r(2))
＝eq \f(－a·b－a·c＋b·c＋c2,\r(10))
＝eq \f(－2×1×cs 120°＋1,\r(10))＝eq \f(2,\r(10))＝eq \f(\r(10),5).
16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若eq \(PD,\s\up6(→))＝meq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PE,\s\up6(→))＝neq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PF,\s\up6(→))＝teq \(PC,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,t)为定值，并求出该定值．
解 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))}为空间的一个基底，
eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)×eq \f(2,3)eq \(AH,\s\up6(→))
＝eq \f(3,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→)),2)
＝eq \f(3,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,4)(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(PC,\s\up6(→)).
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得eq \(DM,\s\up6(→))＝λeq \(DE,\s\up6(→))＋μeq \(DF,\s\up6(→))，
即eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→))＝λ(eq \(PE,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))＋μ(eq \(PF,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))＝(1－λ－μ)eq \(PD,\s\up6(→))＋λeq \(PE,\s\up6(→))＋μeq \(PF,\s\up6(→))
＝(1－λ－μ)meq \(PA,\s\up6(→))＋λneq \(PB,\s\up6(→))＋μteq \(PC,\s\up6(→))，
由空间向量基本定理，知eq \f(1,4)＝(1－λ－μ)m，eq \f(1,4)＝λn，eq \f(1,4)＝μt，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,t)＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．定义
在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量
正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示